刚体力学习题

第四章 刚体力学
一、计算题 1.如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动．假设定滑轮质量为M 、半径为R ，其转动惯量为
22
1
MR ，滑轮轴光滑．试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系．
2.如图所示，转轮A 、B 可分别独立地绕光滑的固定轴O 转动，它们的质量分别为m A ＝10 kg 和m B ＝20 kg ，半径分别为r A 和r B ．现用力f A 和f B 分别向下拉绕在轮上的细绳且使绳与轮之间无滑动．为使A 、B 轮边缘处的切向加速度相同，相应的拉力f A 、f B 之比应为多少？(其中A 、B 轮绕O 轴转动时的转动惯量分别为221A
A A r m J =
和2
2
1B B B r m J =)
3.一质量为m 的物体悬于一条轻绳的一端，绳另一端绕在一轮轴的轴上，如图
所示．轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r ，整个装置架在光滑的固定轴承之
上．当物体从静止释放后，在时间t 内下降了一段距离S ．试求整个轮轴的转动
惯量(用m 、r 、t 和S 表示)．
4.质量为5 kg 的一桶水悬于绕在辘轳上的轻绳的下端，辘轳可视为一质量为10 kg 的圆柱体．桶从井口由静止释放，求桶下落过程中绳中的张力．辘轳绕轴转动时的转动惯量为
22
1
MR ，其中M 和R 分别为辘轳的质量和半径，轴上摩擦忽略不计．
5.一长为1 m 的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动．抬起另一端使棒向上与水平面成60°，然后无初转速地将棒释放．已知棒对轴的转动惯量为
2
3
1ml ，其中m 和l 分别为棒的质量和长度．求： (1) 放手时棒的角加速度；
(2) 棒转到水平位置时的角加速度．
6.一轴承光滑的定滑轮，质量为M ＝2.00 kg ，半径为R ＝0.100 m ，一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m ＝5.00 kg
的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J ＝2
2
1MR ，其初角速度 ω0
＝10.0 rad/s ，方向垂直纸面向里．求：
(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向；
(2) 定滑轮的角速度变化到ω＝0时，物体上升的高度； (3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向． 7.一质量为M ＝15 kg 、半径为R ＝0.30 m 的圆柱体，可绕与其几何轴重
合的水平固定轴转动(转动惯量J ＝
22
1
MR )．现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m ＝8.0 kg 的物体．不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：
(1) 物体自静止下落， 5 s 内下降的距离；
8.一半径为25 cm 的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1 m/s 2的加速度运动．绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t = 5 s 时
(1) 圆柱体的角加速度， (2) 圆柱体的角速度， (3) 如果圆柱体对转轴的转动惯量为2 kg ·m 2，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉力为多少？
9.一轴承光滑的定滑轮，质量为M ＝2.00 kg ，半径为R ＝0.100 m ，一根
不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有一质量为m ＝5.00 kg 的物体，如图所示．已知定滑轮的转动惯量为J ＝
22
1
MR ，
其初角速度 ω0＝10.0 rad/s ，方向垂直纸面向里．求：
(1) 定滑轮的角加速度的大小和方向；
(2)
定滑轮的角速度变化到ω＝0时，物体上升的高度； (3) 当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度的大小和方向．
10.一质量为M ＝15 kg 、半径为R ＝0.30 m 的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动(转动惯量J ＝
22
1
MR )．
现以一不能伸长的轻绳绕于柱面，而在绳的下端悬一质量m ＝8.0 kg 的物体．不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：
(1) 物体自静止下落， 5 s 内下降的距离； (2) 绳中的张力．
11.一半径为25 cm 的圆柱体，可绕与其中心轴线重合的光滑固定轴转动．圆柱体上绕上绳子．圆柱体初角速度为零，现拉绳的端点，使其以1 m/s 2的加速度运动．绳与圆柱表面无相对滑动．试计算在t = 5 s 时
(1) 圆柱体的角加速度， (2) 圆柱体的角速度， (3) 如果圆柱体对转轴的转动惯量为2 kg ·m 2，那么要保持上述角加速度不变,应加的拉力为多少？
12.长为L 的梯子斜靠在光滑的墙上高为h 的地方，梯子和地面间的
静摩擦系数为μ，若梯子的重量忽略，试问人爬到离地面多高的地方，梯子就会滑倒下来？
13.一转动惯量为J 的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为ω0．设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M ＝－k ω (k 为正的常数)，求圆盘的角速度从ω0变为02
1ω时所需的时间．
14.一圆柱体截面半径为r ，重为P ，放置如图所示．它与墙面和地面之间的静摩擦系数均为
3
1
．若对圆柱体施以向下的力F ＝2P 可使它刚好要反时针转动，求
(1) 作用于A 点的正压力和摩擦力，
(2) 力F 与P
之间的垂直距离d ．
15.一轻绳跨过两个质量均为m 、半径均为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 和2m 的重物，如图所示．绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑．两个定滑轮的转动惯量均为
2
2
1mr ．将由两个定滑轮以及质量为m 和2m 的重物组成的系统从静止释放，求两滑轮之间绳内的张力．
16.质量分别为m 和2m 、半径分别为r 和2r 的两个均匀圆盘，同轴地粘
在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的
转动惯量为9mr 2 / 2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为
m 的重物，如图所示．求盘的角加速度的大小．
17.质量m ＝1.1 kg 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量J ＝
2
2
1mr (r 为盘的半径)．
圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量m 1＝1.0 kg 的物体，如图所示．起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率v 0＝0.6 m/s 匀速上升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向转动．
18.一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的半径为R ,质量为M / 4，均匀分布在其边缘上．绳子的A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为
2
1
M 的重物，如图．设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的加速度？(已知滑轮对通过滑轮中心且垂直于轮面的轴的转动惯量J ＝MR 2 / 4 )
19.如图所示，设两重物的质量分别为m 1和m 2，且m 1＞m 2，定滑轮的半径为r ，对转轴的转动惯量为J ，轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t 时刻滑轮的角速度．
20.质量为M 1＝24 kg 的圆轮，可绕水平光滑固定轴转动，一轻绳
缠绕于轮上，另一端通过质量为M 2＝5 kg 的圆盘形定滑轮悬有m ＝10 kg 的物体．求当重物由静止开始下降了h ＝0.5 m 时，
1) 物体的速度； 2) 绳中张力(设绳与定滑轮间无相对滑动，圆轮、定滑轮绕通过轮心
且垂直于横截面的水平光滑轴的转动惯量分别为2
112
1R M J =，
2222
1
r M J =)
21.两个匀质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮．小圆盘的半径为r ，质量为m ；大圆盘
的半径r '＝2r ，质量 m '＝2m ．组合轮可绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴O 转动，对O 轴的转动惯量J ＝9mr 2 / 2．两圆盘边缘上分别绕有轻质细绳，细绳下端各悬挂质量为m 的物体A 和B ，如图所示．这一系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动，绳的长度不变．已知r = 10 cm ．求：
(1) 组合轮的角加速度β；
(2) 当物体A 上升h ＝40 cm 时，组合轮的角速度ω ． 22.物体A 和B 叠放在水平桌面上，由跨过定滑轮的轻质细绳相互连接，如图所示．今用大小为F 的水平力拉A ．设A 、B 和滑轮的质量都为m ，滑轮的半径为R ，对轴的转动惯量J ＝
22
1
mR ．AB 之间、A 与桌面之间、滑轮与其轴之间的摩擦都可以忽略不计，绳与滑轮之间无相对的滑动且绳不可伸长．已知F ＝10 N ，m ＝8.0 kg ，R ＝0.050 m ．求： (1) 滑轮的角加速度； (2) 物体A 与滑轮之间的绳中的张力； (3) 物体B 与滑轮之间的绳中的张力．
23.两个大小不同、具有水平光滑轴的定滑轮，顶点在同一水平线上．小滑轮的质量为m '，
半径为r '，对轴的转动惯量J ＝
2
2
1mr ．
大滑轮的质量m ＝2m ，半径r ＝2r ，对轴的转动惯量2
2
1r m J ''='．一根不可伸长的
轻质细绳跨过这两个定滑轮，绳的两端分别挂着物体A 和B ．A 的质量为m ，B 的质量 m '＝2m ．这一系统由静止开始转动．已知m ＝6.0 kg ，r ＝5.0 cm ．求两滑轮的角加速度和它们之间绳中的张力．
m
'
24.一质量m = 6.00 kg 、长l = 1.00 m 的匀质棒，放在
水平桌面上，可绕通过其中心的竖直固定轴转动，对
轴的转动惯量J = ml 2 / 12．t = 0时棒的角速度ω0 = 10.0 rad ·s -1
．由于受到恒定的阻力矩的作用，t = 20 s 时，棒停止运动．求： (1) 棒的角加速度的大小；
(2) 棒所受阻力矩的大小；
(3) 从t = 0到t = 10 s 时间内棒转过的角度．
25.如图所示的阿特伍德机装置中，滑轮和绳子间没有滑动且绳子不可以伸
长，轴与轮间有阻力矩，求滑轮两边绳子中的张力．已知m 1＝20 kg ，m 2＝10 kg ．滑轮质量为m 3＝5 kg ．滑轮半径为r ＝0.2 m ．滑轮可视为均匀圆盘，阻力矩M f ＝6.6 N ·m ，已知圆盘对过其中心且与盘面垂直的轴的转动惯量为
232
1
r m
26.如图所示，一半径为R 的匀质小木球固结在一长度为l 的匀质细棒的下端，且可绕水平光滑固定轴O 转动．今有一质量为m ，速度为0
v
的子弹，沿着与水平面成α角的方向射向球心，且嵌于球心．已知小木球、细棒对通过O 的水平轴的转动惯量的总和为J ．求子弹嵌入球心后系统的共同角速度．
27.如图所示，一半径为R ，质量为m 的水平圆台，正以角速度ω0绕通过其中心的竖直固定光滑轴
转动，转动惯量J ＝
22
1
mR ．台上原站有2人，质量各等于转台质量的一半，一人站于台边A 处，另一人站于距台中心R 2
1
的B 处．今A 处的人
相对于圆台以速率v 顺着圆台转向沿圆周走动，同时B 处的人相对于圆台以速率2v 逆圆台转向沿圆周走动．求圆台这时的角速度ω．
28.一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R
，放在
一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求
(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度． (2) 经过多少时间后，圆盘停止转动。

(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为22
1
MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)
2
29.有一质量为m 1、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动．另有一水平运动的质量为m 2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短．已
知小滑块在碰撞前后的速度分别为1v 和2v
，如图所示．求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间.(已知棒绕O 点的转动惯量213
1
l m J =)
A
m 1 ,l
1v
2v
俯视图。