2012年考研数学一真题解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1) 曲线221

x x

y x +=-渐进线的条数

（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3

【考点分析】：曲线的渐近线条数。 【求解过程】：C

? 方法一：利用函数图像的平移，将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐

进线条数。

由于22(1)1

11(1)(1)11

x x x x x y x x x x x ++====+--+--， 可知，221x x y x +=- 的图像是由1

y x

=的图像向由右平移一个单位，再向上平移一个单

位所得。

由于图像平移并不改变其渐进线的条数。

1

y x

=

有两条渐进线，其中一条为水平渐近线0y =，一条为垂直渐近线0x =。 所以221

x x

y x +=-也有两条渐近线，选择C 。

【相关补充】：函数平移口诀：上加下减，左加右减。

例如，把函数()y f x =依次做以下四次的平移：（1）向上平移1个单位，（2）向下平移2个单位（3）向左平移1个单位（4）向右平移2个单位。则新函数的解析式为

(12)12(1)1y f x f x =+-+-=--。

? 方法二：直接求解函数的渐近线。

因为 22

lim 1,1

x x x

x →∞+=- 所以1y = 为水平渐进线。 又由于有水平渐进线，所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。

又因为221lim ,1x x x

x →+=∞-所以1x =为垂直渐进线。

综上所述，221

x x

y x +=-也有两条渐近线，选择C 。

【相关补充】：斜渐进线的求解步骤：

1) 考察是否有lim ()x f x →±∞

=∞？若是，则转2）

2) 考察是否有()

lim

x f x a x

→±∞

=（常数）？，若是，则转3） 3) 是否有lim[()]x f x ax b →±∞

-=存在？若是，则()y f x =有斜渐进线y ax b =+，

上述任何一个步骤中，若否，则无斜渐进线。

在某个趋向下，若存在水平渐近线则一定不存在同一趋向下的斜渐近线。 【方法总结】：

方法一较为快速简单，方法二为常规的做法。

(2) 设函数2()(1)(2)

(),x

x

nx y x e e e n =---其中n 为正整数，则(0)y '=

（A ）1

(1)

(1)!n n ---（B ）(1)(1)!n n --（C ）1(1)()!n n --（D ）(1)()!n n -

【考点分析】：单点处的函数值。 【求解过程】：A

? 方法一：利用乘积函数的导数公式

22221()(1)(2)(),

()()(2)()(1)(2)

()(1)(2)

(),

(0)1(12)(1)(1)(1)!

x x nx x x nx x x nx x x nx n f x e e e n f x e e e n e e e n e e ne f n n -=---'=--+--+

+--'=?-?

?-=--选择A 。

? 方法二：利用单点处的导数定义

220022001()(1)(2)(),

()(0)(1)(2)()

(0)lim lim

(2)()lim lim(2)()(12)(1)(1)(1)!

x x nx x x nx x x x nx

x nx x x n f x e e e n f x f e e e n f x x x e e n e e n x

n n →→→→-=-------'==--==--=-??-=-- ? 方法三：利用特值代入

2222()(1)(2)(),

()(1)(2),()()(2)(1)(2)(0)1(12)1,

A x x nx x x x x x x f x e e e n f x e e f x e e e e f =---=--'=-+-'=?-=-当n=2时，将n=2代入各个选项，由排除法选择。

【方法总结】：

方法一最直接，但是用乘积函数的导数公式计算较为复杂。 方法二求某一点的函数值直接利用导数定义，较为简单。

方法三代入特殊值的技巧在选择题中排除选项很常见，要掌握。

(3) 如果函数(,)f x y 在（0，0）处连续，那么命题正确的是

（A ）若极限00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微

（B ）若极限22

00

(,)

lim

x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微

（C ）若(,)f x y 在（0，0）处可微，则极限00

(,)

lim

x y f x y x y →→+存在

（D ）若(,)f x y 在（0，0）处可微，则极限22

00

(,)

lim

x y f x y x y →→+存在

【考点分析】：本题考查二元函数连续性，可微性与极限存在性，直接应用可微的定义。 【求解过程】： B 方法一：正向选择法

由于函数(,)f x y 在（0，0）处连续， 如果极限220

(,)

lim

x y f x y x y →→+存在，则必有(0,0)f =00

lim (,)0x y f x y →→= 这样极限220

(,)lim

x y f x y x y →→+存在等价于极限2200

(,)(0,0)lim x y f x y f x y ?→?→??-?+?存在，

可知，lim

0x y ?→?→=

，从而

(,)(0,0)00f x y f x y o ??-=?+?+，由可微性的定义，可知

(,)f x y 在（0，0）处可微。

方法二：反向排除法

（A ）(,)f x y x y =+，极限00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+=1存在，而(,)f x y x y =+在（0，0）处

偏导数不存在，所以不可微。排除A （B ）若极限22

00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微 （C ）(,)f x y =1在（0，0）处可微，而极限00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+不存在。排除B

（D

）(,)f x y =

0，0）处可微，而极限22

00

(,)

lim

x y f x y x y

→→+不存在。排除D 【方法小结】： 方法一直接从定义入手;

方法二通过观察已知函数快速构造反例。 (4) 设2

sin (1,2,3)kx

t k I e xdx k =

=?

，则有

（A ）123I I I <<（B ）321I I I <<（C ）231I I I <<（D ）213I I I << 【考点分析】：本题考查定积分的比较性质与区间变换。 【求解过程】：D

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

10

2222111

32323311022232sin 0,

sin sin sin sin sin +sin sin +sin ,

sin sin x x x x x x x x x x x I e xdx I e xdx I e xdx I e x dx I A I e xdx I e xdx e xdx I e x dx e xdx e x dx e xdx π

π

π

π

ππ

π

π

π

π

π

ππππ

π

π

π

π

=>==+=-<==+=-???????????由此可以排除选项；

因此只需比较与的大小，2

2

2

2

2

2

2

2

3222()()()22223()231312,sin sin()sin sin ,

sin sin ,sin sin ,

x t t t x t x x x t e xdx e t dt e tdt e t dt e x dx e t dt e x dx e xdx I I I I I D π

π

π

π

ππππ

π

ππ

π

ππ

π

πππππ

ππ++++=+=+=-=<<>>>????????采用区间变换的方法。

令则由于，所以，

从而综上所述，，选择。

(5)

设1α=100C ?? ? ? ???,2α=201C ?? ? ? ???,3α=311C ?? ?- ? ???,4α=411C -?? ? ?

???

,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的是

（A ）123,,ααα（B ）124,,ααα（C ）134,,ααα（D ）234,,ααα

【考点分析】：本题考查向量组的线性相关性。 【求解过程】： C

? 方法一：利用若两向量对应分量成比例，则两向量线性相关。

343

400C C αα??

?+= ?

?

+??

可见34αα+与1α成比例，所以1α与34αα+线性相关，所以134,,ααα线性相关，选C 。 ? 方法二：联系行列式求解。

13413

4

011

,,0

1

10C C C ααα-=-=，所以134,,ααα线性相关，选C 。

(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -??

?= ? ???

.若123(,,)P ααα=, 1223(,,)Q αααα=+，则1Q AQ -=

（A ）100020001?? ? ? ???（B ）100010002?? ? ? ???（C ）200010002?? ? ? ???（D ）200020001??

? ? ???

【考点分析】：本题考查矩阵分块乘法逆用，初等矩阵的逆矩阵，具体的数值矩阵的乘法。 【求解过程】：B

-1-1

-1-1-1100100100110,=110=-110001001001Q P Q P P ?????? ? ? ?

= ? ? ? ? ? ???????

则

故

-1-1

-1-1100100100100100100=-110110-110010110010001001001002001002Q AQ P AP ???????????? ? ? ? ??? ?

== ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ?????????????

选择 B

【基础回顾】：初等矩阵的性质。

111(,)(,);

1

(())(());(())(())

E i j E i j E i E i E ij k E ij k λλ

---===-

1

3100100110110001001-???? ? ?=- ? ?

? ?????

根据初等矩阵的性质（），可以直接写出矩阵

(7)

设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则()P x y <= （A ）15（B ）13（C ）25（D ）45

【考点分析】：本题考查指数分布的概率密度函数与二元函数的概率取值。 【基础回顾】：x 服从参数为λ的指数分布，则其概率密度为

,0;

()0,0.

t e t f t t λλ-?>=?≤?

【求解过程】：A

设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则

,0;()0,0.x X e x f x x -?>=?≤?，44,0;()0,0.y Y e y f y y -?>=?≤?，

44,0,0;

(,)0,.x y e e x y f x y others --?>>=??

440

450

()(,)4(4)15

x y

x

y

x y

x

x

x x

x

P x y f x y dxdy dx e e

dy e dx e d y e e dx e dx +∞

+∞

+∞

+∞----<+∞

+∞

---<=

=

=

=

==??

??????

(8)

将长度为1m 的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为 （A ）1（B ）

12

（C ）1

2-（D ）-1

【考点分析】：本题考查两随机变量线性相关系数。

【求解过程】：D

? 方法一：利用两随机变量线性相关系数的性质直观含义求解。

设两段长度分别为x 与y ，显然1x y +=，1y x =-，故两者是负线性相关，所以相关系数为-1。

? 方法二：利用相关系数的公式求解。

,1,

cov(,)cov(,1)cov(,)(),()(1)()

1.

x x y x x x x D x D y D x D x ρρ=-=

=-=-=-=-===-设一段长 x 另一段长y 由其中，

所以，

【方法小结】：方法一很简单快速，且利用这一性质求线性相关系数的考点历年真题中

出现过。

二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)

(9) 若函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x

f x f x e '+=，则()f x =

【考点分析】：本题考察二阶齐次线性微分方程的求解以及用待定系数法求特解。 【求解过程】：x

e

特征方程为2

20r r --=，特征根为121,2r r ==-，齐次微分方程

()()2()0f x f x f x '''+-=的通解为212()x x f x C e C e -=+，再由()()

2x f x f x e '+=得21222x x x C e C e e --=，可知121,0C C ==，故()f x =x e

(10) 1

2

22

(2)x x x dx -=?

【考点分析】：本题考查定积分。 【求解过程】：

2

π ? 方法一：凑微分，定积分的几何意义。

112

2

22

22

2

12

20

2

13

2

22

22

20112

2

222

2

1

2

22

0(2)(2)2(2)(2)2

22(2)(2)(2)0,

03(2)=(2)(2)[0,2]x x d x x x x dx

x x x dx x x x d x x x x x x x x dx x x dx

x x dx y x -----=

-=--=-==---=∈?

??

????其中，所以有定积分的几何意义，为曲线上时与x 轴所围成区域的面积。

即圆点在点（1，0），半2

π

径为1的圆的上半圆的面积，为。

? 方法二：凑微分，变量替换。

()112

2

222

2

01

12

1

222

2

1

1

1

22

1111

1

222

2

1

(2)11(1(1))(1)(2)=(1)(1)(1)(1),((1)2(1)2,(4

2

x x x dx x x d x x x x dx t t dt

t t dt t dt t dt π

π

----=-+---???

?-+-=+-=-=-=?

=

?

??????令t=x-1,

则，奇函数在对称区间上定积分为零），

定积分的几何意义）

。

【方法小结】：方法一由已知中函数的形式凑微分，思路简单易想。方法二首先观察题干，

想到凑成1x -的形式，再进行变量代换。

(11) (2,1,1)

()z grad xy y +

=

【考点分析】：本题考查某一点的梯度，直接带入梯度公式。 【求解过程】： {}1,1,1

{}2(2,1,1)(2,1,1)

1(),,1,1,1z z grad xy y x y y y ??+=-=????

【相关补充】：三度（梯度，散度，旋度） 梯度为一个向量，与方向导数相关； 散度为一个数值，与高斯公式相关； 旋度为一个向量，与斯托克斯公式相关。 (12) 设

{}(,,)|1,0,0,0x y z x y z x y z =++=≥≥≥∑，则2

y ds =∑

??

【考点分析】：本题考查对第一类曲面积分（对面积的曲面积分）的计算。 【基础回顾】：第一类曲面积分（对面积的曲面积分）的计算方法的三代换法。

(,,)[,,(,xy

D f x y z ds f x y z x y =∑

????

代换一：将(,)z z x y =代入

代换二：将ds

代换三：将第一类曲面积分

ds ∑

??换成二重积分xy

D dxdy ??

【求解过程】：

12

{

}221

11

2

2

200

1,1,1,1,

,

(,)0,0,1(1)x y Dxy Dxy

y Dxy

x y z z x y z z y dS y

y dxy Dxy x y x y x y y dxy dy y dx y y dy ∑

-++==--=-=-===≥≥+≤-=

?????

由得从而其中，

(13)

设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T

E xx -的秩为 【考点分析】：本题考查抽象矩阵的秩 【求解过程】： 2

? 方法一：利用特征值和实对称矩阵的性质。

2222221(,,),1,

(,,)(,,),001=T T T T T T T T T

T T x a b c a b c xx a b c a b c xx xx a b c E xx E xx E xx E xx =++===++=----由于x 为三维单位向量，则矩阵xx 为秩为的矩阵。不妨设其中，则根据秩为1的行行成比例，列列成比例的矩阵的性质，得，矩阵有三个特征值，分别为，，tri()，则矩阵有三个特征值，分别为1，1，0，

又由于（），可知，为实对称矩阵，

根据实对(1,1,0),)(1,1,0) 2.

T T E xx diag E xx diag --==称矩阵一定可以相似对角化，

即矩阵相似于再由相似矩阵的秩相等，可得r(r 【相关补充】：秩为1的方阵的性质:

1) 矩阵的A 的行（列）与行（列）是成比例的；

2) 矩阵A 总可以分解为一个列向量和一个行向量的乘积，即

()1212

33a A a b b b a ??

?

= ? ???

；

3) 2

,A kA =其中k trA =是一个常数；

4) N 阶矩阵A 有特征值：N-1个0,和1个k trA =，当0trA ≠时，A 可对角化；

否则不可对角化。

? 方法二：利用秩的性质。

()()2,()0()()3;+()()() 3.()()=3;

=()=()=1()=2

T T T T T T A E XX A E XX E XX E XX A A A E R A R A E A E A E R A R A E R A R A E A E XX R A E R XX R A =-=--=-=-=?+-≤-=?+-≥+-----有，且，所以，而，，所以，

【相关补充】：矩阵秩的一些性质。

要证明()()r A r B =,只需证明()()r A r B ≥及()()r A r B ≤； 要证明()()r A r B n +=，只需证明：

0()();

()(),0)(AB R A R B n A B kE R A R B n k =?+≤+=?+≥≠（秩的和不小于和的秩）

方法三：举特例将抽象矩阵具体化。

()

1,0,010*******=010000010001000001() 2.

T

T T x E XX r E XX =??????

? ? ?

--= ? ? ? ? ? ???????

-=不妨设则，所以，

【方法总结】：在考场上，方法三最快速。 (14)

设A,B,C 是随机事件，A 与C 互不相容，11

(),(),(|)23

p AB p C p AB C === 【考点分析】：本题考查条件概率公式，不相容。 【求解过程】：

3

4

由条件概率的定义，

()

(|)()

p ABC p AB C p C =

12

()1()1,

33

1

()()()(),

2

p C p C p ABC p AB p ABC p ABC =-=-==-=-其中，

由于A ，C 互补相容，即AC=?，()0p AC = 又ABC AC ?,得到()0p ABC =, 代入得1()2p ABC =，故3(|)4

p AB C =

三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

(15)(本题满分10分)

证明：2

1ln cos 1+,1112

x x x x x x ++≥-<<-

【考点】：本题考查不等式的证明。

【思路】：转化为函数在给定区间上的最值问题。结合函数的奇偶性质和单调性质证明。 【题解】：

222

1()ln cos 1[ln(1)ln(1)]cos 1,11

122

()[ln(1)ln(1)]cos 1,

2

()()[ln(1)ln(1)][ln(1)ln(1)]0,()(1,1)()[0,1)x x x f x x x x x x x x x x f x x x x x f x f x x x x x x x f x x f x x +=+--=+--+---<<--=---++----=+--+--+=∈-∈令由，则，所以在上时为偶函数，由此，可仅需考虑在上的性2

2

22

22

11111()ln []sin ln sin 11111111(0,1)ln 01,sin 111[0,1)()0()()(1,1)-10]()()(1x x x f x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x f x f x f x x x f x f x x +++'=++--=+--+---+++∈>>?><---'∈>∈-∈∈-质，

又，，由于当时，，所以，在上，，即单调增加，

由于在上时为偶函数，所以在（，上，单调减小，在2,1)0(0)=01(1,1)()0(1,1)ln cos 1+12x f x x x f x x x x x =+∈-≥∈-+≥-上时，在时取得最小值，，

所以在上有，即证明了当时，有。

(16)(本题满分9分) 求函数222

(,)x y f x y xe

+-=的极值

【考点】：本题考察二元函数取得极值的条件。 【题解】：

()()22

2

222222

2

22222

22

2

2

2122

232

2

2(,),

0()(1),

,=0=01,0,1,0;(2)(1)()(x y x y x y x y x y x y x y f x y xe

f

e

xe

x x e

x

f

xye y f f

P P x y

f

x e

x e

x x x

+-

+++--

-

+-++--

=?=+-=-??=-???-???=-+--=-?首先，令其梯度向量为，求驻点：

其中，令，，解得其驻点为其次，求Hense 矩阵，判定在给定点的极值：其中，222

222222222

222

222

2

2

22

2

2

2

223

2

2

22

2

2223),

(1),

()(1).

(3)(1),),(1)x y x y x y x y x y x y x y x e

f f x ye x y y x

f

xe xye

y x y e

y f f A B x x e x ye x x y x y Hense H B C f f x y x

y +-

+-+++-

-

-++-

-??==--?????=---=-???????---???????==

=??????????--?????

对点（其矩阵()()()2222222

12211212

11

22

212(1)201,0,00,01,0(1,0);201,0,00,0

x y x y ye x y e

e P Hense H AC B A e Hense P

f e e P Hense H AC B A e Hense ++--

--

---

???????

?-??

????-=->>??????--=-??

-??=->

对点，其矩阵由，其矩阵正定，所以在点处取得极小值，对点，其矩阵由，其矩阵负定，所以在点()1

2

21,0(1,0)P f e -=处取得极大值，。

(17)(本题满分10分)

求幂级数220

44321n

n n x n ∞

+++∑的收敛域及和函数 【考点】：本题考查幂级数的收敛域及和函数。

【题解】：

[]

[]220

2

2(1)

2

222

20

2443214(1)4(1)32(1)1lim

,

443211,11,443112144n

n n n

n n x n n n x n x n n x n x x R n n x x n n n n ∞

+→∞

∞

+++??++++??++=??++??+<<=++=-=+++→∞∑∑

首先求幂级数的收敛域：

级数缺少奇次幂的项，根据比值审敛法求收敛半径，当，即，时，级数收敛，得到级数的收敛半径在端点，与处，原级数成为由于当时，通项22222000012210

210

3

021

(1,1).44321(),()(21)(21)2212121()2()()(21)()(21)n n n n

n x

x n

n I n n S x S x x n x n x x n n n S x S x S x n x S x dx n x

dx ∞

∞∞∞

∞

∞→∞≠+=-++??==++=++??+++??=+=+=+=∑∑∑∑∑∑?

，所以原级数发散，

综上所述，原级数的收敛域其次，求幂级数的和函数：

设和函数为即，

其中，，

221352

2

12

22

2212320021

22432

00

33

20

0(21)11()()1(1)11()()(),

212111()()1,2111()()1x

n

n n

n n n x

x

x n x dx x x x x x x x S x x x S x x S x xS x x n n S x x x x x n x S x S x dx dx x ∞

∞

+∞

∞

+∞∞

++==+++

+=

-+'==--===++''===++++=+-'===-∑∑?

?∑∑∑∑??其中，，于是，2220

220

022211ln ,21111

0()ln ;0(0)1,0212111(0)lim ()lim

ln 1,213,0;

()111ln ,(1,0)(0,1).

(1)1n x x x x x x S x x S x x x x n x S S x x x x S x x x x x x x ∞→→+??

?-??

+??≠==== ?=-+??+??

=== ?-??

=??

=++???

+∈-? ?--???

∑于是，当时，当时，也可以由和函数的连续性，得综上所述，

?

【基础】：1.幂级数和函数的一些性质。 1) 幂级数

n

n a x

∞

∑的和函数()S x 在其收敛域I 上连续

2) 幂级数

n

n a x

∞

∑的和函数()S x 在其收敛域I 上可积，并可以逐项积分。逐项积分后所

得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。 3) 幂级数

n

n a x

∞

∑的和函数()S x 在其收敛区间(,)R R -内可导，且可以逐项求导。逐项求

导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

2.常用的不定积分的结论需要识记：2

21ln 2dx x a

C x a a x a

-=+-+?

(18)(本题满分10分)

已知曲线():(0)cos 2x f t L t y t

π

=?≤

()0,(0)2

f t t π

'><<

。若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的

表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

【考点】：本题考查参数方程求导，切线方程，常见不定积分公式，定积分的几何意义。 【题解】：

（1） 曲线L 在任意一点(,)x y 处的斜线斜率为

sin ()dy dy dt t

dx dx dt f t -==' 过该点(,)x y 处的切线方程为：sin cos (())()

t

Y t X f t f t --=

-'。 令0Y =得()cot ()X f t t f t '=+，由于曲线L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，即点(()cot (),0)f t t f t '+与点((),cos )f t t 之间的距离为1，故有

22[()cot ()()]cos 1f t t f t f t t '+-+=，()0,(0)2

f t t π

'><<

所以sin ()cot t

f t t

'=

，两边取不定积分

22sin sin 1cos ()sec cos cot cos cos ln sec tan sin t t t

f t dt dt dt tdt tdt

t t t

t t t C

-====-=+-+????? 又由于(0)0f =，故0C =，所以函数()ln sec tan sin f t t t t =+-

（2）

222220

0sin cos ()cos sin cot 4

t S ydx tf t dt t dt tdt t ππππ

π'=====???

?

【基础】：

221cos sin sec cos cos 1sin x d x

xdx dx dx x x

x ===-??

?? 利用

221ln 2dx x a C

x a a x a -=+-+?

2211sin 1(1sin )1sin sec ln ln ln 21sin 21sin cos ln sec tan x x x

xdx C C C x x x x x C

+++=+=+=+--=++?

(19)(本题满分11分)

已知L 是第一象限中从点(0,0)沿圆周2

2

2x y x +=到点(2,0)，再沿圆周2

2

4x y +=到点

(0,2)的曲线段，计算曲线积分233(2)L

J x ydx x x y dy =++-?

【考点】：本题考查第二类曲线积分的计算，格林公式。 【题解】：

1

1

1

22122211232323322D 4D 020003(2)3(2),

3(2)(2)(3)[]L L L L L x y x x y x x ydx x x y dy x ydx x x y dy x ydx x x y dy x x y x y d x y +++=+==++--++-++-?+-?=-?????

记圆周在第一象限部分的区域为，圆周在第一象限部分的区域为，补直线L ：上从点（，）到点（，），则曲线L 与直线L 所围闭区域，记为D ，则J=其中

用格林公式，

211

22

232

[313],

2

3(2)24

4.

2

Dxy Dxy

D D D Dxy

L xdy

x x dxdy dxdy S S S x ydx x x y dy ydy J π

π

=+-=

==-=

++-=-==

-????

????其中所以

(20)(本题满分10分)

设1

000

10001001a a A a a ?? ?

?= ?

???，11

00b ??

?

- ?= ? ?

??

（1） 求A

（2） 已知线性方程组Ax b =有无穷多解，求a ，并求Ax b =的通解。

【考点】：本题考查行列式的计算，非齐次线性方程组的通解。 【题解】：（1）按第一列展开定理求行列式。

4141001000010101(1)101001001

01001

a a a a a a a a a a

a +=?+?-=-

（2）

4=10,11,1100110012011010

10-1-11A=()(A),0011000110100100

000111-10011

00-100

1-101010-1-1A=001-10-1

0010A a a a a R A R a a -===-????????-?

???=→≠????

????

????

=????-?

?=→??????已知方程组Ax=b 有无穷多解，则解得或当时，，所以方程组Ax=b 无解，故舍弃；当时，()()-10

01-100

00001,1,1,10,1,0,0.

T

T

k ?????

???

?

?

??

+-所以方程组Ax=b 的通解为

(21)(本题满分11分)

已知10

10

111001A a a ?????

?=??

-??-??

，二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2 （1） 求实数a 的值

（2） 求正交变换x Qy =将f 化为标准型

【考点】： 本题考查矩阵的乘法，矩阵的秩，二次型实对称矩阵，二次型正交变换化标准型。 【题解】： （1）

2

21

110102

010110100111011111301T a A A a a a a a a a a a ??

--????

? ?

?

?==+- ? ?

?- ?

?---+

?????

-??

因为二次型123(,,)()T T f x x x x A A x =的秩为2，即T

A A 的秩为2，所以

2222

2

01011(3)(1)0113T a

A A a a a a a

a

a -=

+-=++=--+,由此可得1a =- （2）由此202022224T A A B ????==??????

2

02

02

2(2)(6)02

2

4

E B λλλλλλλ---=

--=--=---

解得1230,2,6λλλ===

当()1100)0,0,=-1-11T

E A x Ax λξ=-==时，由（即得 当()222)0,=-110T

E A x λξ=-=时，由（2得 当()336)0,=112T E A x λξ=-=时，由（6得

单位化取1111)T r =

--

，2110)T r =-

，312)T r =

得0

Q ? = ? 令T

f x Bx =，其中x Qy =，22

2326f y y =+

(22)(本题满分11分)

求：

（1）求{2}P X Y = （2）求cov(,)X Y Y -

【考点】：本题考查二维离散型分布的概率取值及相关数字特征的计算。

【题解】：

（1）11

(2)(0,0)(1,2)044

P X Y P X Y P X Y ====+===

+=

（2）

cov(,)cov(,)cov(,)(,)()()()X Y Y X Y Y Y E X Y E X E Y D Y -=-=--

22212212(),()136333

112

()121333112

()112231232222

cov(,)13333E X E Y DY EY EY E XY X Y Y =

+==+==-=?+?-=

=??+??=

-=-?-=-

(23)(本题满分11分)

设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N u σ与2

(,2)N u σ，其中σ是未知参数，且0σ>，设Z X Y =- （1） 求Z 的概率密度2

(,)f z σ； （2） 设12

n Z Z Z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大释然估计量2?σ

； （3） 证明2

?σ

为2

σ的无偏估计量。 【考点】：本题考查正太分布的概率密度与性质，参数估计中的最大释然估计和估计的无偏

性，随机变量数字特征的计算。 【题解】：