《微积分》各章习题及详细答案

第一章 函数极限与连续
一、填空题
1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)
1()34(lim
22
x x x x 。

3、0→x 时,x x sin tan -就是x 的 阶无穷小。

4、01sin lim 0=→x
x k
x 成立的k 为 。

5、=-∞
→x e x
x arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0
,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续,则=b 。

7、=+→x
x x 6)13ln(lim 0 。

8、设)(x f 的定义域就是]1,0[,则)(ln x f 的定义域就是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 就是非零常数,则________)(lim =-+∞→x
x a
x a x 。

11、已知当0→x 时,1)1(3
12-+ax 与1cos -x 就是等价无穷小,则常数________=a 。

12、函数x
x
x f +=13arcsin )(的定义域就是__________。

13
、lim ____________x →+∞
=。

14、设8)2(
lim =-+∞→x
x a
x a x ,则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=____________。

二、选择题
1、设)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l -上的奇函数,则 中所给的函数必为奇函数。

(Ａ))()(x g x f +;(Ｂ))()(x h x f +;(C))]()()[(x h x g x f +;(D))()()(x h x g x f 。

2、x
x
x +-=
11)(α,31)(x x -=β,则当1→x 时有 。

(Ａ)α就是比β高阶的无穷小; (Ｂ)α就是比β低阶的无穷小; (C)α与β就是同阶无穷小; (D)βα~。

3、函数⎪⎩
⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1
111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续,则=k 。

(Ａ)23; (Ｂ)3
2
; (C)1; (D)0。

4、数列极限=--∞
→]ln )1[ln(lim n n n n 。

(Ａ)1; (Ｂ)1-; (C)∞; (D)不存在但非∞。

5、⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>=<+=0
1cos 00
0sin )(x x x x x x x x x f ,则0=x 就是)(x f 的 。

(Ａ)连续点;(Ｂ)可去间断点;(C)跳跃间断点;(D)振荡间断点。

6、以下各项中)(x f 与)(x g 相同的就是( )
(Ａ)2
lg )(x x f =,x x g lg 2)(=; (Ｂ)x x f =)(,2)(x x g =
;
(C)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g ;(D)1)(=x f ,x x x g 2
2tan sec )(-=。

7、 |
|sin lim
0x x
x →= ( )
(Ａ) 1; (Ｂ) -1; (C) 0; (D) 不存在。

8、 =-→x
x x 10
)1(lim ( )
(Ａ) 1; (Ｂ) -1; (Ｃ) e ; (Ｄ) 1
-e 。

9、)(x f 在0x 的某一去心邻域内有界就是)(lim 0
x f x x →存在的( )
(Ａ)充分必要条件;(Ｂ) 充分条件;(C)必要条件;(D)既不充分也不必要条件、 10、 =-+∞
→)1(lim 2
x x x x ( )
(Ａ) 1; (Ｂ) 2; (C)
2
1
; (D) 0。

11、设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且∞===∞
→∞
→∞
→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ,则必有( )
(A)n n b a <对任意n 成立; (B)n n c b <对任意n 成立; (C)极限n n n c a ∞
→lim 不存在 ; (D)极限n n n c b ∞
→lim 不存在。

12、当1→x 时,函数
1
1
21
1---x e x x 的极限( ) (Ａ)等于２; (Ｂ)等于０; (Ｃ)为∞; (Ｄ)不存在但不为∞。

三、计算解答 1、计算下列极限 (1)1
2sin
2lim -∞
→n n
n x ; (2)x
x
x x cot csc lim
0-→ ;
(3))1(lim 1-→∞x
x e x ; (4)x
x x x 31212lim ⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→ ;
(5)1cos cos 21
cos 2cos 8lim 223
-+--→
x x x x x π; (6)x x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→;
(7)⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n ; (8)32324arctan )21ln(lim x x x --+→。

３、试确定b a ,之值,使21
11lim 2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x 。

４、利用极限存在准则求极限
(1)n
n n n 13121111
131211lim
++++++++++
∞
→ 。

(2)设01>>a x ,且),2,1(1 ==+n ax x n n ,证明n n x →∞
lim 存在,并求此极限值。

5、讨论函数x
x x
x n n n n n x f --∞→+-=lim )(的连续性,若有间断点,指出其类型。

6、设)(x f 在],[b a 上连续,且b x f a <<)(,证明在),(b a 内至少有一点ξ,使ξξ=)(f 。

第一单元 函数极限与连续习题解答
一、填空题
1、x 2
sin 2 。

2
sin 22)2sin
21(1)2(sin 22x x x f -=-+=, 222)(x x f -=∴ x x x f 22sin 2cos 22)(cos =-=∴。

2、0 。

016
249lim )1()34(lim
3222=+-++=-+∞→∞→x
x x x x x x x x 。

3、高阶 。

0)cos 1(lim )
cos 1(tan lim sin tan lim 000=-=-=-→→→x x x x x x x x x x ,
x x sin tan -∴就是x 的高阶无穷小。

4、0>k 。

x 1sin 为有界函数,所以要使01
sin lim 0=→x
x k x ,只要0lim 0=→k x x ,即0>k 。

5、 0 。

0arctan lim =-∞
→x e x x ))2,2(arctan ,0lim (π
π-
∈=-∞
→x e x
x 。

6、2=b 。

b b x x f x x =+=--→→)(lim )(lim 0
, 2)1(lim )(lim 0
=+=++→→x
x x e x f ,
,)0(b f = 2=∴b 。

7、 21
2
163lim 6)13ln(lim 00==+→→x x x x x x 。

8、 e x ≤≤1 根据题意 要求1ln 0≤≤x ,所以 e x ≤≤1。

9、21
-=-x e
y )2ln()1(),2ln(1+=-∴++=x y x y ,12-=+y e x ,
21-=∴-y e x ,)2ln(1++=∴x y 的反函数为21-=-x e y 。

10、a
e 2 原式=a a
a x x
a a
x x e a
x a 222)21(lim =-+
⋅-⋅-∞→。

11、23-=a 由231
231~1)1(ax ax -+(利用教材P58(1)1a
x ax +-)与221~1cos x x --,以及
1322
131lim 1cos 1)1(lim 2
203
1
20=-=-=--+→→a x ax x ax x x , 可得 2
3
-=a 。

12、21
41≤≤-x 由反三角函数的定义域要求可得
⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤+≤-0
11
131x x x 解不等式组可得 ⎪⎩⎪⎨⎧-≠≤≤-12
141x x ,⇒)(x f 的定义域为2141≤≤-x 。

13、0
lim
lim
x x =
22lim
0x ==。

14、2ln 23lim()lim(1)x x x x x a a x a x a →∞→∞+=+--,令t=3x a
a
-,所以x=3at a +
即:3211
lim(
)lim[(1)](1)x t a a x t x a x a t t
→∞→∞+=++-=38a e =
2ln 3
2ln 8ln 318ln 33
===⇒=a a 。

15、2 )
2(2
)1(lim )2)(1(lim n n n n n n n n n n ++⨯++=-++++∞→+∞→
212
1)
1
11(2lim =++++=+∞→n
n n 。

二、选择题
1、选(Ｄ) 令)()()()(x h x g x f x F =,由)(),(x g x f 就是],[l l -上的偶函数,)(x h 就是],[l l - 上的奇函数,)()()()()()()()(x F x h x g x f x h x g x f x F -=-=---=-∴。

2、选(Ｃ) ])1(11)[1(1lim )1)(1(1lim )()(lim
31311x x x
x x x x x x x x ---+-=-+-=→→→βα
2
3
)1(3
1
)1(1lim 1=-⋅+-=→x x x x (利用教材P58(1)1a x ax +-)
3、选(A) 233
1
21lim
1111lim )(lim 0300==-+-+=→→→x x
x x x f x x x (利用教材P58(1)1a x ax +-) 4、选(Ｂ) 1lim [ln(1)ln ]lim ln(1)1n
n n n n n n -→∞→∞--=--=-
5、选(Ｃ) 1)0(=-f , 0)0(=+
f , 0)0(=f
6、选(Ｃ) 在(A)中2
ln )(x x f = 的定义域为0≠x ,而x x g ln 2)(=的定义域为0>x ,)
()(x g x f ≠∴故不正确
在(B)x x f =)( 的值域为),(+∞-∞,2)(x x g =的值域为0>x ,故错 在(D)中1)(=x f 的定义域为R,x x x g tan sec )(2
-=的定义域为
}2,{π
π+≠∈k x R x ,)()(x g x f ≠∴,故错
7、选(Ｄ) 1sin lim ||sin lim 00==++
→→x x x x x x ,1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→x x
x x x x |
|sin lim 0x x x →∴不存在 8、选(Ｄ) 1)1(1
010
)]
(1[lim )1(lim --⋅-→→=-+=-e x x x
x x
x ,
9、选(Ｃ) 由函数极限的局部有界性定理知,)(lim 0
x f x x →存在,则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界,而
)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0
x f x x →存在,例如x x 1sin
lim 0
→,函数11
sin 1≤≤-x
有界,但在0=x 点极限不存在
10、选(Ｃ)
(
lim ()lim x x x x x x →∞
→∞
==
2
111
11lim
2
=
++
=∞
→x x
11、选(D) (A)、(Ｂ)显然不对,因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当n 充分大时”的情况,不
可能得出“对任意n 成立”的性质。

(Ｃ)也明显不对,因为“无穷小·无穷大”就是未定型,极限可能存在也可能不存在。

12、选(D) 002)1(lim 11lim 11
1
1
121=⋅=+=---→-→--
x x x x e x e x x ∞=+=---→-→++11
1
1121)1(lim 11lim x x x x e x e x x 当1→x 时函数没有极限,也不就是∞。

三、计算解答 1、计算下列极限: (1)解:x x
x n n n n n
n 222lim 2
sin
2lim 1
1
=⋅
=-∞
→-∞
→。

(2)解:2
200001cos csc cot 1cos 1
sin sin 2lim lim lim lim sin 2
x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-
--====。

(3)解:11
lim )1(lim 1
=⋅=-∞→∞→x
x e x x x x 。

(4)解:3
21
2133])2
111[(lim )1221(lim )1212(
lim +-∞→∞→∞→-
+=-+=-+x x x x x x x x x x 。

11
3
332211[lim(1)][lim(1)]1122
x x x e x x -→∞→∞
=+⋅+=-- (5)解:)1)(cos 1cos 2()
1cos 4)(1cos 2(lim 1cos cos 21cos 2cos 8lim 3
223
+-+-=-+--→
→x x x x x x x x x x ππ
212
1
12141
cos 1
cos 4lim 3
=++⨯
=
++=→
x x x π。

(6)解:)
cos sin 1(tan cos sin 1lim
tan cos sin 1lim 00x x x x x x
x x x x x x x x x ++-+=-+→→ 2020202cos 1lim 2sin lim 2cos 1sin lim x x x x x x x x x x x x -+=-+=→→→434121=+=。

lim(12x →+=
(7)解:])
1(1
321211[
lim +++⨯+⨯∞→n n x
)]1
1
1()3121()211[(lim +-++-+-=∞→n n x 1)1
1
1(lim =+-=∞→n x 。

(8)解:3312323
2323241
)21(lim 42lim 4arctan )21ln(lim =
+=--=--+→→→x x
x x x x x x 。

３、解:1
)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b x b a ax x b ax x x x x
211)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴21)(01b a a ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-==231b a
４、(1) 1111211111312111++<+++++++++<
n n
n n 而 1111lim =+++∞→n x 11
3121111131211lim =++++++
++++∴+∞→n
n n x 。

(2)先证有界(数学归纳法)
1=n 时,a a a ax x =⋅>=12
设k n =时,a x k >, 则 a a ax x k k =>=+21
数列}{n x 有下界, 再证}{n x 单调减,
11
<==+n
n
n n n x a
x ax x x
且 0>n x n n x x <∴+1即}{n x 单调减,n n x ∞
→∴lim 存在,设A x n n =∞
→lim ,
则有 aA A =
⇒0=A (舍)或a A =,a x n n =∴∞
→lim
５、解:先求极限 得 0
001
01
11lim )(22<=>⎪
⎩⎪
⎨⎧-=+-=∞→x x x n n x f x
x
n 而 1)(lim 0
=+→x f x 1)(lim 0
-=-→x f x 0)0(=f
)(x f ∴的连续区间为),0()0,(+∞-∞
0=x 为跳跃间断点、。

６、解:令x x f x F -=)()(, 则 )(x F 在 ],[b a 上连续
而0)()(>-=a a f a F 0)()(<-=b b f b F
由零点定理,),(b a ∈∃ξ使0)(=ξF 即 0)(=-ξξf ,亦即 ξξ=)(f 。

第二章 导数与微分
一、填空题
1、已知2)3(='f ,则h
f h f h 2)
3()3(lim
0--→= 。

2、)0(f '存在,有0)0(=f ,则x x f x )
(lim 0→= 。

3、π
ππ
1arctan ++=x y x ,则1='x y = 。

4、)(x f 二阶可导,)sin 1(x f y +=,则y '= ;y ''= 。

5、曲线x
e y =在点 处切线与连接曲线上两点),1(),1,0(e 的弦平行。

6、)]1ln[arctan(x y -=,则dy = 。

7、4
2
sin x y =,则
dx dy = ,2dx dy
= 。

8、若tx
x x t t f 2)11(lim )(+=∞→,则)(t f '= 。

9、曲线12
+=x y 于点_________处的切线斜率为2。

10、设x
xe y =,则_______)0(=''y 。

11、设函数)(x y y =由方程0)cos(=++xy e
y
x 确定,则
________=dx
dy。

12、设⎩⎨⎧=+=t
y t x cos 12则________2
2=dx y
d 。

二、单项选择 1、设曲线x
y 1=
与2
x y =在它们交点处两切线的夹角为ϕ,则ϕtan =( )。

(Ａ)1-; (Ｂ)1; (C)2-; (Ｄ)3。

3、函数x k
e x
f tan )(=,且e f =')4(π
,则=k ( )。

(Ａ) 1; (Ｂ) 1-; (C) 2
1
; (Ｄ)2。

4、已知)(x f 为可导的偶函数,且22)
1()1(lim 0-=-+→x
f x f x ,则曲线)(x f y =在)2,1(- 处切线的方程就
是 。

(Ａ)64+=x y ;(Ｂ)24--=x y ;(C)3+=x y ;(Ｄ)1+-=x y 。

5、设)(x f 可导,则x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()(lim 220= 。

(Ａ) 0; (Ｂ) )(2x f ; (C) )(2x f '; (Ｄ))()(2x f x f '⋅。

6、函数)(x f 有任意阶导数,且2)]([)(x f x f =',则)()
(x f n = 。

(Ａ)1
)]
([+n x f n ;(Ｂ)1
)]
([!+n x f n ;(C)1
)]
()[1(++n x f n ;(Ｄ)2
)]([)!1(x f n +。

7、若2
)(x x f =,则x
x f x x f x ∆-∆+→∆)
()2(lim
000=( )
(Ａ)02x ; (Ｂ)0x ; (C)04x ; (Ｄ)x 4。

8、设函数)(x f 在点0x 处存在)(0x f -'与)(0x f +',则)()(00x f x f +-'='就是导数)(0x f '存在的( )
(Ａ)必要非充分条件; (Ｂ)充分非必要条件;
(C)充分必要条件; (Ｄ)既非充分又非必要条件。

9、设)99()2)(1()(---=x x x x x f 则=')0(f ( ) (Ａ)99; (Ｂ)99- ; (C)!99; (Ｄ)!99-。

10、若)(u f 可导,且)(2
x f y -=,则有=dy ( )
(Ａ)dx x f x )(2
-';(Ｂ)dx x f x )(22
-'-;(C)dx x f )(22
-';(Ｄ)dx x f x )(22
-'。

11、设函数)(x f 连续,且0)0('>f ,则存在0>δ,使得( ) (A))(x f 在),0(δ内单调增加; (B))(x f 在)0,(δ-内单调减少;
(C)对任意的),0(δ∈x 有)0()(f x f >;(D)对任意的)0,(δ-∈x 有)0()(f x f >。

12、设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=00
1sin )(2
x b
ax x x
x x f 在0=x 处可导,则( ) (A)0,1==b a ; (B)b a ,0=为任意常数; (C)0,0==b a ; (C)b a ,1=为任意常数。

三、计算解答 1、计算下列各题
(1)x
e y 1
sin 2
=,求dy ; (2)⎩
⎨⎧==3
ln t y t x ,求122=t dx y
d ; (3)y y x =+arctan ,22dx
y d ; (4)x x y cos sin =,求)
50(y ;
(5)x
x
x y )1(+=,求y ';
(6))2005()2)(1()(+++=x x x x x f ,求)0(f ';
(7))()()(x a x x f ϕ-=,)(x ϕ在a x =处有连续的一阶导数,求)()(a f a f '''、;
(8)设)(x f 在1=x 处有连续的一阶导数,且2)1(='f ,求)1(cos lim 1-+→x f dx
d
x 。

2、试确定常数b a ,之值,使函数⎩
⎨⎧<-≥+++=010
2)sin 1()(x e x a x b x f ax
处处可导。

3、证明曲线a y x =-2
2与b xy =(b a ,为常数)在交点处切线相互垂直。

4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升,其速率为140米/分,当此气球上升到500米空中时,问观察员视角的倾角增加率为多少。

5、若函数)(x f 对任意实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f =+,且1)0(='f ,证明)()(x f x f ='。

6、求曲线532
3
-+=x x y 上过点)3,1(--处的切线方程与法线方程。

第二章 导数与微分习题解答
一、填空题
1、1- 1)3(2
1
)21()3()3(lim 2)3()3(lim
00-='-=-⋅---=--→→f h f h f h f h f h h
2、)0(f ' )0(0
)
0()(lim )(lim
00f x f x f x x f x x '=--=→→ 3、ππ+x ln 1
ln -+='ππππx y x ππ+='∴=x y x ln |1
4、x x f cos )sin 1(⋅+' ,x x f x x f sin )sin 1(cos )sin 1(2
⋅+'-⋅+''
x x f y cos )sin 1(⋅+'=',x x f x x f y sin )sin 1(cos )sin 1(2⋅+'-⋅+''=''
5、)1),1(ln(--e e 弦的斜率10
11
-=--=
e e k 1)(-==='∴e e e y x x ⇒)1ln(-=e x ,当)1ln(-=e x 时,1-=e y 。

6、]
)1(1[)1arctan(2x x dx
-+⋅--
)1()
1(11
)1arctan(1)]1[arctan()1arctan(12
x d x x x d x dy --+⋅-=--=
]
)1(1[)1arctan(2x x dx
-+⋅--
=
7、432sin 4x x ,4
22sin 2x x 433442sin 44cos sin 2x x x x x dx
dy =⋅⋅=
4222sin 22x x xdx
dy
dx dy == 8、t t te e 222+ t
tx x te x
t t f 22)11(lim )(=+=∞→ t t te e t f 222)(+='∴
9、)2,1( x y 2=' ,由220=x ⇒10=x ,2112
0=+=y
12+=∴x y 在点)2,1(处的切线斜率为2
10、 2 x x xe e y +=' ,x
x x xe e e y ++=''
2)0(00=+=''∴e e y
11、)
sin()sin(xy x e xy y e y x y x ---++ 方程两边对x 求导得 0)')(sin()'1(=+-++xy y xy y e y
x
解得 )
sin()
sin('xy x e xy y e y y x y x ---=++。

12、3
4cos sin t t
t t - 由参数式求导公式得t t x y dx dy t t 2sin ''-==, 再对x 求导,由复合函数求导法得
3
2224cos sin 21sin cos 21'')'()'(t
t
t t t t t t t x y y dx d dx y d t t x x -=⋅--===。

二、选择题
1、 选(Ｄ) 由⎪⎩⎪⎨⎧
==
2
1x
y x y ⇒交点为)1,1( ,1|)1(11
-='==x x k , 2|)(122='=x x k 3|1||)tan(|tan 2
11212=+-=-=∴k k k
k ϕϕϕ
3、 选(Ｃ) x x k e x f k x
k
21tan
sec tan )(⋅⋅='-
由e f =')4(π得 e k e =⋅⋅2⇒2
1=k
4、 选(A) 由x f x f x f x f x x 2)
1()1(lim
2)1()1(lim 00----=-+→→ 2)21()1()21()1()1(lim 0-=-⋅-'=-⋅-----=→f x f x f x ⇒4)1(=-'f ∴切线方程为:)1(42+=-x y 即 64+=x y
5、 选(Ｄ) )()(2])([)
()(lim
2220x f x f x f x
x f x x f x '⋅='=∆-∆+→∆ 6、 选(Ｂ) )(2)()(2})]({[)(3
2x f x f x f x f x f ='⋅='=''
)(32)()(32])(2[)(423x f x f x f x f x f ⨯='⋅⨯='=''' 设)(!)(1)(x f n x f n n +=,则)()()!1()()
1(x f x f n x f
n n '⋅+=+)()!1(2x f n n ++= )(!)(1)(x f n x f n n +=∴
7、 选(Ｃ) )(22)
()2(2lim )()2(lim
0000000x f x
x f x x f x x f x x f x x '=∆-∆+⋅=∆-∆+→∆→∆ 又x x x f 2)()(2
='=' ,004)(2x x f ='∴
8、 选(Ｃ) )(x f 在0x 处可导的充分必要条件就是)(x f 在0x 点的左导数)(0x f -'与右导数)(0x f +'都存在且相等。

9、 选(Ｄ)
)99()3)(1()99()2()99()2)(1()(---+--+---='x x x x x x x x x x x f
)98()2)(1(---++x x x x
!99!99)1()990()20)(10()0(99-=⋅-=---='∴ f
另解:由定义,)99()2)(1(lim 0
)
0()(lim )0(00---=--='→→x x x x f x f f x x
!99!99)1(99-=⋅-=
10、 选(Ｂ) )(2)()(])([2
222x f x x f x f -'-='-⋅-'='-
dx x f x dy )(22-'-=∴
11、由导数定义知
0)
0()(lim
)0('0
>-=→x
f x f f x ,
再由极限的保号性知 ,0>∃δ当),(δδ-∈x 时0)
0()(>-x
f x f ,
从而 当)),0()(0,(δδ∈-∈x x 时,)0(0)0()(><-f x f ,因此C 成立,应选C 。

12、由函数)(x f 在0=x 处可导,知函数在0=x 处连续
b b ax x f x
x x f x x x x =+===--++→→→→)(lim )(lim ,01
sin lim )(lim 00200,所以0=b 。

又a x
ax x f x f f x x x x f x f f x x x ==--===--=-+
+→-
→→+0)0()(lim )0(,01sin
lim 0)0()(lim )0(0200, 所以0=a 。

应选C 。

三、计算解答 1、计算下列各题
(1)dx x x x e x d e
dy x
x
)1(1cos 1sin 2)1(sin 21
sin 2
1sin 22
-⋅⋅==dx e x x x
1
sin 222sin 1-= (2)
32313t t
t dx
dy ==,3
222
919t t t dx y d ==,9|122=∴=t dx y d (3)两边对x 求导:y y y
'='⋅++2
111⇒12
+='-y y )11
(2)1(2223233+-=+⋅-='⋅-=''---y
y y y y y y
(4)x x x y 2sin 2
1
cos sin ==
)2
2sin(2cos π
+
=='∴x x y )2
22sin(2)22cos(2π
π
⋅+=+
=''x x y 设)2
2sin(21)
(π
⋅+=-n x y n n
则)2
)1(2sin(2)22cos(2)
1(π
π++=⋅+=+n x n x y
n n n
x x y 2sin 2)2
502sin(24949)50(-=⋅+=∴π
(5)两边取对数:)]1ln([ln ln x x x y +-=
两边求导: x x x x y y +-++-='⋅11)1ln(ln 1 ]11)1ln([ln )1(x
x
x x x x y x +-++-+='∴
(6)利用定义:
!2005)2005()3)(2)(1(lim )
0()(lim
)0(00=++++=-='→→x x x x x
f x f f x x
(7))()()()(x a x x x f ϕϕ'-+=' )()(a a f ϕ='∴
又a x a x a x x a x a f x f a f a x a x --'-+=-'-'=''→→)
()()()(lim
)()(lim )(ϕϕϕ )]()()([lim x a
x a x a x ϕϕϕ'+--=→)(2)()(a a a ϕϕϕ'='+'= [注:因)(x ϕ在a x =处就是否二阶可导不知,故只能用定义求。

]
(8)]1
21)1sin ()1(cos [lim )1(cos lim 11-⋅--⋅-'=-++
→→x x x f x f dx d x x 1
21
sin lim )1(cos lim 11---⋅-'=+
+→→x x x f x x 1)21()1(-=-⋅'=f
2、易知当0≠x 时,)(x f 均可导,要使)(x f 在0=x 处可导
则 )0()0(-+'='f f , 且)(x f 在0=x 处连续。

即)0()(lim )(lim 0
0f x f x f x x ==+-→→
而
020)(lim 2)(lim 00=++⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫=++=+-
→→b a x f a b x f x x 又 b x a b a x x f x f f x x =---+++=--='++→→+2
2)sin 1(lim 0)0()(lim )0(00
a x ax
x e x a b e f x ax x ax x ==-=----='---→→→-000lim 1lim 21lim )0(
由⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=-=⇒=++=1
1
02b a b a b a
3、证明:设交点坐标为),(00y x ,则a y x =-2
020 b y x =00
对a y x =-2
2两边求导:y
x y y y x ='⇒='⋅-022
∴曲线a y x =-22在),(00y x 处切线斜率0
010|y x
y k x x ='==
又由2x
b
y x b y b y x -='⇒=⇒=
∴曲线b xy =在),(00y x 处切线斜率20
20|x b
y k x x -='==
又 1)(0
0200021-=-
=-⋅=y x b
x b y x k k ∴两切线相互垂直。

4、设t 分钟后气球上升了x 米,则 500
tan x
=α
两边对t 求导:25
75001405001sec 2
==⋅=⋅dt dx dt d αα
αα2cos 25
7
⋅=∴
dt d 当500=x m 时, 4
π
α=
∴当500=x m 时,
507
21257=
⋅=dt d α(弧度/分) 5、证明:h x f h f x f h x f h x f x f h h )
0()()(lim
)()(lim )(00+-⋅=-+='→→ h f h f x f h f x f h f x f h h )
0()()
(lim )0()()()(lim 00-=⋅-⋅=→→ )()0()(x f f x f ='⋅=
6、解:由于x x y 632
+=',于就是所求切线斜率为
3|63121-=+=-=x x x k ,
从而所求切线方程为)1(33+-=+x y , 即 063=++y x
又法线斜率为 3
1
112=-=k k
所以所求法线方程为)1(3
1
3+=+x y ,即 083=+-x y
第三章 中值定理与导数应用
一、填空题
1、=→x x x ln lim 0
__________。

2、函数()x x x f cos 2-=在区间______________单调增。

3、函数()4
3
384x x x f -+=的极大值就是____________。

4、曲线x x x y 362
4+-=在区间__________就是凸的。

5、函数()x x f cos =在0=x 处的12+m 阶泰勒多项式就是_________。

6、曲线x
xe y 3-=的拐点坐标就是_________。

7、若()x f 在含0x 的()b a ,(其中b a <)内恒有二阶负的导数,且_______,则()0x f 就是()x f 在()b a ,上的
最大值。

8、123
++=x x y 在()+∞∞-,内有__________个零点。

9、________)1
sin 1(
cot lim 0=-→x
x x x 。

10、_________)tan 1
1(lim 20=-→x
x x x 。

11、曲线2
x e y -=的上凸区间就是___________。

12、函数1--=x e y x
的单调增区间就是___________。

二、单项选择
1、函数)(x f 有连续二阶导数且,2)0(,1)0(,0)0(-=''='=f f f 则=-→2
)(lim x
x
x f x ( ) (Ａ)不存在 ; (Ｂ)0 ; (Ｃ)-1 ; (Ｄ)-2。

2、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,2
1(内曲线)(x f ( )
(Ａ)单调增凹的; (Ｂ)单调减凹的; (Ｃ)单调增凸的; (Ｄ)单调减凸的。

3、)(x f 在),(b a 内连续,0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ,则)(x f 在0x x = 处( ) (Ａ)取得极大值; (Ｂ)取得极小值;
(Ｃ)一定有拐点))(,(00x f x ; (Ｄ)可能取得极值,也可能有拐点。

4、设)(x f 在[]b a ,上连续,在),(b a 内可导,则Ⅰ:在),(b a 内0)(≡'x f 与Ⅱ:在),(b a 上)()(a f x f ≡之间关系就是( )
(Ａ)Ⅰ就是Ⅱ的充分但非必要条件; (Ｂ)Ⅰ就是Ⅱ的必要但非充分条件;
(Ｃ)Ⅰ就是Ⅱ的充分必要条件; (Ｄ)Ⅰ不就是Ⅱ的充分条件,也不就是必要条件。

5、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导,0)()(≠x g x f ,且)()()()(x g x f x g x f '<',则当b x a <<时,则有( )
(Ａ))()()()(a g a f x g x f <; (Ｂ))()()()(b g b f x g x f <;
(Ｃ)
)()()()(a g a f x g x f <; (Ｄ))
()
()()(a f a g x f x g >。

6、方程0133
=+-x x 在区间),(+∞-∞内( )
(Ａ)无实根; (Ｂ)有唯一实根; (Ｃ)有两个实根; (Ｄ)有三个实根。

7、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续,且0)0(=f ,2cos 1)
(lim 0=-→x
x f x ,则在点0=x 处)(x f ( )
(Ａ)不可导; (Ｂ)可导,且0)0('≠f ; (C)取得极大值; (Ｄ)取得极小值。

８、设)(x f 有二阶连续导数,且0)0('=f ,1|
|)
("lim
=→x x f x ,则( )
(Ａ))0(f 就是)(x f 的极大值; (Ｂ))0(f 就是)(x f 的极小值; (Ｃ)))0(,0(f 就是曲线)(x f y =的拐点; (Ｄ))0(f 不就是)(x f 的极值点。

9、设b a ,为方程0)(=x f 的二根,)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,则)('x f 在),(b a 内( ) (A)只有一实根; (B)至少有一实根; (C)没有实根; (D)至少有2个实根。

10、在区间]1,1[-上满足罗尔定理条件的函数就是( )
(A)2
1
)(x x f =
; (B)||)(x x f =; (C)21)(x x f -=; (D)12)(2
--=x x x f 。

11、函数)(x f 在区间),(b a 内可导,则在),(b a 内0)('>x f 就是函数)(x f 在),(b a 内单调增加的( )
(A )必要但非充分条件; (B )充分但非必要条件; (C )充分必要条件; (C )无关条件。

12、设)(x f y =就是满足微分方程0'"sin =-+x
e
y y 的解,且0)('0=x f ,则)(x f 在( )
(A )0x 的某个邻域单调增加; (B )0x 的某个邻域单调减少; (Ｃ)0x 处取得极小值; (Ｄ)0x 处取得极大值。

三、计算解答 1、计算下列极限 (1)1
arccos lim 1
+-+
-→x x
x π ; (2)x
x
x ln cot ln lim 0+
→; (3) )1ln(lim 2sin 0x x e e x x x +-→; (4) ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+→)1ln(11lim 20x x x x ;
(5)30arctan lim x
x
x x -→ ; (6))tan(ln )tan(ln lim 0bx ax x +
→。

2、证明以下不等式
(1)、设e a b >>,证明a
b
b a >。

(2)、当20π
<
<x 时,有不等式x x x 3sin 2tan >+。

3、已知x x y sin 3=,利用泰勒公式求)0()
6(y 。

4、试确定常数a 与n 的一组数,使得当0→x 时,n
ax 与33)1ln(x x +-为等价无穷小。

5、设)(x f 在[]b a ,上可导,试证存在)(b a <<ξξ,使
[])()(3)
()(1233
ξξξξf f b f a f a b a b '+=-。

6、作半径为r 的球的外切正圆锥,问此圆锥的高为何值时,其体积V 最小,并求出该体积最小值。

7、若)(x f 在]1,0[上有三阶导数,且0)1()0(==f f ,设)()(3
x f x x F =,试证:在)1,0( 内至少存在一个ξ,使0)('"=ξF 。

第三章 中值定理与导数应用习题解答
一、填空题
1、0 0)(lim 1
1
lim 1ln lim ln lim 02
000=-=-==→→→→x x
x x x
x x x x x x
2、),(+∞-∞ 0sin 2)(>+='x x f )(x f ∴在),(+∞-∞上单调增
3、20 )2(121224)(2
3
2
--=-='x x x x x f
令2,00)(21==⇒='x x x f
当2<x 时,0)(>'x f ;当2>x 时,0)(<'x f
∴极大值为 20)2(=f
4、)1,1(- 31243+-='x x y ,)1)(1(1212122
-+=-=''x x x y
当1-<x 时,0>''y 、当)1,1(-∈x 时,0<''y ;当),1(+∞∈x 时,0>''y
∴曲线在)1,1(-上就是凸的 5、m m
x m x x 242)!
2(1)
1(!41!211-+++- (见教材P13页,泰勒公式) 6、)3
2,32(2-e )31(3333x e xe e
y x x x
-=-='--- ,
)3
2
(9)69(3)31(33333-=-=---=''----x e x e e x e y x x x x
令320=⇒=''x y ,当32<x 时,0<''y ;当32
>x 时0>''y
而当3
2=x 时,232-=e y ∴拐点为)32,32(2
-e
7、0)(0='x f , 0)(lim )()(lim
)("0
00000<-'=-'-'=→→x x x f x x x f x f x f x x x x 0)
(0<-'⇒x x x f 当0x x <时,)(,0)(0x f x f >'单调增加;当0x x >时,)(,0)(x f x f <'单调减少
8、1 0232
>+='x y ,y ∴在),(+∞-∞上单调增加
又-∞=-∞
→y x lim +∞=+∞→y x lim 、∴在),(+∞-∞内有1个零点。

9、
6
1 原式613cos 1lim sin lim cos lim sin )sin (cos lim 2030020=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x 。

10、3
1
原式=31tan lim 3131sec lim tan lim tan tan lim 220220302
0==-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x 。

11、)22,22(-
22])2(2[",2'2x x e x y xe y -----=-=令2
20"±=⇒=x y ,当)22
,22(-∈x 时,0"<y ,上凸,其它区间0">y ,上凹,故应填入)2
2
,22(-。

12、),0(+∞ 函数1--=x e y x 的定义区间为),(+∞-∞,在定义区间内连续、可导,且1'-=x
e y ,因为在
),0(+∞内0'>y ,所以函数1--=x e y x 在),0(+∞上单调增加。

二、选择题
1、选(Ｃ) 12
)
(lim 21)(lim )(lim
0020-=''=-'=-→→→x f x x f x x x f x x x
2、选(Ｂ) 当)1,21(∈x 时,0)(<'x f ,又0)41(414)(>-=-=''x x x f )1,2
1
(∈x
)(x f ∴在)1,2
1
(上单调减且为凹的。

3、选(Ｄ) 3)(x x f =,则0)0(")0('==f f ,0=x 就是3)(x x f =的拐点;设4
)(x x f =,则0)0(")0('==f f ,而0=x 就是4)(x x f =的极值点。

4、选(Ｃ)由)(x f 在),(b a 内0)(≡'x f 的充分必要条件就是在),(b a 内C x f ≡')((C 为常数),又因为)(x f 在],[b a 内连续,所以)(a f C =,即在),(b a 上)()(a f x f ≡。

5、选(Ｃ)由0)()()()()()()()(<'-'⇒'<'x g x f x g x f x g x f x g x f
)()(0])()([x g x f x g x f ⇒<'⇒单调减少,),(b a x ∈
)
()()()(b f a f x g x f <∴、 6、选(Ｄ) 令13)(3+-=x x x f ,则)1)(1(333)(2
+-=-='x x x x f ;
当1-<x 时,0)(>'x f ,)(x f 单调增加, 当)1,1(-∈x 时,0)(<'x f ,)(x f 单调减少 当),1(+∞∈x 时,0)(>'x f ,)(x f 单调增加、 而3)1(=-f ,1)1(-=f
-∞=-∞
→)(lim x f x ,+∞=+∞
→)(lim x f x
)(x f ∴在)1,(--∞上有一实根,在]1,1[-上有一实根,在),1(+∞上有一实根。

７、选(Ｄ) 利用极限的保号性可以判定)(x f 的正负号:
0cos 1)(02cos 1)(lim 0>-⇒>=-→x
x f x x f x (在0=x 的某空心邻域); 由0cos 1>-x ,有)0(0)(f x f =>,即)(x f 在0=x 取极小值。

8、选(Ｂ) 由极限的保号性:
0|
|)
("01||)("lim
0>⇒>=→x x f x x f x (在0=x 的某空心邻域);由此0)(">x f (在0=x 的某空心邻
域),)('x f 单调增,又由0)0('=f ,)('x f 在0=x 由负变正,由极值第一充分条件,0=x 就是)(x f 的极小点 。

9、选(B)由罗尔定理保证至少存在一点),(b a ∈ξ使0)('=ξf 。

10、选(C),A 选项)(x f 在0=x 不连续,B 选项)(x f 在0=x 处不可导,D 选项)1()1(-≠f f 。

11、选(B),如3
x y =在),(+∞-∞单增,但0)0('=f ,故非必要条件。

12、选(Ｃ),由0)('0=x f 有0)(')("00
sin 0sin 0>=-=x x e x y e x y ,所以)(x f 在0x 处取得极小值。

三、计算解答 1、计算极限 (1)解: 1arccos lim 1
+-+
-→x x
x π
1
2111
arccos 21lim 2
1+-⋅
=+-→x x x x π
2111arccos 1lim 1=-⋅=+-→x x x (2)解: 1sin cos sin lim 1)
csc (cot 1
lim ln cot ln lim 20200-=⋅⋅-=-⋅=+++→→→x
x x
x x
x x x x x x x 。

(3)解: 6
1
3cos 1lim sin lim )1(lim )1ln(lim 20303sin sin 02
sin 0=-=-=-=+-→→-→→x x x x x x e e x x e e x x x x x x x x x
(4)解:2
1])1(21[lim 211
1lim )1ln(lim )]1ln(11[
lim 002020-=--=--
=-+=-+→→→→x x x x
x x x x x x x x x
(5)解: 3
1)1(3lim 3111lim arctan lim 222022030=
+=+-=-→→→x x x x x x x x x x x 。

(6)解: b bx ax a ax bx b
bx bx a
ax ax bx ax x x x ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+++→→→)(sec )tan()(sec )tan(lim )(sec )
tan(1)(sec )
tan(1
lim )tan(ln )tan(ln lim 2
202
200 22
0cos ()lim 1cos ()x bx bx a
ax ax b
+→⋅⋅==⋅⋅ 2、(1)证明:b a a b b a a
b
ln ln >⇔>
令 x a a x x f ln ln )(-=,则)(x f 在],[b a 上连续
0ln )(>-
='x
a
a x f ],[
b a x ∈ )(x f ∴在],[b a 上单调增加,)()(a f b f >∴
得 0ln ln ln ln =->-a a a a b a a b , 即a
b b a >
(2)令x x x x f 3sin 2tan )(-+=在)2
,
0(π
∈x 时
03cos cos cos 133cos cos cos 13cos 2sec )(3222=-⋅⋅≥-++=
-+='x x x
x x x x x x f
0)(>'∴x f ,)(x f ∴在(0,)2
π
上单调增,又
00
lim ()lim(tan 2sin 3)0x x f x x x x +
+
→→=+-= 0(0,),()lim ()02
x x f x f x π
+
→∴∀∈>=, 即x x x 3sin 2tan >+ 3、解: 麦克劳林公式)(!
)0(!2)0()0()0()()(2n n
n x o x n f x f x f f x f +++''+'+= 而)()!12()1(!5!3sin 2121
53m m m x o m x x x x x +--+-+-
=-- ++-==∴!5!3sin 8
64
3
x x x x x y
对比 6
x 的系数有:
120!
3!6)0(!31!6)0()6()6(-=-=⇒-=f f 4、解: 1)]1(3[lim 313lim )1ln(lim 36
02
3
210330=--=+--=+--→-→→x x an x x x anx x x ax n x n x n x 6=∴n ,2
113-=⇒=-a an 5、即证:
332()()
[3()()]b f b a f a f f b a ξξξξ-'=+- 令)()(3
x f x x F =,则)(x F 在],[b a 上满足拉格朗日定理的条件
),(b a ∈∃∴ξ,使
)()
()(ξF a
b a F b F '=--
即
3323()()
3()()b f b a f a f f b a ξξξξ-'=+- 即 )]()(3[)
()(1
233ξξξξf f b f a f a b a b '+=-
6、解: 设圆锥的高为h ,底面圆半径为R ,则有比例关系
22
2r hr R R h r =⇒=
- r
h r h h R V 23131222-⋅==∴ππ )2(r h >
222
2
22)2()42(31)2()2(231r h h r h hr r h r
h r h hr dh dV ---=---=ππ 令⇒=0dh
dV 唯一驻点r h 4= 所以,当r h 4=时,体积最小,此时3
223
8241631r r r r r V ππ=-⋅⋅
= 7、解: 由题设可知)('"),("),('),(x F x F x F x F 在]1,0[上存在,又)1()0(F F =,由罗尔定理,)1,0(1∈∃ξ使0)('1=ξF ,又0|)](')(3[)0('032=+==x x f x x f x F ,可知)('x F 在],0[1ξ上满足罗尔定理,于就是),0(12ξξ∈∃,使0)("2=ξF ,又0|)](")('6)(6[)0("032=++==x x f x x f x x xf F ,对)(''x F 在],0[2ξ上
再次利用罗尔定理,故有)1,0(),0(),0(12⊂⊂∈ξξξ,使得0)('"=ξF 。

第四章 不定积分
一、填空题
1、⎰dx x x =___________。

2、⎰x
x dx 2
=_____________。

3、⎰
+-dx x x )23(2=_____________。

4、⎰-dx x
x x
sin cos 2cos =___________。

5、
⎰+x dx
2cos 1=____________。

6、dt t
t ⎰sin =___________。

7、⎰xdx x sin =___________。

8、⎰
xdx arctan =__________。

9、=+⎰dx x
x 2
sin 12sin ____________。

10、⎰=''dx x f x )(____________。

11、⎰
=++dx x x 1
)3(1
________________。

12、
⎰=++__________522x x dx。

二、单项选择
1、对于不定积分
()dx x f ⎰,下列等式中( )就是正确的、
(A)()()x f dx x f d =⎰; (B) ()()x f dx x f ='⎰;
(C) ()()x f x df =⎰; (D) ()()x f dx x f dx d
=⎰。

2、函数()x f 在()+∞∞-,上连续,则()[]dx x f d
⎰等于( )
(A)()x f ; (B)()dx x f ; (C)()C x f + ; (D)()dx x f '。

3、若()x F 与()x G 都就是()x f 的原函数,则( ) (A)()()0=-x G x F ; (B)()()0=+x G x F ;
(C)()()C x G x F =-(常数); (D)()()C x G x F =＋(常数)。

4、若
⎰
+='c x dx x f 33)(,则=)(x f ( )
(A)c x +35
56;(B)c x +35
5
9;(C)c x +3
;(D)c x +。

5、设)(x f 的一个原函数为x x ln ,则=⎰dx x xf )(( )
(A)c x x ++
)ln 4121(2
;(B)c x x ++)ln 2
1
41(2; (C)c x x +-)ln 2141(2;(D)c x x +-)ln 4
121(2。

6、设c x dx x f +=⎰2)(,则=-⎰dx x xf )1(2
( )
(A)c x +--22)1(2;(B)c x +-2
2)1(2;
(C)c x +--
22)1(21;(D)c x +-22)1(21。

７、=+-⎰dx e e x
x 11
( ) (A)c e x ++|1|ln ; (B)c e x
+-|1|ln ;
(C)c e x x
++-|1|ln 2; (D)c x e x
+--|1|ln 2。

８、若)(x f 的导函数为x sin ,则)(x f 的一个原函数就是( ) (A)x sin 1+; (B)x sin 1-; (C)x cos 1+; (D)x cos 1-。

９、)(),()('x f x f x F =为可导函数,且1)0(=f ,又2
)()(x x xf x F +=,则)(x f =( ) (A)12--x ; (B)12
+-x ; (C)12+-x ; (D)12
--x 。

10、=⋅-⋅⎰dx x
x
x 2
3223( ) (A)C x x +⋅-)23(23ln 23; (B)C x x x +⋅--1
)23(23;
(C)C x +⋅--)23(2ln 3ln 23; (D)C x x +⋅--)23
(2ln 3ln 23。

11、dx e x x ⎰3=( )
(A)
C e x x +33ln 1;(B)C e x x ++33ln 11;(Ｃ)x x e 33ln 1 ; (D)x x e 33ln 11+。

12、⎰dx x x 1sec 122=( ) (Ａ)C x +1tan ; (Ｂ)C x
+-1tan ; (Ｃ)C x +1cot ; (Ｄ)C x +-1
cot 。

三、计算解答
1、计算下列各题 (1) dx x a x
⎰-22; (2) dx x x x ⎰+++13
41
2
; (3)
dx x
x x ⎰
-2
1arccos ; (4) dx e xe x
x
⎰
-1;
(5) ⎰xdx x 2
sin ; (6) ()dx e
e x
x ⎰+1ln 。

2、设()x x x f 2
2tan 2cos sin +=',当10<<x 时求()x f 。

3、 设()x F 为()x f 的原函数,当0≥x 时有()()x x F x f 2sin 2
=,且()()0,10≥=x F F ,求()x f 。

4、 确定A 、B 使下式成立
()⎰⎰+++=+x dx
B x x A x dx cos 21cos 21sin cos 212
5、设()x f 的导数()x f '的图像为过原点与点()0,2的抛物线,开口向下,且()x f 的极小值为2,极大值为6,
求()x f 。

第四章 不定积分习题解答
一、填空题
1、C x +25
52
C x dx x dx x x +==⎰⎰2
5
2
3
5
2。

2、C x +--2
3
3
2
C x dx x x
x
dx
+-==--
⎰⎰2
3
2
5
2
32。