54.高考一轮复习物理(创新版)热点专题7 第54讲 电磁感应中的“杆+轨”模型

(1)若S1闭合、S2断开，重物的最大速度。
(2)若S1和S2均闭合，电容器的最大带电量。
(3)若S1断开、S2闭合，重物的速度v随时间t变化的关系式。
答案
21mgr (1) 2B2L2
7mgrC (2) BL
(3)v＝10m＋7m2Cg B2L2·t
答案
解析 (1)S1闭合、S2断开时，M由静止释放后拉动金属棒沿导轨向上 做加速运动，金属棒受到沿导轨向下的安培力及重力的分力作用，设最大 速度为vm，根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势E＝BLvm
根据闭合电路的欧姆定律可得感应电流 I＝R＋E r＝BL3rvm 当金属棒速度最大时有：Mg＝mgsin30°＋BIL 解得：vm＝3r4mB－2L02.5mg＝221Bm2Lg2r。
解析
(2)S1、S2均闭合时，电容器两板间的最大电压 U＝UR＝IR＝7BmLgr 电容器的最大带电量Q＝CU＝7mBgLrC。 (3)S1断开、S2闭合时，设从释放M开始经时间t金属棒的速度大小为 v，加速度大小为a，通过金属棒的电流为i，金属棒受到的安培力F＝ BiL，方向沿导轨向下，设在时间t到(t＋Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ， ΔQ也是平行板电容器在t到(t＋Δt)内增加的电荷量，ΔQ＝CBL·Δv， 根据运动学公式可得Δv＝aΔt，则i＝ΔΔQt ＝CBLa，
持静止
力F＝BLr E，此时a＝ BmLrE，杆ab速度v ⇒ 感应电动势BLv ⇒
I ⇒安培力F＝BIL
⇒加速度a ，当E感 ＝E时，v最大，且 vm＝BEL
开始时a＝mF，杆ab速度 v ⇒感应电动势E＝ BLv ⇒I ⇒安培力F安 ＝BIL ，由F－F安＝
ma知a ，当a＝0时，v 最大，vm＝BF2RL2
A．三种情况下，导体棒ab最终都静止 B．三种情况下，导体棒ab最终都做匀速运动 C．图甲、丙中ab棒最终都向右做匀速运动 D．图乙中，流过电阻R的总电荷量为mBvL0 解析 图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器 充电，当电容器C极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中 没有电流，ab棒不受安培力，向右做匀速运动。
解析 答案
图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通过电阻R转化 为内能，ab棒速度减小，当ab棒的动能全部转化为内能时，ab棒静止。图 丙中，导体棒先受到向左的安培力作用向右做减速运动，速度减为零后再 在安培力作用下向左做加速运动，当导体棒产生的感应电动势与电源的电 动势相等时，电路中没有电流，ab棒向左做匀速运动，A、B、C错误；图 乙中根据动量定理－BILΔt＝0－mv0，流过电阻R的总电荷量为q＝IΔt＝ mBvL0，D正确。
第十一章 电磁感应
热点专题(七) 第54讲 电磁感应中的“杆＋ 轨”模型
热点概述 电磁感应“杆轨模型”中的杆有“单杆”和“双杆”等， 有的回路中还接有电容器；电磁感应“杆轨模型”中的轨有“直轨”和 “折轨”等，导轨有竖直的，也有水平的，还有放在斜面上的等各种情 况。分析这类问题重在结合电动势的变化情况分析清楚其中的动力学过 程，处理问题时经常涉及电磁学和动力学、能量、动量中的几乎所有规 律，综合性较强。
v0＝0
开始时a＝mF，杆ab速度v ⇒感应电动势E＝BLv ，经过Δt速度为v ＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电 力学 荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝CBLΔv 观点 电流I＝ΔΔqt ＝CBLΔΔvt ＝CBLa 安培力F安＝BLI＝CB2L2a F－F安＝ma，a＝m＋BF2L2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动
热点一 单杆模型
单杆模型的常见情况 v0≠0
v0＝0
示 意 图
质量为m，电阻不计 的单杆ab以一定初速 度v0在光滑水平轨道 上滑动，两平行导轨 间距为L
轨道水平光滑， 轨道水平光
单杆ab质量为 m，电阻不计， 两平行导轨间距
滑，单杆ab质 量为m，电阻 不计，两平行
为L
导轨间距为L， 拉力F恒定
v0≠0 图
v0＝0
象
观
点
能 动能全部转化 电源输出的电
量 观 点
为内能：Q＝21 mv20
能转化为动能 W电＝21mvm2
F做的功一部分转 F做的功一部分转
化为杆的动能，一 化为动能，一部分
部分产生电热：WF 转化为电场能：
＝Q＋12mv2m
WF＝21mv2＋EC
注：若光滑导轨倾斜放置，要考虑导体杆受到重力沿导轨斜面向下的
分力作用，分析方法与表格中受外力F时的情况类似，这里就不再赘述。
[例1] 图甲、乙、丙中除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动。 甲图中的电容器C原来不带电，所有导体棒、导轨电阻均可忽略，导体棒 和导轨间的摩擦也不计，导体棒ab的质量为m。图中装置均在水平面内， 且都处于方向垂直水平面(即纸面)向下的匀强磁场中，磁感应强度为B，导 轨足够长，间距为L。今给导体棒ab一个向右的初速度v0，则( )
轨道水平光 滑，单杆ab质 量为m，电阻 不计，两平行 导轨间距为 L，拉力F恒定
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v0≠0
v0＝0
导体杆以速度v切割磁 S闭合，ab杆受安培
力 学 观 点
感线产生感应电动势E
＝BLv，电流I＝ER＝ BRLv，安培力F＝BIL＝ B2RL2v，做减速运动： v ⇒F ⇒a ，当v＝0 时，F＝0，a＝0，杆保
解析
(1)除了核心综述中的常见情况外，基于这些常见情况的变形，要综合 分析杆的受力和运动过程，找出最后的稳定状态。
(2)电磁感应涉及通过某段电路的电量时可考虑用动量定理或q＝nRΔ总Φ 来处理。
[例2] (2019·衡阳模拟)如图所示，足够长的光滑平行金属导轨CD、 EF倾斜放置，其所在平面与水平面间的夹角为θ＝30°，两导轨间距为L， 导轨下端分别连着电容为C的电容器和阻值R＝2r的电阻。一根质量为m， 电阻为r的金属棒放在导轨上，金属棒与导轨始终垂直并接触良好，一根 不可伸长的绝缘轻绳一端拴在金属棒中间、另一端跨过定滑轮与质量M＝ 4m的重物相连。金属棒与定滑轮之间的轻绳始终在两导轨所在平面内且与 两导轨平行，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上，导轨 电阻不计，初始状态用手托住重物使轻绳恰处于伸长状态，由静止释放重 物，求：(重力加速度大小为g，不计滑轮阻力)