信息理论基础课后题答案

· 1 ·
2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？
解：
四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3}
八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，则：
四进制脉冲的平均信息量H(X 1) = log 2n = log 24 = 2 bit/symbol 八进制脉冲的平均信息量H(X 2) = log 2n = log 28 = 3 bit/symbol 二进制脉冲的平均信息量H(X 0) = log 2n = log 22 = 1 bit/symbol 所以：
四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。

2.2 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。

假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？
解：
设随机变量X 代表女孩子学历
X x 1（是大学生） x 2（不是大学生） P(X) 0.25 0.75
设随机变量Y 代表女孩子身高
Y y 1（身高>160cm ） y 2（身高<160cm ） P(Y) 0.5 0.5
已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的 即：p(y 1/ x 1) = 0.75
求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量 即：bit y p x y p x p y x p y x I 415.15.075.025.0log )()/()(log )/(log )/(2111121111=⎪⎭⎫
⎝⎛⨯-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=-=
2.3 一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问
(1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？
(2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？
解：
(1) 52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：
bit x p x I i i 581.225!52log )(log )(2==-=
(2) 52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：
bit C x p x I C x p i i i 208.134
log )(log )(4)(1352
13
2
213
52
13
=-=-==
· 2 ·
2.4 设离散无记忆信源⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=====⎥⎦⎤⎢⎣⎡8/14/1324/18/310)(4321x x x x X P X ，其发出的信息为(202120130213001203210110321010021032011223210)，求 (1) 此消息的自信息量是多少？
(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？
解：
(1) 此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：
6
2514814183⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=p
此消息的信息量是：bit p I 811.87log 2=-=
(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是：bit n I 951.145/811.87/==
2.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？
解： 男士：
symbol
bit x p x p X H bit
x p x I x p bit x p x I x p i i i N N N Y Y Y / 366.0)93.0log 93.007.0log 07.0()(log )()( 105.093.0log )(log )(%
93)( 837.307.0log )(log )(%
7)(222
22222=+-=-==-=-===-=-==∑
女士：
symbol bit x p x p X H i
i i / 045.0)995.0log 995.0005.0log 005.0()(log )()(222
2=+-=-=∑
2.6 设信源⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡17.016.017.018.019.02.0)(654321
x x x x x x X P X ，求这个信源的熵，并解释为什么H(X) > log6不满足信源熵的极值性。

解：
585
.26log )(/ 657.2)17.0log 17.016.0log 16.017.0log 17.018.0log 18.019.0log 19.02.0log 2.0()
(log )()(22222226
2=>=+++++-=-=∑X H symbol bit x p x p X H i
i i 不满足极值性的原因是107.1)(6
>=∑i
i
x p 。

· 3 ·
2.7 证明：H(X 3/X 1X 2) ≤ H(X 3/X 1)，并说明当X 1, X 2, X 3是马氏链时等式成立。

证明：
log 1)/()(log )()/()(log 1)/()/()()
/()/(log
)()
/(log )()/(log )()
/(log )()/(log )()
/()/(212
31321212332112313211232213133211
2
3
213133211
2
3
133211
2
3
2133211
3
13311
2
3
21332113213=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-≤=+-=+-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑e x x p x x p e
x x x p x x p x x p e x x x p x x p x x x p x x x p x x p x x x p x x p x x x p x x x p x x x p x x p x x p x x x p x x x p X X H X X X H i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
氏链
是马等式成立的条件是时等式成立
当
_,,)/()/()/()()/()/()()()/()/()()
/()/(01)
/()
/()/()/(321132131232113121212131321213132131313213X X X x x x p x x p x x p x x x p x x p x x p x p x x p x x x p x x p x x p x x x p x x p x x x p x x p X X H X X X H i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ∴=⇒=⇒=⇒=⇒=-≤∴
2.8证明：H(X 1X 2 。

X n ) ≤ H(X 1) + H(X 2) + … + H(X n )。

证明：
)
(...)()()()...().../()(0)...;(...
)/()(0);()/()(0);().../(...)/()/()()...(3212112112121332131221212121312121N N N N N N N N N N X H X H X H X H X X X H X X X X H X H X X X X I X X X H X H X X X I X X H X H X X I X X X X H X X X H X X H X H X X X H ++++≤∴≥⇒≥≥⇒≥≥⇒≥++++=---
2.9 设有一个信源，它产生0，1序列的信息。

它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P(0) = 0.4，P(1) = 0.6的概率发出符号。

(1) 试问这个信源是否是平稳的？ (2) 试计算H(X 2), H(X 3/X 1X 2)及H ∞；
(3) 试计算H(X 4)并写出X 4信源中可能有的所有符号。

解： (1)
这个信源是平稳无记忆信源。

因为有这些词语：“它在任意时间．．．．而且不论以前发生过什么符号．．．．．．．．．．．
……”
· 4 ·
(2)
symbol
bit X H H symbol bit x p x p X H X X X H symbol
bit X H X H i
i i / 971.0)(/ 971.0)6.0log 6.04.0log 4.0()(log )()()/(/ 942.1)6.0log 6.04.0log 4.0(2)(2)(2223213222===+-=-===+⨯-==∞∑
(3)
1011
111111101101110010101001100001110110010101000011001000010000的所有符号：/ 884.3)6.0log 6.04.0log 4.0(4)(4)(4224X symbol bit X H X H =+⨯-==
2.10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。

信源X 的符号集为{0, 1, 2}。

(1) 求平稳后信源的概率分布； (2) 求信源的熵H ∞。

P
P
解： (1)
⎪⎩⎪
⎨⎧===⎩⎨
⎧=++==⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⎪⎩⎪
⎨⎧+=+=+=3/1)(3/1)(3/1)(1)()()()()()()()()()()()()
()()()
/()()/()()()/()()/()()()/()()/()()(3
213213211333222111313333
32322222121111e p e p e p e p e p e p e p e p e p e p p e p p e p e p p e p p e p e p p e p p e p e e p e p e e p e p e p e e p e p e e p e p e p e e p e p e e p e p e p
· 5 ·
⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=+=⋅+⋅=+==+=⋅+⋅=+==+=⋅+⋅=+=3/123/113/10
)(3
/13/)()()()/()()/()()(3/13/)()()()/()()/()()(3/13/)()()()/()()/()()(131313333323232222212121111X P X p p e p p e p p e x p e p e x p e p x p p p e p p e p p e x p e p e x p e p x p p p e p p e p p e x p e p e x p e p x p (2)
()
symbol
bit p p p p p p p p p p p p p p p p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e e p e p H i
j
i j i j i / log log log 31log 31log 31log 31log 31log 31
)/(log )/(31)/(log )/(31)/(log )/(31)/(log )/(31
)/(log )/(31)/(log )/(31)
/(log )/(31)/(log )/(31)/(log )/(3
1
)
/(log )/()(222
2222233233322323123123223222222122113213122121121133⋅+⋅-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅-=⎥⎦⎤++++++⎢⎣⎡++-=-=∑∑∞
2.11黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X ={黑，白}。

设黑色出现的概率为P(黑) = 0.3，白色出现的概率为P(白) = 0.7。

(1) 假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H(X)； (2) 假设消息前后有关联，其依赖关系为P(白/白) = 0.9，P(黑/白) = 0.1，P(白/黑) = 0.2，P(黑/黑) = 0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵H 2(X);
(3) 分别求上述两种信源的剩余度，比较H(X)和H 2(X)的大小，并说明其物理含义。

解： (1)
symbol bit x p x p X H i
i i / 881.010log )7.0log 7.03.0log 3.0()(log )()(2=+-=-=∑
(2)
symbol
bit e e p e e p e p H e p e p e p e p e p e p e p e p e p e p e p e p e e p e p e e p e p e p e e p e p e e p e p e p i
j
i j i j i / 553.010
log )9.0log 9.032
1.0log 1.032
2.0log 2.0318.0log 8.031()
/(log )/()(3
/2)(3/1)(1)()()(2)()(2.0)(9.0)()(1.0)(8.0)()/()()/()()()/()()/()()(221211212221112122222121111=⨯+⨯+⨯+⨯-=-=⎩⎨
⎧==⎩⎨
⎧=+=⎩⎨
⎧+=+=⎩⎨
⎧+=+=∑∑∞
p(黑/黑)=0.8
e1
e2
· 6 ·
(3)
%7.442
log 553
.02log %9.112log 881
.02log 2200122001=-=-=
=-=-=∞∞H H H H H H ηη
H(X) > H 2(X)
表示的物理含义是：无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，能够进行较大程度的压缩。

2.12 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；
(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。

解： (1)
bit x p x I x p i i i 170.418
1
log )(log )(18
161616161)(2
2=-=-==⨯+⨯=
(2)
bit
x p x I x p i i i 170.536
1
log )(log )(36
16161)(22=-=-==⨯=
(3)
两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66
共有21种组合：
其中11，22，33，44，55，66的概率是36
16161=⨯ 其他15个组合的概率是18
1
61612=⨯
⨯ symbol bit x p x p X H i
i i / 337.410log )18
1log 18115361log 3616()(log )()(2=⨯+⨯
-=-=∑ (4)
参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：
· 7 ·
symbol bit x p x p X H X P X i
i i / 274.310log )6
1log 61365log 365291log 912121log 1212181log 1812361log 3612()
(log )()(36112181111211091936586173656915121418133612)(2=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
-=-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡∑
(5)
bit
x p x I x p i i i 710.136
11
log )(log )(36
11116161)(22=-=-==⨯⨯=
2.13 某一无记忆信源的符号集为{0, 1}，已知P(0) = 1/4，P(1) = 3/4。

(1) 求符号的平均熵；
(2) 有100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m 个“0”和（100 - m ）个“1”）的自信息量的表达式； (3) 计算(2)中序列的熵。

解： (1)
symbol bit x p x p X H i
i i / 811.010log )43
log 4341log 41()(log )()(2=+-=-=∑
(2)
bit m x p x I x p m
i i m m
m
i 585.15.414
3
log )(log )(4
34341)(100
1002
2100
100100+=-=-==⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=---
(3)
symbol bit X H X H / 1.81811.0100)(100)(100=⨯==
2.14 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下：
忙
晴
雨
冷 12
暖 8
暖 16
冷 27
闲
晴
雨
冷 8
暖 15
暖 12冷 5
若把这些频度看作概率测度，求：
· 8 ·
(1) 忙闲的无条件熵；
(2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。

解： (1)
根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：
symbol
bit x p X H x x X P X i
i / 964.010340log 1034010363log 10363)()(1034010363闲忙)(222
21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡∑
(2)
设忙闲为随机变量X ，天气状态为随机变量Y ，气温状态为随机变量Z
symbol
bit YZ H XYZ H YZ X H symbol
bit z y p z y p YZ H symbol
bit z y x p z y x p XYZ H j
k
k j k j i
j
k
k j i k j i / 859.0977.1836.2)()()/(/ 977.110328log 1032810332log 1033210323log 1032310320log 103
20
)
(log )()(/ 836.210312log 103121035log 103510315log 103151038log 103810316log 1031610327log 103271038log 103810312log 103
12
)
(log )()(2222222222
2222=-=-==⎪
⎭⎫ ⎝⎛+++-=-==⎪⎭⎫++++ ⎝⎛+++-=-=∑∑∑∑∑
(3)
symbol bit YZ X H X H YZ X I / 159.0859.0964.0)/()();(=-=-=
2.15 有两个二元随机变量X 和Y ，它们的联合概率为
并定义另一随机变量Z = XY （一般乘积），试计算： (1) H(X), H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)和H(XYZ)；
(2) H(X/Y), H(Y/X), H(X/Z), H(Z/X), H(Y/Z), H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)和H(Z/XY)； (3) I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。

解： (1)
2
1
8381)()()(21111=+=+=y x p y x p x p
· 9 ·
symbol bit y p y p Y H y x p y x p y p y x p y x p y p symbol bit x p x p X H y x p y x p x p j
j j i
i i / 1)(log )()(2
1
8183)()()(21
8381)()()(/ 1)(log )()(2
18183)()()(22221212111222122=-==
+=+==
+=
+==-==+=
+=∑∑ Z = XY 的概率分布如下：
symbol
bit z p Z H z z Z P Z k
k / 544.081log 8187log 87
)()(818710)(222
21=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨
⎧===⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑ symbol
bit z x p z x p XZ H z p z x p z x p z x p z p z x p z p z x p z x p z x p z p x p z x p z x p z x p z x p x p i k k i k i / 406.1)81
log 8183log 8321log 21()(log )()(8
1
)()()()()(8
35.087)()()()()()(5.0)()(0)()()()(22222222221211112121111112121111=++-=-==
=+==-=-=+====+=∑∑
symbol
bit z y p z y p YZ H z p z y p z y p z y p z p z y p z p z y p z y p z y p z p y p z y p z y p z y p z y p y p j k
k j k j / 406.1)81
log 8183log 8321log 21()(log )()(8
1
)()()()()(8
35.087)()()()()()(5.0)()(0)()()()(22222222221211112121111112121111=++-=-==
=+==-=-=+====+=∑∑
· 10 ·
8
38121)()()()()()(8/1)()()()()(0
)(0)(0)(11111121111111211111111211111212221211=-=
-==+===+===z y x p z x p z y x p z x p z y x p z y x p y x p z y x p y x p z y x p z y x p z y x p z y x p z y x p
symbol
bit z y x p z y x p XYZ H y x p z y x p y x p z y x p z y x p z y x p y x p z y x p y x p z y x p z y x p i
j
k
k j i k j i / 811.181log 8183log 8383log 8381log 8
1
)(log )()(8
1)()()
()()(0
)(8
3)()()()()(2222222222222221221221211212212112=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=-==
==+====+∑∑∑
(2)
symbol
bit XY H XYZ H XY Z H symbol bit XZ H XYZ H XZ Y H symbol bit YZ H XYZ H YZ X H symbol bit Y H YZ H Y Z H symbol bit Z H YZ H Z Y H symbol bit X H XZ H X Z H symbol bit Z H XZ H Z X H symbol bit X H XY H X Y H symbol bit Y H XY H Y X H symbol
bit y x p y x p XY H i j
j i j i / 0811.1811.1)()()/(/ 405.0406.1811.1)()()/(/ 405.0406.1811.1)()()/(/ 406.01406.1)()()/(/ 862.0544.0406.1)()()/(/ 406.01406.1)()()/(/ 862.0544.0406.1)()()/(/ 811.01811.1)()()/(/ 811.01811.1)()()/(/ 811.181log 8183log 8383log 8381log 81
)(log )()(22222=-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-==-=∑∑ (3)
symbol
bit YZ X H Y X H Y Z X I symbol bit XZ Y H X Y H X Z Y I symbol bit YZ X H Z X H Z Y X I symbol
bit Z Y H Y H Z Y I symbol bit Z X H X H Z X I symbol bit Y X H X H Y X I / 406.0405.0811.0)/()/()/;(/ 457.0405.0862.0)/()/()/;(/ 457.0405.0862.0)/()/()/;(/ 138.0862.01)/()();(/ 138.0862.01)/()();(/ 189.0811.01)/()();(=-=-==-=-==-=-==-=-==-=-==-=-=
2.16 有两个随机变量X 和Y ，其和为Z = X + Y （一般加法），若X 和Y 相互独立，求证：H(X) ≤ H(Z), H(Y) ≤ H(Z)。

证明：
∑∑∑∑⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=⎩⎨
⎧∉-∈-=-=∴+=i k i k i k i i k i k k i i k i k j i k i k x z p x z p x p x z p z x p X Z H Y x z Y
x z y p x z p x z p Y
X Z )/(log )/()()/(log )()/()(
0)( )()()/(22
)
()()/()()
()(log )()(2Y H Z H X Z H Z H Y H y p y p x p i j j j i ≥∴≥=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=∑∑ 同理可得)()(X H Z H ≥。

2.17 给定声音样值X 的概率密度为拉普拉斯分布+∞<<-∞=-x e x p x
,2
1)(λλ，求H c (X)，并证
明它小于同样方差的正态变量的连续熵。

解：
()
()()[]
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞
+-∞+-∞+-∞
+∞--∞
+∞-∞+-∞+-∞+-∞+-∞+-∞-∞+-∞-∞
+∞--∞
+∞-∞+-∞+--∞
+--∞
+--∞
+--∞
+--∞+∞---∞
+∞
--∞
+∞-∞
+∞
--∞
+∞
-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-===⋅==-==+-=∴-==--=+==⋅===+=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==-=-=--=-=-=0020202020
22
||2
2
2
2
00000)(000||22222002020
20
20
22||2|
|2||22||2
22 21)()(0
2
1212
121)()(21212
12121)()(/ 2log log 2log )(log log log log log log 其中：
log 2
log log 2
12
log log )()(2log 2
1log )()(log )()(xdx e dx e dx e x e de x dx
x e dx x e dx x x p x E m x E xdx e xdx e m ydy e ydy e y d y e xdx e xdx
e xdx e xdx e xdx x p X E m symbol
bit e
e X H e e e e d e e e e d e dx
e e dx
e e dx e e dx
e x p dx x p dx e x p dx x p x p X H x x x x x x x x x y y y x x x
x c x x x x
x x x x x x x x x x x c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλσλλλλλλλλλλ
λλλλ
λλλ
λ
λ
πλσπλλλλλλe
X H e e X H dx e x e xde c c x x x 2log )(2log 2log 21)(222
2
2正态2000=>==∴=⎪⎭⎫ ⎝
⎛--
=-
=⎰⎰+∞-+∞-+∞
-
2.18 连续随机变量X 和Y 的联合概率密度为：⎪⎩⎪
⎨⎧≤+=其他
1
),(2222
r y x r y x p π，求H(X), H(Y),
H(XYZ)和I(X;Y)。

（提示：⎰-=20222log 2
sin log π
π
xdx ）
解：
⎰⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
-+-=
+
==-==--=--=--=-+-=--=---=--=-=≤≤--===----------
---202020
220
2
20
20222
20
2
20
2222
22
2222222222222
22222
222
22sin log 2
2cos 1422cos 1log 4sin log sin 4
log sin 4
sin log sin 4
sin log sin 4)
cos (sin log sin 4cos log 4log 2log )(/ log 2
1
log log 2
1
1log 2log log )(2log log )(2
log )( 2log )( )(log )()()( 21)()(2
2222
22
2π
π
π
π
π
ππθθθ
πθθπ
θ
θθπθθπθθθπθθθπθθθπθπππππππππd d r d rd d r d r r r r d r r r r x dx x r x r r dx x r r x r dx
x r x p symbol
bit e r e
r r dx
x r x p r dx
x r x p dx r
x p dx r
x r x p dx
x p x p X H r x r r
x r dy r dy xy p x p r r
r r
r
r r r r r r r
r r
r c x r x r x r x r 令其中：
e
e e d e d e d e d e d e
d d d e
r d r d d r r d d d r d r 220
2220
220
22
0220
2220
220
20
20
20
220
20
220
20
20
20
20
log 21
2sin log 21log 212cos log 1
log 122cos 1log 2
cos log 2
sin log cos cos sin 21
sin log 2sin sin log 2sin 12sin sin log 1
sin log 2cos 2
log 2
1
1log sin log 2cos 2
1log sin log 2cos 2
)2log 2
(2
2sin log 1
log sin log 2cos 2
sin log 2
2cos log 2
log 2
-=--=--=+-
=-=-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-==
+-=-
-=-
-
+
-
=-
+
-
=
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰
⎰
⎰⎰π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
θπθ
θπ
θπθ
θ
πθ
θπθ
θ
θθ
θπθθθθπθ
θπθ
θθπθ
θθπθ
θθπππ
θπ
θ
θθπθθπθθπ
θπ
其中：
bit/symbol
e r e r XY H Y H X H Y X I bit/symbol r dxdy xy p r dxdy r
xy p dxdy
xy p xy p XY H bit/symbol
e r X H Y H x p y p r y r r y r dx r dx xy p y p c c c c R
R
R
c C C y r y r y r y r log log log log log 2 )()()();( log )(log 1
log
)( )(log )()( log 2
1
log )()()
()()
( 21
)()(222222222222
2222
222222
2-=--=-+===-=-=-===≤≤--===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
---
---πππππππππ
2.19 每帧电视图像可以认为是由3 105个像素组成的，所有像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现，问每帧图像含有多少信息量？若有一个广播员，在约10000个汉字中选出1000个汉字来口述此电视图像，试问广播员描述此图像所广播的信息量是多少（假设汉字字汇是等概率分布，并彼此无依赖）？若要恰当的描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？
解： 1)
symbol bit X NH X H symbol
bit n X H N
/ 101.27103)()(/ 7128log log )(6
5
22⨯=⨯⨯=====
2)
symbol bit X NH X H symbol bit n X H N
/ 13288288.131000)()(/ 288.1310000log log )(22=⨯=====
3)
158037288
.13101.2)()(6
=⨯==X H X H N N
2.20 设N X X X X ...21=是平稳离散有记忆信源，试证明：
).../(...)/()/()()...(12121312121-++++=N N N X X X X H X X X H X X H X H X X X H 。

证明：
)
.../(...)/()/()()
.../(log )...(...... )
/(log )()(log )()
.../(log )...(...... )
/(log )...(...)(log )...(...)
.../().../()(log )...(...)
...(log )...(...)
...(12121312121111
2
211
2
12211
11111
2
21121221112211
2
11121211
2
2121-++++=---=-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=-=---∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑N N i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i N X X X X H X X X H X X H X H x x x p x x x p x x p x x p x p x p x x x p x x x p x x p x x x p x p x x x p x x x p x x p x p x x x p x x x p x x x p X X X H N N N
N N N N
N N N N N N
N N N N
N N
2.21 设N X X X X ...21=是N 维高斯分布的连续信源，且X 1, X 2, … , X N 的方差分别是
2
2221,...,,N σσσ，它们之间的相关系数),...,2,1,(0)(j i N j i X X j i ≠==ρ。

试证明：N 维高斯分布的
连续信源熵
∑==N
i
i N c c e X X X H X H 22212log 21)...()(σπ
证明：
相关系数()
()j i N j i x x j i ≠== ,,...,2,1, 0ρ，说明N X X X ...21是相互独立的。

∑==+++=
+++=∴=
+++==∴N
i i N N c c c c i i c N c c c N c c e e e e X H X H X H X H e X H X H X H X H X X X H X H 12
222222************log 21 2log 21...2log 212log 21 )(...)()()(2log 2
1
)()(...)()()...()(σπσπσπσπσπ
2.22 设有一连续随机变量，其概率密度函数⎩⎨
⎧≤≤=其他
0)(2a x bx x p
(1) 试求信源X 的熵H c (X)；
(2) 试求Y = X + A (A > 0)的熵H c (Y)； (3) 试求Y = 2X 的熵H c (Y)。

解： 1)
symbol
bit e
a b X H ba a F bx x F e
a ba
b xdx
x b b dx
x x f dx x f b dx
bx x f dx x f x f X H c X X R
R
R
R
R
c / log 32log )(1
3
)(,3)(log 92log log 2log log )()(log log )()(log )()(3
223
332
32222222222⋅--=∴===--=--=-⋅-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰
2)
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
-----=--⋅-=--=-=-='=-==-≤=≤+=≤=+≤≤∴≤-≤⇒≤≤-R
R
R
R
R
c A y A Y A y
d A y A y b b dy
A y y f dy y f b dy A y b y f dy y f y f Y H A y b y F y f A y b
dx bx A y X P y A X P y Y P y F A
a y A a
A y a x )
()(log )(2log )(log )()(log )(log )()(log )()()()()()(3
)()()()(002222222222
32
symbol
bit e
a b Y H ba A a F A y b y F symbol
bit e
a ba
b
c Y Y / log 32log )(13
)(,)(3)(/ log 92log 3
2233
3
232⋅--=∴==+-=--=
3)
symbol
bit e a b Y H ba a F y b y F ba e a ba b e a ba b ydy
y b
b dy
y y f dy y f b
dy y b y f dy y f y f Y H y b
y F y f y
b dx bx y
X P y X P y Y P y F a
y a y a x c Y Y R R R
R
R
c y
Y / 1log 32log )(1
3
)2(,24)(3
29log 92log 8log 928log log 48log log )()(8log 8
log )()(log )()(8)()(24
)
2
()2()()(202
003
223
33
32323
2
32222222
22
22
3
202+⋅--=∴===-+
--=--=--=-⋅-=-=-=='===≤=≤=≤=≤≤∴≤≤⇒≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰
3.1 设信源⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4.06.0)(21x x X P X 通过一干扰信道，接收符号为Y = { y1, y2 }，信道转移矩阵为⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡43416165，求：
(1) 信源X 中事件x 1和事件x 2分别包含的自信息量；
(2) 收到消息y j (j=1,2)后，获得的关于x i (i=1,2)的信息量；
(3) 信源X 和信宿Y 的信息熵；
(4) 信道疑义度H(X/Y)和噪声熵H(Y/X)； (5) 接收到信息Y 后获得的平均互信息量。

解： 1)
bit
x p x I bit x p x I 322.14.0log )(log )( 737.06.0log )(log )(22222121=-=-==-=-=
2)
bit
y p x y p y x I bit
y p x y p y x I bit
y p x y p y x I bit
y p x y p y x I x y p x p x y p x p y p x y p x p x y p x p y p 907.04
.04
/3log )()/(log );( 263.16.04
/1log )()/(log );( 263.14.06
/1log )()/(log );( 474.06.06
/5log )()/(log );(4
.04
3
4.0616.0)/()()/()()(6
.041
4.0656.0)/()()/()()(22222
2221212122212221211121122212122121111===-===-=======⨯+⨯=+==⨯+⨯=+=
3)
symbol
bit y p y p Y H symbol
bit x p x p X H j
j j i
i i / 971.010log )4.0log 4.06.0log 6.0()(log )()(/ 971.010log )4.0log 4.06.0log 6.0()(log )()(22=+-=-==+-=-=∑∑
4)
symbol
bit Y H X Y H X H Y X H Y X H Y H X Y H X H symbol
bit x y p x y p x p X Y H i
j
i j i j i / 715.0971.0715.0971.0 )()/()()/()
/()()/()(/ 715.0 10
log )4
3
log 434.041log 414.061log 616.065log 656.0( )
/(log )/()()/(2=-+=-+=∴+=+=⨯⨯+⨯+⨯+⨯-=-=∑∑ 5)
symbol bit Y X H X H Y X I / 256.0715.0971.0)/()();(=-=-=
3.2 设二元对称信道的传递矩阵为⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡32313132
(1) 若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4，求H(X), H(X/Y), H(Y/X)和I(X;Y)； (2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布；
解： 1)
symbol
bit Y X H X H Y X I symbol bit X Y H Y H X H Y X H X Y H Y H Y X H X H Y X I symbol bit y p Y H x y p x p x y p x p y x p y x p y p x y p x p x y p x p y x p y x p y p symbol
bit x y p x y p x p X Y H symbol
bit x p X H j
j i
j
i j i j i i i / 062.0749.0811.0)/()();(/ 749.0918.0980.0811.0)/()()()/()
/()()/()();(/ 980.0)4167.0log 4167.05833.0log 5833.0()()(4167
.03
2
413143)/()()/()()()()(5833.031
413243)/()()/()()()()(/ 918.0 10
log )3
2
lg 324131lg 314131lg 314332lg 3243( )
/(log )/()()/(/ 811.0)41
log 4143log 43()()(222221212221221211112111222=-==-==+-=+-=-=-==⨯+⨯-=-==⨯+⨯=+=+==⨯+⨯=
+=+==⨯⨯+⨯+⨯+⨯-=-==⨯+⨯-=-=∑∑∑∑ 2)
2
1
)(/ 082.010log )3
2
lg 3231lg 31(2log log );(max 222=
=⨯++=-==i mi x p symbol
bit H m Y X I C
3.3 设有一批电阻，按阻值分70%是2K Ω，30%是5 K Ω；按瓦分64%是0.125W ，其余是0.25W 。

现已知2 K Ω阻值的电阻中80%是0.125W ，问通过测量阻值可以得到的关于瓦数的平均信息量是多少？
解：
对本题建立数学模型如下：
)
;(求：2.0)/(,8.0)/(36.064.04/18
/1)(瓦数 3.07.052)(阻值12112121Y X I x y p x y p y y Y P Y x x X P X ==⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧===⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧KΩ=KΩ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡
以下是求解过程：
()()()symbol
bit XY H Y H X H Y X I symbol
bit y x p y x p XY H symbol
bit y p Y H symbol
bit x p X H y x p y p y x p y x p y x p y p y x p y p y x p y x p y x p y p x y p x p y x p x y p x p y x p i
j
j i j i j
j i
i / 186.0638.1943.0881.0)()()();(/ 638.1 22.0log 22.008.0log 08.014.0log 14.056.0log 56.0 )
(log )()(/ 943.036.0log 36.064.0log 64.0)()(/ 881.03.0log 3.07.0log 7.0)()(22
.014.036.0)()()()
()()(08.056.064.0)()()()
()()(14.02.07.0)/()()(56.08.07.0)/()()(22222222212222221211112121111212111111=-+=-+==⨯+⨯+⨯+⨯-=-==⨯+⨯-=-==⨯+⨯-=-==-=-=∴+==-=-=∴+==⨯===⨯==∑∑∑∑
3.4 若X, Y, Z 是三个随机变量，试证明
(1) I(X;YZ) = I(X;Y) + I(X;Z/Y) = I(X;Z) + I(X;Y/Z)；
证明：
)
/;();( )/()/(log
)()()
/(log
)( )
/()()/()/(log
)( )
()/(log
)();()
/;();( )
/()/(log
)()
()/(log
)( )/()()/()/(log
)( )
()/(log
)();(Z Y X I Z X I z x p z y x p z y x p x p z x p z y x p z x p x p z x p z y x p z y x p x p z y x p z y x p YZ X I Y Z X I Y X I y x p z y x p z y x p x p y x p z y x p y x p x p y x p z y x p z y x p x p z y x p z y x p YZ X I i j k
k i k j i k j i i
j
k
i k i k j i i
j
k
k i i k i k j i k j i i
j
k
i k j i k j i i
j
k
j i k j i k j i i
j
k
i j i k j i i
j
k
j i i j i k j i k j i i
j
k
i k j i k j i +=+===+=+===∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
(2) I(X;Y/Z) = I(Y;X/Z) = H(X/Z) – H(X/YZ)；
证明：
∑∑∑∑∑∑==i
j
k
k j k i k j k j i k j i i
j
k
k i k j i k j i z y p z x p z y p z y x p z y x p z x p z y x p z y x p Z Y X I )
()/()()/(log
)( )/()/(log
)()/;(
)
/()/( )
/()/(log )( )
/()/(log )( )/(log )()/(log )( )
/()/(log
)()/;()
/;( )
/()/(log
)( )/()()(log
)( )/()()(log
)( )/()()/()(log
)( YZ X H Z X H YZ X H z x p z x p YZ X H z x p z y x p z y x p z y x p z x p z y x p z x p z y x p z y x p Z Y X I Z X Y I z y p z x y p z y x p z y p z x p z y x p z y x p z y p z x p z y x p z y x p z y p z p z x p z y x p z y x p i
k
k i k i i k k i j k j i i
j
k
k j i k j i i
j
k
k i k j i i
j
k
k i k j i k j i i
j
k
k j k i j k j i i
j
k
k j k i k j i k j i i
j
k
k j k i k j i k j i i
j
k
k j k k i k j i k j i -=--=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=+-=======∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
(3) I(X;Y/Z) ≥0，当且仅当(X, Y, Z)是马氏链时等式成立。

证明：
)/;(0 log 1)/( log 1)/()( log )()/()/()( log 1)/()/()( )
/()
/(log
)()/;()/()/(log
)()/;(2222≥∴=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-≤=-∴=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑Z Y X I e
z x p e
z x p z y p e z y x p z y x p z x p z y x p e z y x p z x p z y x p z y x p z x p z y x p Z Y X I z x p z y x p z y x p Z Y X I i k i i k i j k k j i j k k j i i j k k j i k i k j i i j k k j i k i k j i i
j
k
k j i k i k j i i
j
k
k i k j i k j i
当
01)
/()
/(=-k j i k i z y x p z x p 时等式成立
)
/()/()/()(/)()/()/()()/()/()()()/()/()()
/()/(k j i k i k j k k j i k i k j k j i k i k j k k j k j i k i k j k j i k i z y x p z x p z y p z p z y x p z x p z y p z y x p z x p z y p z p z y p z y x p z x p z y p z y x p z x p =⇒=⇒=⇒=⇒=⇒
所以等式成立的条件是X, Y , Z 是马氏链
3.5若三个随机变量，有如下关系：Z = X + Y ，其中X 和Y 相互独立，试证明：
(1) I(X;Z) = H(Z) - H(Y)； (2) I(XY;Z) = H(Z)； (3) I(X;YZ) = H(X)； (4) I(Y;Z/X) = H(Y)；
(5) I(X;Y/Z) = H(X/Z) = H(Y/Z)。

解： 1)
)
()()/()();()
( )(log )()( )/(log )/()( )
/(log )()/()(
0)( )()()/(222Y H Z H X Z H Z H Z X I Y H y p y p x p x z p x z p x p x z p z x p X Z H Y x z Y
x z y p x z p x z p Y
X Z i j j j i i k i k i k i i
k
i k k i i k i k j i k i k -=-=∴=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=-=⎩⎨
⎧∉-∈-=-=∴+=∑∑∑∑∑∑
2)
)
(0)()/()();(0 )/(log )/()( )
/(log )()/()( 0)( 1)/(22Z H Z H XY Z H Z H Z XY I y x z p y x z p y x p y x z p z y x p XY Z H z y x z y x y x z p Y
X Z i j k j i k j i k j i i
j
k
j i k k j i k
j i k
j i j i k =-=-=∴=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=⎪⎩⎪⎨
⎧≠+=+=∴+=∑∑∑∑∑∑
3)
)
(0)()/()();(0 )/(log )/()( )
/(log )()/( 0 1)/(22X H X H YZ X H X H YZ X I z y x p z y x p z y p z y x p z y x p YZ X H y z x y z x z y x p Y
X Z j k i k j i k j i k j i
j
k
k j i k j i j
k i j
k i k j i =-=-=∴=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=⎪⎩⎪⎨
⎧-≠-==∴+=∑∑∑∑∑∑
4)
)
(0)()/()/()/;(0
)/(log )/()( )
/(log )()/( 0 1)/(22Y H Y H XZ Y H X Y H X Z Y I z x y p z x y p z x p z x y p z y x p XZ Y H x z y x z y z x y p Y
X Z i k j k i j k i j k i i
j
k
k i j k j i i
k j i
k j k i j =-=-=∴=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=⎪⎩⎪⎨
⎧-≠-==∴+=∑∑∑∑∑∑
5)
)/(0)/()/()/()/;(0 )/(log )/()( )
/(log )()/( 0 1)/(22Z X H Z X H YZ X H Z X H Z Y X I z y x p z y x p z y p z y x p z y x p YZ X H y z x y z x z y x p Y
X Z j k i k j i k j i k j i
j
k
k j i k j i j
k i j
k i k j i =-=-=∴=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=⎪⎩⎪⎨
⎧-≠-==∴+=∑∑∑∑∑∑
)
/(0)/()/()/()/;(0
)/(log )/()( )
/(log )()/( 0 1)/(22Z Y H Z Y H XZ Y H Z Y H Z Y X I z x y p z x y p z x p z x y p z y x p XZ Y H x z y x z y z x y p Y
X Z i k j k i j k i j k i i
j
k
k i j k j i i
k j i k j k i j =-=-=∴=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=-=⎪⎩⎪⎨
⎧-≠-==∴+=∑∑∑∑∑∑
3.6 有一个二元对称信道，其信道矩阵为⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡98.002.002.098.0。

设该信源以1500二元符号/秒的速度传输输入符号。

现有一消息序列共有14000个二元符号，并设P(0) = P(1) = 1/2，问从消息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这消息序列无失真的传递完？
解：
信道容量计算如下：
[]symbol
bit H Y H X Y H Y H Y X I C mi / 859.0 )02.0log 02.098.0log 98.0(2log )()/()(max );(max 222max =⨯+⨯+=-=-==
也就是说每输入一个信道符号，接收到的信息量是0.859比特。

已知信源输入1500二元符号/秒，那么每秒钟接收到的信息量是：
s bit symbol bit s symbol I / 1288/859.0/15001=⨯=
现在需要传送的符号序列有140000个二元符号，并设P(0) = P(1) = 1/2，可以计算出这个符号序列的信息量是
bit
I 14000 )5.0log 5.05.0log 5.0(1400022=⨯+⨯⨯=
要求10秒钟传完，也就是说每秒钟传输的信息量是1400bit/s ，超过了信道每秒钟传输的能力（1288 bit/s ）。

所以10秒内不能将消息序列无失真的传递完。

3.7 求下列各离散信道的容量（其条件概率P(Y/X)如下：） (1) Z 信道 (2) 可抹信道 (3) 非对称信道 (4) 准对称信道
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-s s 101 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----2121212111s s s s s s s s ⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡43412121 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3161616131316131 解：
1) Z 信道
这个信道是个一般信道，利用一般信道的计算方法： a. 由公式
∑∑=j
j i j j
i j i j
x y p x y p x y
p β)/()/(log )/(2，求βj
⎪⎩
⎪⎨⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-=-+-==⎩⎨
⎧-+=--+=⨯-s
s
s s s s s s s s s s s s 1222212
12212)1(log )1(log log 10
)1()1(log )1(log 1log 1βββββ b. 由公式⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=∑j j C β2log 2，求C
symbol bit s s C s s
j j
/ )1(1log 2log 122⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∑β。