第5章 减治法Decrease and conquer

5.2.3 选择问题
设无序序列 T =(r1, r2, …, rn)，T 的第k（1≤k≤n） 小元素定义为T按升序排列后在第k个位置上的元 素。给定一个序列T和一个整数k，寻找 T 的第k小 元素的问题称为选择问题。
特别地，将寻找第n/2小元素的问题称为中值问题。
5.2.3 选择问题
问题描述：
二叉查找树查找实例
在二叉查找树中查找关键字值为35，95的过程：
50 30 50
80
40 90 85 88 32 20
30
80
20
35 32
40
35 85
90
88
简述查找过程？
二叉查找树的结点结构为： struct BiNode { int data; //结点的值，假设查找集合的元素为整型 BiNode *lchild, *rchild; //指向左、右子树的指针 算法——二叉查找树的查找 BiNode * SearchBST(BiNode *root, int k) { if (root= =NULL) return NULL； else if (root->data==k) return root; else if (k<root->data) return SearchBST(root->lchild, k); else return SearchBST(root->rchild, k); } };
5.1 减治法的设计思想
规模为 n 的原问题的解与较小规模（通常是 n/2）的子问题的解之间具有关系： （ 1 ）原问题的解只存在于其中一个较小规模的 子问题中； （ 2 ）原问题的解与其中一个较小规模的解之间 存在某种对应关系。 由于原问题的解与较小规模的子问题的解之 间存在这种关系，所以，只需求解其中一个较小 规模的子问题就可以得到原问题的解。
· · 4 · · 3
选择问题的例子
A[1…28]={8,33,17,51,57,49,35,11,25,37,14,3,2,1 3,52,12,6,29,32,54,5,16,22,23,7,61,36,9}，求A的 中位数元素，即第14小元素。(k=14)
{8,33,17,51,57,49,35,11,25,37,14,3,2,13,52,12,6,29,32,54,5,16,22,23,7,61,36,9} {7,5,6,2,3,8,35,11,25,37,14,49,57,13,52,12,51,29,32,54,17,16,22,23,33,61,36,9}
分治法和减治法区别
应用分治法（例如二分法）得到的算法通常具有 如下递推式：
g (n) T (n) 2T (n / 2) c
n足够小
O (n)
应用减治法（例如减半法）得到的算法通常具有 如下递推式：
0 T (n) T (n / 2) 1
n 1 n 1
O (log2n)
j=6
j<k，在右边区间找第k(=14-6=8)小元素
{35,11,25,37,14,49,57,13,52,12,51,29,32,54,17,16,22,23,33,61,36,9} {9,11,25,33,14,23,22,13,16,12,17,29,32,35,54,51,52,57,49,61,36,37}
mid=2
14=14
5.2.1
算法——折半查找
折半查找
1. low=1；high=n； //设置初始查找区间 2. 测试查找区间［low，high］是否存在，若不存在，则查找 失败； 否则 3. 取中间点mid=(low+high)/2; 比较k与r[mid] 有以下三种情 况： 3.1 若k<r[mid]，则high=mid-1；查找在左半区进行，转2； 3.2 若k>r[mid]，则low=mid+1；查找在右半区进行，转2； 3.3 若k=r[mid]，则查找成功，返回记录在表中位置mid。
二叉查找树查找性能分析
在二叉排序树上查找关键码等于给定值的结点的 过程，恰好走了一条从根结点到该结点的路径，和给 定值的比较次数等于给定值的结点在二叉排序树中的 层数，比较次数最少为1次（即整个二叉排序树的根 结点就是待查结点），最多不超过树的深度。
具有n个结点的二叉树的深度至少是 log2 n 1 ， 至多是n。所以，二叉排序树的查找性能在O(log2n) 和O(n)之间。
折半查找实例
在有序表中查找值为14的过程如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
7 14 18 21 23 29 31 35 38 42 46 49 52
low=1
18>14
mid=3
mid=7 31>14 high=6
high=13
high=2
mid=1
7<14
low=2
在一个无序序列中执行查找操作，可以将 无序序列建立一棵二叉查找树，然后在二叉查 找树中查找值为k的记录，若查找成功，返回 记录k的存储地址，若查找失败，返回空指针。
二叉查找树的定义
二叉查找树是指一棵空树或者具有下列性质的二 叉树：
① 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的 值均小于或等于它的根结点的值； ② 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值 均大于它的根结点的值； ③ 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。 ④ 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。
二叉查找树 = 平衡二叉树？
二叉查找树查找过程
由二叉查找树的定义，在二叉查找树 root 中查找给 定值k的过程是： ⑴ 若root是空树，则查找失败； ⑵ 若k＝根结点的值，则查找成功； ⑶ 否则，若 k＜根结点的值，则在 root 的左子树上查找； ⑷ 否则，在root的右子树上查找； 上述过程一直持续到k被找到或者待查找的子树为 空，如果待查找的子树为空，则查找失败。 二叉查找树的查找效率就在于只需要查找两个子树之一
在n个元素的无序数组中选择第k(1<=k<=n)小元素。 当k=1时，相当于找最小值。 当k=n时，相当于找最大值。 当k=n/2时，称中值。
寻找 第k小元素问题
考虑快速排序中的划分过程，一般情况下，设待划分 的序列为ri ～ rj，选定一个轴值将序列ri ～ rj进行划分， 使得比轴值小的元素都位于轴值的左侧，比轴值大的元素 都位于轴值的右侧，假定轴值的最终位置是s，则： （1）若k=s，则rs就是第k小元素； （2）若k<s，则第k小元素一定在序列ri ～ rs-1中； （3）若k>s，则第k小元素一定在序列rs+1 ～ rj中； 无论哪种情况，或者已经得出结果（如果轴值恰好是序 列的中值），或者将选择问题的查找区间减少一半。
5.1 减治法的设计思想
原问题 的规模是n
子问题 的规模是n/2
子问题的解
原问题的解
例：计算an的值
应用分治法得到an的计算方法是：
a a
n
a
n 2
n 1
n 2
a
n 1
应用减治技术得到如下计算方法： a ( a n 2 )2 ( n - 1) 2 2 ) a ( a n 1 n 1 且是偶数 n 1 且是奇数
O (n)
5.2 查找问题中的减治法
5.2.1 折半查找 5.2.2 二叉排序树 5.2.3 选择问题
5.2.1
问题描述：
折半查找
应用折半查找方法在一个有序序列中 查找值为k的记录。若查找成功，返回记录 k在序列中的位置，若查找失败，返回失败 信息。
折半查找过程
折半查找利用了记录序列有序的特点，其查找过程是： • 在有序表中，取中间记录作为比较对象，若给定值与中间记录 的关键码相等，则查找成功； • 若给定值小于中间记录的关键码，则在中间记录的左半区继续 查找； • 若给定值大于中间记录的关键码，则在中间记录的右半区继续 查找。 • 不断重复上述过程，直到查找成功，或所查找的区域无记录， k 查找失败。 [ r1 … … … rmid-1 ] rmid [ rmid+1 … … … rn ] （mid=(1+n)/2） 如果k<rmid查找这里 பைடு நூலகம்果k>rmid查找这里
a
n
应用分治技术计算an 。
a
分析时 间性能
n
n a
32
31 3
a
2
如果 n 1
n 2

a
如果 n 1
32
34 分解问题 31 求解每个子问题 3 9 81 合并子问题的解
31
31
3 9
3
T(n)=1 n=1 T(n)=2T(n/2)+1 n>1
T(n)=O(n) 不是所有的分治法都比简 单的蛮力法有效
将无序序列建立一棵二叉查找树
63 55 42 10 45 58 70 90 10 83 55
42
45 58 63
70 83 90
67
67
(a) 按63,90,55,58,70,42,10,45,83,67 的顺序构造的二叉查找树
(b) 按55,42,10,70,63,58,83,67,90,45 的顺序构造的二叉查找树
折半查找判定树
具有11个结点的判定树
6
3 1
2 4 5 7
9 10
8
11
在表中查找任一记录的过程，即是判定树中从根结点到 该记录结点的路径，和给定值的比较次数等于该记录结点在 树中的层数。具有n个结点的判定树的深度为 log2 n 1 。
5.2.2
二叉查找树
二叉查找树（Binary Search Tree），也称 二叉搜索树、有序二叉树（ordered binary tree）， 二叉排序树（sorted binary tree）