高中数学基础知识与基本题型(完整版)

B {2,4} ）
（2）设集合 M {a | a (1, 2) (3, 4), R} ，
N {a | a (2,3) (4,5) ， R} ， 则 M N _____ （答： {(2, 2)} ） 3. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具， 数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中 各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、 直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、 形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 4.遇到 A B 时， 你是否注意到“极端”情况：A 或 B ；要注意到 是任何集合的子集，是任何非空集 合的真子集。在具体计算时不要忘了集合本身和空集 这两
x2 (2a 1) x a(a 1) 0 。若┐p 是┐q 的必要而不充分的 1 条件，则实数 a 的取值范围是 （答： [0, ] ） 2 5. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移 b 项、 合并同类项等步骤化为 ax b 的形式， 若 a 0 ,则 x ； a b 若 a 0 ,则 x ； 若 a 0 ,则当 b 0 时，x R ； 当 b 0 时， a x 。 如已知关于 x 的不等式 (a b) x (2a 3b) 0 的解集 1 为 (, ) ，则关于 x 的不等式 (a 3b) x (b 2a) 0 的解 3 集为_______（答： {x | x 3} ） 6. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当 0 和 0 时的解集你会正确表示吗？设 a 0 , x1 , x2 是方程
高中数学基础知识与基本题型（理） 种特殊情况.同样当 A B 时，你是否忘记 A 的情形？
集合
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求 有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性， 如（1）设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q= {a b | a P , b Q} ，若 P {0,2,5} ， Q {1,2,6} ，则 P+Q 中元素的有_____个。 （答：8） （2）设 U {( x, y) | x R, y R} ， A {( x, y) | 2 x y m 0} ， B {( x, y) | x y n 0} ， 那 么 点 P(2,3) A (Cu B) 的 充 要 条 件 是 ________ （ 答 ： ； m 1, n 5 ） （3）非空集合 S {1,2,3,4,5} ，且满足“若 a S ，则 6 a S ”，这样的 S 共有_____个（答：7） （4）已知集合 A {1,3, a} ，集合 B {1, a 2 a 1} ，如 果 B A ，求 a 的值 若 a2 a 1 3 ，即2 ， 若 a2 a 1 a即a2 2a 1 0 ，即，则 a 1 。 当 a＝1 时，A 中有两个相同的元素 1，与集合元素的互异 性矛盾，因此，a＝1 应舍去，所以，满足题意的 a 的值为 -1，2。 （5）已知集合 A {x, xy, xy 1}, B {0,| x |, y} ，且 A＝B， 求 x、y 的值。 解：由集合元素中的互异性可知，x≠0，y≠0，所以 A 中的 元素 xy≠0，只有 xy 1 0 ，解得 xy＝1。 （1）x＝y，且 xy | x | ，再注意到 xy＝1，解得
ax2 bx c 0 的两实根，且 x1 x2 ，则其解集如上表：
如解关于 x 的不等式： ax2 (a 1) x 1 0 。（答：当 1 当 a 0 时，x 1 或 x ； 当 0 a 1 时， a 0 时，x 1 ； a 1 1 当 a 1 时， 不等式无解； 当 a 1 时， x 1 ） 1 x ； a a 一元二次不等式解法步骤： （1） 把二次项的系数变为正的（如果是负，那么在不等 式两边都乘以-1，把系数变为正） （2） 解对应的一元二次方程 （先看能否因式分解， 若不能， 再看△，然后求根） 提醒: 0 时,结合相应函数的图像直接写出结论. （3）比较一元二次方程的根、结合相应函数的图像及不等 式的方向写出一元二次不等式的解集. 提醒：勿忘数形结合 （4）解集公式如下表：
B)
U
U (A
A
U
B；
B {2} ，( U A)
U
(A
B)
U
A
U
B.
B {4} ，
如设全集 U {1,2,3,4,5} ， 若A
y | y x , x M ，则 M
N ___（答： [4, ) ） ；
( U A)
则 A＝___， B＝___. （答：A {2,3} ， ( U B) {1,5} ，
如(1) A {x | ax2 2 x 1 0} ，如果 A a 的取值范围。
R ，求
(2)集合A x | x 2 2 x 3 0 ，B x | ax 1


若B A，则实数a的值构成的集合为_________ 1 （答：{ 1， 0， }) 3 5.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）
，则xy | x | 1 ， 合元素的互异性，故应舍去；若 x y 1 从而两个集合中的元素相同。 （2） x | x | 且xy y, 解得x y 1 ，解得，不满足集合元素 的互异性，也应舍去。 综合（1）、（2）可得，只有 x 1, y 1 符合题意。 2.研究集合问题， 一定要理解集合的意义――抓住集合 的代表元素。要看代表元素是数还是数对，代表元素是数 时，是函数关系中自变量的取值 ,还是因变量的取值，可与 方程、不等式的解集、函数的定义域、值域联系；代表元 素是数对时，可联系点的坐标，与平面中的点集（曲线） 联系.如：x | y lg x —函数的定义域； y | y lg x —函数
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常用逻辑用语
1.命题定义： 可以判断真假的语句叫做命题，
逻辑连接词有“或” ( )，“且” ( ) 和 “非”（）
2.含有逻辑连结词的命题真假的判断：
若p q为真，当且仅当 p、q均为真
高中数学基础知识与基本题型（理）
若p q为真，当且仅当 p、q至少有一个为真
若p为真，当且仅当 p为假
其中正确命题的序号是_______（答：①④） ； （ 2 ） 设 命 题 p ： | 4 x 3 | 1 ； 命 题
q:
“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命 题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假 特点是“真假相反”。 如在下列说法中： ⑴“ p 且 q ”为真是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件； ⑵“ p 且 q ”为假是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件； ⑶“ p 或 q ”为真是“非 p ”为假的必要不充分条件； ⑷“非 p ”为真是“ p 且 q ”为假的必要不充分条件。其中正 确的是__________（答：⑴⑶） 3.四种命题及其相互关系。 若原命题是“若 p 则 q”，则逆命题为“若 q 则 p”；否命 题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。 提醒： （1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆 否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题 与逆命题、否命题都不等价；当一个命题的真假不易判断 时，可考虑判断其等价命题的真假； （2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要 注意“非或即且，非且即或”； （3）全称命题及特称命题的否定： 全称命题 p : x M , P( x) ,它的否定 p : x M , P( x) 特称命题 p : x M , P( x) ,它的否定 p : x M , P( x) （4）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要 对命题的条件和结论都否定而命题的否定仅对命题的结论 否定； （5）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一 般利用等价关系“ "A B B A" ”判断其真假， 这也 是反证法的理论依据。 （6）哪些命题宜用反证法？ 如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A、∠B 都是 锐角”的否命题为 （答： 在 ABC 中，若 C 90 ，则 A, B 不都是锐角） ； x 2 （2） 已知函数 f ( x) a x 证明方程 f ( x) 0 没 ,a 1， x 1 有负数根。 4.充要条件 判断命题充要条件的三种方法： ①定义法：关键是分清条件和结论（划主谓宾） ，由条件 可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出 条件，则条件是结论成立的必要条件； ②从集合角度解释，利用集合间的包含关系判断：若 A B ，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 B A ，则 A 是 B 的必要条件或 B 是 A 的充分条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件 ③等价法：即利用等价关系 "A B B A" 判断，对于 条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等 价法； 如（1）给出下列命题：①实数 a 0 是直线 ax 2 y 1 与 2ax 2 y 3 平 行 的 充 要 条 件 ； ② 若 a, b R, ab 0 是 ③已知 x, y R ， “若 xy 0 ， a b a b 成立的充要条件； 则 x 0 或 y 0 ”的逆否命题是“若 x 0 或 y 0 则 xy 0 ”； ④“若 a 和 b 都是偶数， 则 a b 是偶数”的否命题是假命题 。 - 52 -
的值域； ( x, y) | y lg x —函数图象上的点集， 如 （ 1 ） 设 集 合 M {x | y x 2} ， 集 合 N ＝
2
（2）已知函数 f ( x) 4 x2 2( p 2) x 2 p2 p 1 在区 间 [1,1] 上至少存在一个实数 c ，使 f (c) 0 ，求实数 p 的 3 取值范围. （答： (3, ) ） 2 提醒： ，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的 有关问题。 6.集合间的包含问题，简化后，代表元素是数的， 在数轴上，可通过相应区间端点（区间覆盖）来解， 若与一元二次不等式的解集有关， 还可考虑根的分布. （注意端点能否取到） 7.对于含有 n 个元素的有限集合 M，其子集、真子集、非 空 子 集 、 非 空 真 子 集 的 个 数 依 次 为 2n，2n 1， 2n 1， 2n 2. 如 满足 {1,2} M {1,2,3,4,5} 集 合 M 有 ______ 个。 （答：7） 满足 A
B C {1,2,3}的集合组
( A, B, C)有 ___ 组 。 （ 73 ） 8.集合的运算性质： ⑴ A B A B A； ⑵ A B B B A； ⑶ A B U A UB ；
⑷ A UB A B ； ⑸ ⑹ ⑺
U
A B A B ；
5 如(1) 已知关于x的不等式 ax 0的解集为M， 2 x a
若3 M且5 M，求实数a 的取值范围. a35 ∵3 M，∴ 2 0 3 a
5 M， (a 5 5)(52 a ) 0
5 ∴ a 1， 3 (9,25]
x y 1或xy | x | 1 ，当 x y 1 时，xy＝1，这违背了集