重力异常与垂线偏差

2.重力场
地球重力场的确定就是通过求解某种形式的大地测量边值问题得到一种表达扰动位或其泛函的数学模型，包括 解析表达模型和数值模型两种形式。其中，解析表达模型利用斯托克司(Stokes)公式或莫洛金斯基(Molodensky)级数 给出积分表达式，或利用球谐函数技术给出谱展开式；数值模型则是重力场参数的一定分辨率的格网数值，包括扰 动位、大地水准面、重力异常和垂线偏差等。例如EGM系列地球重力场模型计算软件给出的最终计算结果便是大地 水准面差距(geoid undulations)，一般用N表示。
2.1重力位函数
设有一个标量函数，它对各坐标轴的偏导数等于力在相应坐标轴上的分量，此函数定义为位函数。由此定义可
得重力位函数为：
W V
(2)
其中V 为引力产生的位， 为地球自转产生的位。若 为角速度，X和Y为给定点的地心坐标，则
1(X 2 Y2)
(3)
2
引力位函数的定义为
V (r, ,)
(1)它是一个地心坐标系，地心定义为包括海洋和大气的整个地球的质量中心。 (2)范围局限于地球，即在引力相对论意义下的局部地球框架内。 (3)它的定向由国际时间局(BIH1984.0)给出。 (4)定向的时间演化相对于地壳不产生残余的全球性旋转。 WGS84坐标系是右手地固直角坐标系，坐标原点和坐标轴定义如下： 原点：地球质心。 Z轴：指向国际地球参考系IERS极的方向(IRP)。这个方向与BIH协议地面极的指向(在历元1984.0)相差±0.005 ″。 X轴：指向国际地球参考系IERS首子午面且垂直于Z轴的方向，这个方向与BIH协议零子午面(在历元1984.0)相 差±0.005″。 Y轴与其他两轴构成右手地心地固ECEF(Earth-Centered Earth-Fixed)直角坐标系。
A：子午面与包含照准点法截面间的夹角 ：子午面与包含照准点垂直面间的夹角
在椭球面上推算求得 确定方法
观测地面点或卫星获得
不能经过推算求得 观测恒星独立获得
依附于椭球面法线
依附于水准面垂线
特点 各点大地坐标相关
各点天文坐标独立
计算求得，定位精度高
观察求得，定位精度低
由于大地水准面起伏，导致同一点的法线和垂线不一致，两者之间的微小夹角称为垂线偏差；导致天地高和海
表1 大地坐标系与天文坐标系的对比
项目
大地坐标系
天文坐标系
基本面线 参考椭球面、法线
大地水准面、垂线
坐标面 起始大地子午面、椭球赤道面
坐标
L：大地子午面间夹角 B：法线与赤道面夹角
起始天文子午面、地球赤道面
：天文子午面间夹角 ：垂线与赤道面夹角
方位角
H大：沿法线至椭球面距离
H正：沿垂线至大地水准面距离
若以椭球面法线向下为正方向，一个经常被使用的正常重力泰勒展开式为
h
1
2 (1 a
f
m2f
sin2 ) h
3 a2
h
2
(11)
当计算点的大地高比较高时，采用上式计算得到的结果精度要小于预期的精度。解决办法详见《大地坐标系与 大地基准》P116-117。
3.3 EGM2008模型
官方版地球重力场模型EGM2008由美国国家地理空间情报局地球重力场研发小组发布，该模型的球谐展 开阶数达到了2159，并且还提供扩展到2190阶的扩展参数，此模型目的是希望在WGS84坐标系下解算地球水 准面的起伏。EGM2008地球重力场模型数据来源主要为地面重力、卫星测高、卫星重力等，地面数据覆盖率 达83.8%，部分重力数据空白区主要集中在南极，用卫星重力数据补充。
地球自然表面的起伏不平、地壳内部物质密度分布不均，使得引力方向产生不规则的变化。因而引力方向除总 的变化趋势外，还会出现局部变化，这就引起铅垂线方向发生不规则的变化。由于大地水准面处处与铅垂线正交， 所以它是一个略有起伏的不规则的表面。
图1 椭球面与大地水准面
1.2 参考椭球面
从整体上看，大地体接近于一个具有微小扁率的旋转椭球，与大地体吻合的最好的旋转椭球称为总地球椭球， 也叫总椭球或平均椭球。要确定总椭球，必须在整个地球表面上布设连成一体的天文大地网和进行全球性的重力测 量。
3.1 WGS84坐标系概述及有关常数
WGS84世界大地坐标系是由美国国家影像制图局NIMA和其前身美国国防部测绘局DMA从初始的世界大地坐 标系WGS60开始发展，并在随后的WGS66、WGS72基础上不断改进形成的。
WGS84坐标系使用协议地面参考系(CTRS)。这个坐标系根据国际地球自转服务技术注解概要中的标准来定义。 这些标准如下：
重力相关资料 1.相关坐标系
地球上任何一个质点都同时受到地心引力和由于地球自转产生的离心力的作用，两个力的合力称为重力。离心 力与引力之比约为1：300，所以重力中起主要作用的还是地心引力。重力的作用线称为铅垂线，重力线方向就是铅 垂线方向。
1.1 水准面与大地水准面
当液体处于静止状态时，其表面必处处与重力方向正交，否则液体就要流动。这个液体静止的表面就称为水准 面。水准面是一个客观存在的、处处与铅垂线正交的面。通过不同高度的点，都有一个水准面，所以水准面有无穷 多个。
为了大地测量工作的实际需要，各个国家和地区只有根据局部的天文、大地和重力测量资料，研究局部大地水 准面的情况，确定一个于总椭球相近的椭球，以表示地球的大小，作为处理大地测量成果的依据。这样的椭球只能 较好的接近局部地区的大地水准面，不能反映整个大地体的情况，所以叫做参考椭球面。
1.3大地坐标系与天文坐标系
d nm dxnm
(x2
1)n
(6)
这些公式对于 r a ，即在地球表面或近地空间理论上是有效的，公式计算误差比较小，但这些公式不能用于r
小于地球半径的情况。
2.2重力加速度和重力梯度
在地球重力场中，重力加速度为
g
grad
(W
)
W x
W y
W z
T
gx
gy
gz T
(7)
重力加速度矢量的空间梯度即是重力位的二阶空间导数，称为重力梯度，可由下述张量表示：
目前能够获取到的文件包括： 引力位函数的球谐系数文件EGM2008_to2190_TideFree.gz 扩展到2160阶的大地水准面差距计算参数文件Zeta-to-N_to2160_egm2008.gz 1′ x 1′的大地水准面网格文件Und_min1x1_egm2008_isw=82_WGS84_TideFree.gz 2.5′ x2.5′的大地水准面网格文件Und_min2.5x2.5_egm2008_isw=82_WGS84_TideFree.gz 2.5′ x 2.5′的垂线偏差及重力异常网格文件：
5′ x 5′的垂线偏差及重力异常网格文件：
(1) 重力异常 g 文件：Dg01_cnt5x5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh
(2) 垂线偏差南北分量 文件：xi_cnt5x5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh
为了使测量结果有一个共同的基准面，可以选择一个十分接近地球表面又能代表地球形状和大小的水准面作为 共同标准。设想海洋处于静止平衡状态，并将它延伸到大陆内部且保持处处与铅垂线正交的水准面，来表示地球的 形状是最理想的，这个面称为大地水准面。它是一个光滑的闭合曲面，又称为地球的物理表面。由它包围的形状是 地球的真实形体，称为大地体。
GM r
1
n max n2
n m0
(
a r
)n
(Cnm
cos m
Snm
sin m)Pnm (cos )
(4)
其中， r — 到地球质心的距离
— 地心纬度
— 地心经度
a — 参考椭球长半轴
n，m — 阶次
Cnm ， Snm — 正常化的地球引力系数
Pnm (cos ) — 为n阶m次第一类完全正常化缔合Legendre函数
(8)
在不考虑地球离心力影响的情况下，地球重力场是一个保守场，重力场的旋度为零，说明重力梯度张量具有对 称性；重力场的散度为零，意味着梯度张量的迹为零。因此
xy yx , xz zx , yz zy
(9)
xx yy zz 0
重力梯度张量中只有五个独立项。
3. WGS84 世界大地坐标系与 EGM2008
表2 WGS84椭球基本常数
参数 长半轴 扁率倒数 地球角速度 地球引力常数(包括大气质量)
符号
a 1/ f
GM
值 6378137.0m 298.257223563
7292115.0 1011rad / s 3986004.418108 m3 / s2
常数 短半轴 第一偏心率 第二偏心率
表3 WGS84椭球导出的几何常数
p
9.8321849378m / s2
正常重力平均值
9.796432222m / s2
理论正常重力公式常数
k
0.00193185265241
地球质量(包括大气质量)
M
5.97333281024 kg
m 2a2b2 / GM
m
0.0034978650684
3.2 WGS84水准椭球正常重力公式
Simigliana闭合公式给出了椭球面理论正常重力 ，即正常位函数U 的梯度大小公式：
(1) 重力异常 g 文件：Dg01_cnt2.5x2.5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh
(2) 垂线偏差南北分量 文件：xi_cnt2.5x2.5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh
(3) 垂线偏差东西分量 文件：eta_cnt2.5x2.5_EGM08_to2190_WGS84_ell_nh
拔高(正高)不一致，两者之间的差距称为大地水准面差距。