计算方法解线性方程组的直接法

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计算方法 第一章解线性方程组的直接法 下面，按照上述思想推导消元法的一般算式 对于一般的矩阵A=[aij]，设a11≠0，令
1 1/ a11 a1 (a11 , a21 ,
构造Gauss矩阵
用G1左乘a1得
, an1 )T a1 (0, a21,
, an1 )T e1 (1,0, 0)T
T G1 I 1a1e1
G1a1 G1 (a11, a21, an1 )T (a11,0, 0)T
a1n
(2) a2 n
从而G1(A,b)具有下列形式，
(2) a 其中 ij
a11 a12 0 a (2) 22 ( A(2) , b(2) ) G1 ( A, b) (2) 0 an 2 aij li1a1 j , bi(2) bi li1b1
2 x1 4 x2 2 x3 6 行 2 行7 / 3 3 0 x1 3 x2 6 x3 3 0 x 0 x 12x 3 2 3 1
消元过程
由（ 3）式得x3 1 / 4
代入（ 2）式得x2 3 / 2
再将x3和x2代入（ 1 ）式得x1 1/ 4
回代过程 3
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按照矩阵变换的观点来描绘消元的过程
Rn x | x ( x1, x2 ,, xn ), xi为实数(i 1,2,, n)
C n x | x ( x1, x2 ,, xn ), xi为复数(i 1,2,, n)
分别表示n维实和复向量空间，用R n×n 表示n×n阶实矩阵 空间 考虑线性方程组 Ax=b 其中
(k ) (k ) lik aik / akk ,
a1k
(2) a2 k
a1,k 1
(2) a2, k 1
a1n
(2) a2 n
(k ) akk
其增广矩阵为
2 4 2 6 ( A, b) 1 1 5 0 4 1 2 2
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计算方法 第一章解线性方程组的直接法 第一步消元过程相当于用矩阵G1左乘增广矩阵，即
2 4 2 6 G1 ( A, b) 0 3 6 3 0 7 2 10 1 0 0 0 0 1 1 1 G1 1 0 I (1, 0, 0) I 1 (1, 0, 0) 2 2 2 4 2 0 1 2
A [aij ] Rnn , b (b1, b2 ,, bn )T Rn
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2 x1 4 x2 2 x3 6 x1 x2 5 x3 0 4 x x 2 x 2 2 3 1
矩阵形式为
2 4 2 x1 6 x 0 b Ax 1 1 5 2 4 1 2 x3 2
(k ) T ank )
ak (0,
(k ) 0, ak 1,k ,
(k ) k 1/ akk
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( A( k 1) , b( k 1) ) Gk ( A( k ) , b( k ) ) a11 (2) a 22 = 0
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第一章 解线性方程组的直接法
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计算方法 第一章解线性方程组的直接法
求解Ax=b
直接法是指在无舍入误差存在的情况下,经 过有限步运算即可求得精确解的算法,因此 又称精确法. 因为舍入误差的存在,精确解也是不精确的. 直接法的典型代表是Gauss消元法
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2 x1 4 x2 2 x3 6 x1 x2 5 x3 0 4 x x 2 x 2 2 3 1
2 x1 4 x2 2 x3 6 行 1行1 / 2 2 0 x1 3 x2 6 x3 3 3行 1行 2 0 x 7 x 2 x 10 2 3 1
(k ) akk (k ) akn
a11 a12 (2) a 22 = 0
则当 akk 0 时,取
(k )
(k ) ank
(k ) ann
b1 (2) b2 bk( k ) (k ) bn
T Gk I k ak ek
li1 ai1 , a11 i, j 2, , n.
(2) ann
b1 (2) b2 (2) bn
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一般地，如果已经利用Gauss矩阵G1, …,Gk-1得到
( A( k ) , b( k ) ) Gk 1
G1 ( A, b) a1n (2) a2 n
同样，若取Gauss矩阵为
0 1 G2 I 0 (0,1, 0) 3 7
2 4 2 6 G2G1 ( A, b) 0 3 6 3 0 0 12 3
则有
从上述讨论看出，消元过程等价于将方程组的增广矩阵依 次左乘相应的Gauss矩阵，将其化为上三角形式
1 T G1 I e1 2 T 其中 0,1, 4 是将A中的第一列中的元素a11换成0而得到的列向量， T e1 1, 0, 0 是单位矩阵I的第一列所形成的列向量，1/2是a11的倒数。 这种形式的矩阵称为Gauss矩阵。
它可以记为
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