数学建模阶梯问题

数学建模梯子长度问题

实验报告专业：信息与计算科学班级：09级（ 2）班指导老师：许小芳姓名：余彪学号：200941210239 实验室：K7-405实验名称:梯子长度问题时间：2011.09.19一、实验目的和要求：掌握求一元函数极值的驻点法，并会用它解决一些实际问题；熟悉科学计算软件MATLAB求极小值的命令。

二、实验内容：一栋楼房的后面是一个很大的花园。

在花园中紧靠着楼房有一个温室，温室伸入花园宽2m，高3m，温室正上方是楼房的窗台。

清洁工打扫窗台周围，他得用梯子越过温室，一头放在花园中，一头靠在楼房的墙上。

因为温室是不能承受梯子压力的，所以梯子太短是不行的。

现清洁工只有一架7m长的梯子，你认为它能达到要求吗？能满足要求的梯子的最小长度为多少？三、过程：1、设温室宽为a，高为b，梯子倾斜的角度为x，当梯子与温室顶端 A处恰好接触时，梯子的长度L只与x有关。

试写出函数L （x）及其定义域。

根据题目做出数学图形如上图所示，故易知函数为：L(x)=b/sin(x)+a/cos(x);0<x<0.5*pi;2、在 Matlab 环境，先用命令 clear x 清除x的值，再定义函数L(x) ，并求导。

syms a b xdiff(b/sin(x)+a/cos(x))ans =-b/sin(x)^2*cos(x)+a/cos(x)^2*sin(x) 3、将a、b赋值，画出L(x) 的图形。

注意自变量x的范围选取。

x=0.1:pi/200:1.5;l=3./sin(x)+2./cos(x);figure(1)plot(x,l,'r');grid on画出图形如下：4、求驻点，即求方程()0L x'=的根，有什么命令求根？并计算函数在驻点的值。

驻点唯一吗？l='(3./sin(x)+2./cos(x))';>> dl=diff(l)dl =-3./sin(x)^2*cos(x)+2./cos(x)^2*sin(x)>> x=solve(dl)x =.85277087756427083204247764696116-.91778230040579995001409412898792+.64318975209837856628321146975070*i-.91778230040579995001409412898792-.64318975209837856628321146975070*i>> x=double(x)x =0.8528-0.9178 + 0.6432i-0.9178 - 0.6432i>> l1=3./sin(x)+2./cos(x)l1 =7.0235-0.8686 - 2.4329i-0.8686 + 2.4329i故容易知道驻点不唯一，有三个驻点5、观测图形，选取初始点，用fminbnd 直接求L(x)的极小值。

数学建模·走阶梯问题

数学建模·走阶梯问题一问题重述教室楼梯有N层阶梯，从0级开始，先出右脚，每次只能走1或2个阶梯。

分别走偶数和奇数步（最后一步分别为左脚和右脚），问有多少种走法。

二模型假设与符号说明假设共有20层阶梯，右脚用R表示，左脚用L表示。

三建立模型1 走偶数步(N=20)R1 L1 R2 L2 R3 L3……………R i L i ( i<=10 )a.若每次走1个阶梯i=10 为一种方法b.若每次走2个阶梯i=5 为一种方法c.若有一步走了2个阶梯，则2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (无论那一步走了2个阶梯，结果一样) 很明显不满足题目走偶数步的要求。

思考：能否存在奇数的步数走2个阶梯？答：分析可知，若奇数的步数走了2个阶梯，始终会出现一个单的阶梯。

则不能满足题意。

所以若要走偶数步，只能存在偶数的步数走2个阶梯。

则可设走2个阶梯的步数为n (2,4,6,8,10)d．若有2步走了2个阶梯，可能的情况有全是右脚、全是左脚、一只右脚一只左脚。

…………2 走奇数步（N=20）R1 L1 R2 L2 R3…………L i-1 R i ( i<=10 )a.若每次走1个阶梯i=10 为一种方法b.若每次走2个阶梯i=5 为一种方法c.分析可知不能存在偶数的步数走2个阶梯，分析方法同上。

则可设走2个阶梯的步数为n（1，3，5，7，9）四模型求解1 走偶数步a.全走1个阶梯和全走两个阶梯为两种方法b.若有2步走了2个阶梯有3种情况①全是右脚则把它与后一步的左脚绑在一起，共走了6步，还剩14步，组为7组。

若走2个阶梯的右脚是连续的则有C 1 9种，不连续的话有C 2 9种，共有9+36=45种②全是左脚分析方法和右脚的类似，把前一步的右脚和走2个阶梯的左脚绑在一起，也共有C 1 9+ C 29=45种③一只左脚一只右脚如果走的2个阶梯的步数是连续的，运用捆绑法和插空法可知有C 1 9种方法；如果不是连续的，则把走2个阶梯的右脚和后一步的左脚绑在一起，把走2个阶梯的左脚和前一步的右脚绑在一起共有的方法有C 1 9+C 29 种，一共就有 9+9+36=54种方法 c. 若有4步走了2个阶梯如果这4步是连续的则有 C 1 7=7种方法；如果这4步中有2步连续，其他2步则与单数的步数绑在一起共有的方法（C 1 3C 1 5+A 2 6+A 2 2A 26）x 2=210种；如果有3步是连续的,分析知不满足题意。

数学建模例题之电梯问题

某教学和办公大楼有十一层高,教室安排在1到7层,办公室都安排在8,9,10,11层上,假设学生上课每层有300人，办公人员都乘电梯上楼,每层有60人办公,现有二台电梯A、B可利用，每层楼之间电梯的运行时间是3秒，最底层（一层）停留时间是20秒，其他各层若停留，则停留时间是10秒，每层电梯的最大的容量是10人。

为简单起见，假设早晨7：30-8：00以前学生和办公人员已陆续到达一层，能保证每部电梯在底层的等待时间内（20秒）能达到电梯的最大容量，电梯在各层的相应的停留时间内办公人员能完成出入电梯，当无人使用电梯时，电梯应在底层待命。

问：1：把这些人都送到相应的办公楼层，要用多少时间？2：怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少？为简单起见，现作如下假设：1.早晨8点以前办公人员已陆续到达最底层。

2.每部电梯在底层的等待时间内（20秒）能达到电梯的最大容量，电梯在各层的相应的停留时间内（10秒）办公人员能完成出入电梯。

其余时间，如电梯开关门的时间则忽略不记。

3.当电梯下降时，没有人员在其中，电梯直接从原目标层回到最底层。

4.电梯是匀速运行的，启动、停止时的加速度忽略不记。

5.当无人使用电梯时，电梯应在底层待命。

6.电梯只能运送目标层在工作区间内的员工，而不能运送其他员工，即使它已经处在待命状态。

2. 变量说明Tk 电梯在一种模式下完成工作的耗时（k=1， (6)a 电梯在底层停顿的时间b 电梯在每层（除底层）停靠所需要的时间p 电梯运行的最高目标层m 各层需要运送的人数n 电梯的单位运输能力v 电梯的运行速度3. 对问题的枚举式分析3.1.1 先假设只有一台电梯在工作。

CASE 1 如果在电梯一次运行过程中，每一层的人员均含两名，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：Ta=30*(20+2*3*10+5*10)=3900秒=65分钟CASE 2 如果在电梯一次运行过程中，电梯中的人员均在同一层办公，那么，电梯完成所有运送任务并回到最底层待命所需的时间：Tb=∑6*[20+2*3*(n-1)+10]=2340秒=39分钟3.1.2 假设三台电梯工作模式完全相同(即A、B、C三台同升同降，同开同关)。

案例三：爱因斯坦的阶梯问题：设有一阶梯

（4）x%6=5
（5）x%7=0
由条件（1）和条件（5）知，阶梯数一定为奇数，并且为 7 的倍数，因此，我们可以依
次对 7，7+14，7+14+14，…用条件（2）、（3）、（4）进行测试，从而求出答案。
2．程序流程图：
3．程序 N-S 图：
开始 x=7
!(x%3==2&&x%5 ==4&&x%6==5)
案例三：爱因斯坦的阶梯问题：设有一阶梯，每步跨 2 阶，最后余 1 阶；每步跨 3 阶，最后
余 2 阶；每步跨 5 阶，最后余 4 阶；每步跨 6 阶，最后余 5 阶；每步跨 7 阶，正好到阶梯顶。
问该阶梯共有多少阶。
1．程序分析：
设阶梯数为 x，则依据题意有：
（1）x%2=1
（2）x%3=2
（3）x%5=4
x=7
!(x%3= =2&&x%5= =4
真
&&x%6= =5)
假
N x+=14
Y x 增加 14
输出 x 程序 N-S 图
输出 x
程序流程图
4．程序源代码： main( ) { int x=7; while(!(x%3= =2&&x%5= =4&&x%6= =5)) { x+=14; } printf(“The number of the ladders is：%d\n”,x); }
5．程序运行结果： The number of the ladders is：119
பைடு நூலகம்

蓝桥杯模拟题台阶方案

蓝桥杯模拟题台阶方案题目：有一个台阶，总共有10级。

小明每次可以选择跨1级台阶、2级台阶或者3级台阶。

请问小明登上这10级台阶共有多少种不同的方案？（例如：跨10次1级台阶是一种方案；先跨3级，再跨3级，再跨2级，再跨2级是一种方案）解析：这是一道典型的动态规划问题。

1. 定义状态。

设f(n)表示登上n级台阶的不同方案数。

2. 确定边界条件。

当n = 0时，有一种方案（即什么都不做，已经在台阶顶了，这可以看作一种特殊的初始情况），所以f(0)=1。

当n = 1时，只能每次跨1级台阶，有一种方案，f(1)=1。

当n = 2时，可以一次跨2级，或者分两次每次跨1级，共两种方案，f(2) = 2。

当n = 3时，可以一次跨3级，或者先跨1级再跨2级，或者先跨2级再跨1级，或者分三次每次跨1级，共f(3)=4种方案。

3. 状态转移方程。

对于n>3，f(n)=f(n 1)+f(n 2)+f(n 3)。

这是因为到达第n级台阶的最后一步可以是从n 1级跨1级上来的（方案数为f(n 1)），也可以是从n 2级跨2级上来的（方案数为f(n 2)），还可以是从n 3级跨3级上来的（方案数为f(n 3)）。

4. 计算f(10)根据上述状态转移方程依次计算：f(4)=f(3)+f(2)+f(1)=4 + 2+1=7f(5)=f(4)+f(3)+f(2)=7+4 + 2=13f(6)=f(5)+f(4)+f(3)=13 + 7+4=24f(7)=f(6)+f(5)+f(4)=24+13 + 7=44f(8)=f(7)+f(6)+f(5)=44+24 + 13=81f(9)=f(8)+f(7)+f(6)=81+44 + 24=149f(10)=f(9)+f(8)+f(7)=149+81+44 = 274所以小明登上这10级台阶共有274种不同的方案。

数学阶梯问题

数学阶梯问题阶梯问题是一种基础的数学难题，需要我们掌握基本的数学知识，比如等差数列，算术平均数，几何平均数等等。

在此非常荣幸能够为大家讲解阶梯问题的解决方法及其实际应用。

首先，什么是阶梯问题呢？在数学上，阶梯问题是指一组数排列成阶梯形式，其中每个数与它的相邻数的差都相同。

例如，一个简单的阶梯数列可能是1，5，9，13，17……，其中每一对相邻数的差都是4。

而解决这种问题的关键在于找到每个数之间的规律性。

接下来我们来探讨如何解决阶梯问题。

首先，我们需要确定差值，即相邻两项之间的差值。

这个差值被称为公差，通常用字母d表示。

对于任意的阶梯数列，公差的数值都是相等的。

例如，对于上述的例子，公差是4。

我们可以通过相邻两项的差值来计算公差，即：d = a(n) - a(n-1)其中a(n)表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第n-1项，d 表示公差。

有了公差，我们就可以利用以下公式推导出阶梯数列中任意一项的数值：a(n) = a(1) + (n-1)*d其中a(n)表示数列中的第n项，a(1)表示数列中的第一项，n表示数列中第n项的位置，d表示公差。

通过这个公式，我们可以计算出阶梯数列中任意一项的值。

这对于解决阶梯问题非常有用。

比如说，如果我们知道数列的首项和公差，那么我们就可以轻松地计算任意项的数值。

举例来说，假设我们有一个阶梯数列：3，7，11，15，19……，公差是4。

我们想计算第8项的数值。

根据上面的公式，我们可以得出：a(8) = a(1) + (8-1)*da(8) = 3 + 7*4a(8) = 31因此，第8项的数值是31。

这个解法非常简单，只需要将两个已知的量带入公式进行计算即可。

除了计算每个数值之外，阶梯问题还可以用于解决其他类型的问题。

比如，我们可以根据阶梯数列求出该数列的平均值。

这个平均值通常指的是算术平均数或者几何平均数。

算术平均数是数列中所有数值的总和再除以整个数列的项数。

数学建模阶梯电价

阶梯电价的效用分析问题摘要阶梯电价是指把户均用电量设置为若干个阶梯分段或分档次定价计算费用。

对居民用电实行阶梯式递增电价可以提高能源效率。

本文选择湖北省为参考对象对问题进行研究。

针对问题一，本文先把实施阶梯电价前后的电费用函数表达式表达，然后作出函数图像，根据曲线的走势，得出改革前后的变化情况：当居民用电量较低时，即用电量小于第一阶梯时，阶梯电价的实施对大多数居民的影响很小；当居民用电量较高时，用户的用电支出比阶梯电价出台时要高，随着用电量的增加，电费也相应的增加，且电量越多，电价增长的越高。

故用电量越大，电价越高，阶梯电价对居民的用电支出的影响越大，这符合阶梯电价“多用者多付”的机制相符，适合社会发展需求。

针对问题二，本文建立湖北省年人均用电量与人均支出费用的相关系数函数，再由matlab软件画出其相互关系函数图，得出人年均电量与人均支出的相关系r ，可以看出其两者相关性很高，再把不同收入等级的居民的平均可数0.8149支配收入、用电量情况及对电费的承受能力进行对比分析，得出第二档灵敏度最高，影响程度最高。

针对问题三，本文通过效用函数，来表示弹性需求对消费支出的影响。

在数据的分析中，把电费支出占居民家庭收入的比值来计算，把用电费用改革波动大小作为衡量对居民生活费用的影响程度。

用积分解释楼梯的问题

用积分解释楼梯的问题
我们可以用积分来解释楼梯的问题。

设楼梯的高度为H，楼梯的长度为L，楼梯的宽度为W。

首先，我们可以将楼梯视为一个直角三角形的斜边，斜边的长度就是楼梯的高度H。

我们可以将楼梯的斜边划分为无穷多个小的长度为dx的线段。

然后，我们将每个小的线段的长度dx表示为一元函数f(x)。

我们可以将每个小线段等效为一根长度为dx、宽度为W、高度为f(x)的长方体。

这个长方体的体积就是dx × W × f(x)。

接下来，我们可以将所有的小长方体组成的总体积表示成一个积分。

因此，楼梯的体积V可以表示为：
V = ∫[0,L] f(x) × W dx
其中，∫ 表示积分操作，[0,L] 表示对x从0到L的区间进行积分。

通过对这个积分进行计算，我们可以得到楼梯的体积V，从而解决了楼梯的问题。

数学建模基础问题梯子长度问题（含程序和数据）

梯子最短长度问题的优化模型摘要本文建立了一个关于当存在紧靠墙壁的长方体障碍物时，如何确定靠墙梯子最短长度问题的优化模型。

本文首先将梯子问题抽象成一个几何问题：在xy平面上，过定点（2,3）的直线l被x轴、y轴所截的线段最小长度。

即：直线l以点()3,2为轴，从与x轴平行顺时针旋转到与x轴垂直的过程中，被x轴、y轴所截的线段最小长度。

模型I，模型II分别应用直角三角形边角关系原理和相似三角形相关边成比例原理，以直线l与x轴夹角和直线l与x轴交点与点()0,2的距离为变量建立了求单变量最小化的数学模型。

应用牛顿迭代法中的三等分点搜索法对模型I，模型II进行求解，并同时对模型I，模型II的函数是单峰函数给出了证明。

模型I和模型II的求解结果是：7的梯子会碰坏温室顶棚；当梯子与地面的夹角为0.8528rad，梯子在地面的长度为m落脚点与温室水平直线距离为2.6207m时，所需梯子长度最短，最短长度7.0235m。

模型III应用同线向量斜率原理，以直线l与x轴、y轴交点距原点距离为变量，建立了一个二元变量有约束非线性最优化模型。

应用序列二次规划法()SQT对模型III进行求解：当梯子在地面的落脚点距离楼房的水平直线距离为4.6207m，梯子靠墙处与温室地面的直线距离为6.5162m时，所需梯子长度最短，最短长度为7.0235m。

三个模型的求解结果是一致的且当梯子取最短长度时，各变量的取值互不矛盾。

关键字：单变量最小化二元变量有约束非线性最优化牛顿迭代法一、问题的重述与分析在一栋楼的后面有一个很大的花园，在花园的边上有一个紧靠着楼房的温室，温室伸入花园2米，高3米，在温室的正上方是楼房的窗台，现有一架7米的梯子，我们能否将这架梯子的一端放在花园中，另一端靠在楼房的墙上，使得梯子不碰坏温室棚？若否，问题梯子至少应为多长？我们所关心的是：如何使梯子长度最小，以何种函数形式表示出梯子长度L。

从左视图观察我们可以把问题抽象为一个几何问题（如图1）：在xy平面上，过定点（2,3）的直线l被x轴、y轴所截的线段最小长度。

N阶台阶问题（详解）

N阶台阶问题（详解）原创问题描述：有N阶台阶，每⼀步可以⾛1步台阶或者2步台阶，求出⾛到第N阶台阶的⽅法数。

解题思路：1. 类似于建⽴树的过程 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 …….. ........ 如上，建⽴⼀棵根节点为1和⼀棵根节点为2的⼆叉树，分别表⽰台阶第⼀步跨1步和跨2步，第⼆层各有两种选择，分别是跨1步和2步，接下来的每⼀层都有这两种选择，如何跨越的阶数等于N，计数变量+1，如果⼤于N，返回继续⾛其他路径。

(由于n到45左右时数据已经爆炸，这种暴⼒递归法在n较⼤时系统出不来数据了)1 #include<stdio.h>23int count; //计数变量45void sos(int n,int step)6 {7if(step>n) //⼤于n，这种⽅法不⾏8return;9if(step==n)10 {11 count++;12return;13 }1415 sos(n,step+1); //树116 sos(n,step+2); //树217 }1819int main()20 {21int n;22 scanf("%d",&n); //n阶台阶2324 sos(n,0);25 printf("%d",count);26return0;27 } 2. 动态规划法有⼀个规律：　F（n）= F（n-1）+ F（n-2）； F（n）表⽰当有n阶台阶时有F（n）种⽅法；⽐如F（1）= 1；F（2）= 2；F（3）= F（1）+ F（2）= 3；下⾯我⽤我的思路尽可能让⼤家理解这个公式： 1.　可以这样想，需要跨越n层阶梯，那么第⼀步我跨1层阶梯，那么剩下n-1层阶梯，跨越这n-1阶台阶的⽅法就有F（n-1）⽅法；同理，第⼀步跨2层阶梯，那么跨越剩下的n-2层阶梯就有F（n-2）种⽅法。

台阶问题算法

台阶问题算法
台阶问题是指一个人每次可以走1级台阶或2级台阶，问该人走上n级台阶有多少种走法。

这个问题可以用递归方法求解，即f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)表示走上n级台阶的走法数量。

当n=1时，f(n)=1；当n=2时，f(n)=2。

可以用递归函数来计算f(n)：
```
int climbStairs(int n) {
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
}
```
但是这种方法会重复计算很多次，导致时间复杂度高，效率低下。

因此可以用动态规划的方法来优化。

设dp[i]表示走上i级台阶的走法数量，那么有dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。

初始值为dp[0]=1，dp[1]=1。

可以用循环来计算dp数组：
```
int climbStairs(int n) {
vector<int> dp(n+1, 0);
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}
```
这种方法只需要计算一次，时间复杂度为O(n)，效率更高。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：日期： 2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由.赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：阶梯电价问题摘要阶梯问题共分为三问：问题一：保证80%的居民家庭电价平稳。

对北京市进行研究，通过查找相关信息现在居民用电即为2760度，而当阶梯电价改革后，草案一即以80%的居民用电量为第一档的标准电价，草案二的用电标准高于草案一第一档的用电量。

所以，能够保证80%的居民用电平衡。

问题二：评判一个好电价。

我们用五个因素进行论证：一.与现在相比，阶梯电价对居民的用电支出影响大小。

以北京市的阶梯电价进行研究，我们通过对现在的电价标准与阶梯电价进行比较得出表格。

利用excel画出饼图。

同时我们利用一家庭进行举例说明，得出结论。

二.阶梯电价与地区经济发展的关系。

通过利用GDP，恩格尔系数作为经济水平的指标。

利用EXCEL画出电量与两指标和年份的曲线图，同时利用SPSS的Bivariate过程用电量和两个指标进行相关性检验，得出阶梯电价与地区经济发展水平成正相关。

数学阶梯问题

数学阶梯问题标题：数学阶梯问题摘要：数学阶梯问题是一种常见的数学谜题，通常描述为一条阶梯，其高度逐渐减小，每一级的高度相等。

问题的目标是找出一条路径，使得从第一级到第十级的所有级都可以通过这条路径到达。

本文将介绍一些常见的解法和数学原理。

正文:数学阶梯问题是一种常见的数学谜题，通常描述为一条阶梯，其高度逐渐减小，每一级的高度相等。

问题的目标是找出一条路径，使得从第一级到第十级的所有级都可以通过这条路径到达。

本文将介绍一些常见的解法和数学原理。

一种常见的解法是使用代数方法。

我们可以将问题转化为一个方程，即 $10x=h$,其中 $x$ 表示到达第十级所需的步数，$h$ 表示阶梯的总高度。

我们的目标是找到一个 $x$ 的值，使得等式成立。

我们可以通过解这个方程来求得 $x$ 的值，然后根据这个值来计算到达每一级的步数。

另一种常见的解法是使用图形方法。

我们可以将阶梯问题看作是一个二维图形的问题，即一个带有高度信息的二维平面。

我们可以绘制这个平面上的所有的点，然后找到一条路径，使得这条路径穿过所有的点，并且路径的长度最小。

这种方法通常可以使用 Dijkstra 算法来实现。

数学阶梯问题还可以使用一些数学原理来解决。

例如，我们可以使用斐波那契数列来计算到达每一级的步数。

另外，我们可以通过分析阶梯的问题，来介绍一些基本的图论知识和算法，例如最小生成树和最短路径算法等。

拓展:除了以上介绍的解法和数学原理外，还有许多其他的解法和数学原理可以用来解决数学阶梯问题。

例如，我们可以通过构建一个二次函数，来求解到达每一级的步数。

另外，我们还可以使用分治算法来解决这个问题，即将问题分成若干个子问题，然后分别解决这些子问题，最终得到整个问题的解。

数学阶梯问题还可以应用在许多其他的领域，例如程序设计、网络优化和物理模拟等。

因此，数学阶梯问题不仅是一种有趣的数学谜题，也是一种有用的数学工具。

2015MATLAB-09A-梯子问题ppt

绘图效果（最短）
x=atan((b / a) ^ (1 / 3)); x_max=x/(2 * 3.1415926) * 360; fprintf('梯子最短要：%4.2f米，你的梯子够长。成%4.2f度时！', c_min,x_max); %%------------------------------------------绘图 figure1 = figure('PaperPosition',[0 0 30 30],'PaperSize',[30 30]); %% Create axes axes1 = axes('PlotBoxAspectRatio',[30 30 1],'Parent',figure1); axis(axes1,[0 30 0 30]); box(axes1,'on'); hold(axes1,'all'); grid on; %%------------------------------------------矩形 rectangle('Position',[0, 0, 5, 30],'FaceColor',[0.1686 0.5059 0.3373]) rectangle('Position',[5, 0, a, b],'FaceColor',[0.3686 0.0001 0.0001]) %%------------------------------------------线，角度最大时的梯子效果（紧贴着玻璃房顶角） %%x轴要多加5，楼房厚度 line([5 5+a+b/tan(x)],[b+a*tan(x) 0], 'Color',[1 0 0]);

【LeetCode刷题】爬楼梯问题

【LeetCode刷题】爬楼梯问题摘要假设你正在爬楼梯，需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶，你有多少种不同的⽅法可以爬到楼顶呢？解决⽅案⽅法⼀：暴⼒法算法在暴⼒法中，我们将会把所有可能爬的阶数进⾏组合，也就是 1 和 2 。

⽽在每⼀步中我们都会继续调⽤ climbStairsclimbStairs 这个函数模拟爬 11 阶和 22 阶的情形，并返回两个函数的返回值之和。

climbStairs(i,n)=(i + 1, n) + climbStairs(i + 2, n)climbStairs(i,n)=(i+1,n)+climbStairs(i+2,n)其中 ii 定义了当前阶数，⽽ nn 定义了⽬标阶数。

Javapublic class Solution {public int climbStairs(int n) {climb_Stairs(0, n);}public int climb_Stairs(int i, int n) {if (i > n) {return 0;}if (i == n) {return 1;}return climb_Stairs(i + 1, n) + climb_Stairs(i + 2, n);}}复杂度分析时间复杂度：O(2^n)O(2n)，树形递归的⼤⼩为 2^n2n。

在 n = 5 时的递归树将是这样的：空间复杂度：O(n)O(n)，递归树的深度可以达到 nn 。

⽅法⼆：记忆化递归算法在上⼀种⽅法中，我们计算每⼀步的结果时出现了冗余。

另⼀种思路是，我们可以把每⼀步的结果存储在 memomemo 数组之中，每当函数再次被调⽤，我们就直接从 memomemo 数组返回结果。

在 memomemo 数组的帮助下，我们得到了⼀个修复的递归树，其⼤⼩减少到 nn。

Javapublic class Solution {public int climbStairs(int n) {int memo[] = new int[n + 1];return climb_Stairs(0, n, memo);}public int climb_Stairs(int i, int n, int memo[]) {if (i > n) {return 0;}if (i == n) {return 1;}if (memo[i] > 0) {return memo[i];}memo[i] = climb_Stairs(i + 1, n, memo) + climb_Stairs(i + 2, n, memo);return memo[i];}}复杂度分析时间复杂度：O(n)O(n)，树形递归的⼤⼩可以达到 nn。

数学建模台阶问题

台阶设计中的建模分析一．问题的提出台阶，楼梯是我们日常生活中常见的，天天行走的建筑结构，良好的台阶设计不仅可以节省上楼时间，也可最大限度的减少体力消耗。

然而，不合理的设计会使人们上楼时既费时又费力，甚至还会发生危险。

所以我们不禁要问，怎样设计台阶长度宽度比才能达到最优呢？(下文主要针对上楼过程给出讨论，下楼的讨论在最后涉及)作为解决问题的第一步，我们首先来证明这个最佳设计的存在性，下面两张图为两种不同类型的台阶保持总高度，台阶宽度，体力消耗一定时令台阶高度h充分小，则台阶数目会充分大，最终上楼时间t趋于无穷。

因此我们是不会去登此楼梯的。

再令h充分大，而人腿运动能力是有限的，由于每一步做功的增加势必会造成登楼时间的集聚增长，这种h我们同样无法接受。

由于各种状态的连续变化，我们就可以断定，存在这样一个h，使得t最小。

同理，台阶长度r很小时，人无法站稳，r充分大时，时间t趋于无穷。

所以我们便有充足理由相信最优的r，h皆存在。

分析到这里只是依赖于感性的认识与几何的直观，下面我们将用数学的观点给出尽可能合理的解答。

二．问题的分析符号表示：M 人体质量g 重力加速度l 人的小腿长度v 人的正常行走速度F 上楼过程中腿部力量H 楼梯总体高度h 台阶高度r 台阶长度P 人体登上高度H的楼梯时最舒适的输出功率C 人的脚长要细致而全面的分析此问题，可以将人登楼的全过程分解处理，将上楼的每一步设为一个单元，那么可以粗略的绘制出人体运动过程的简图。

并考虑到上楼是个非常复杂的人体动力学过程，为了抓住主要矛盾并简化问题，一些人为的假设将是必要的。

模型的假设：1，人每走一步脚的前端接触到B点。

2，人的所有重量可以看成质点并集中在O（与集中在N是等价的），其他部位没有重量3，每一步迈出同样的距离（台阶宽），并且连续前进。

4，人体上升的力量全部来自支撑腿的力F，F与h有关且在h取定的情况下F 大小不变且始终保持ON方向。

5，上台阶过程做功只在DN段，并且人总是以所谓最舒适的感觉（P恒定）上楼。

数学建模梯子长度问题

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分析讨论
令 S = pq, 则 S = q(a − q sin x)secx + q(b − q cosx) cscx
∂S ∂q = 0 令 ∂S = 0 ∂x
ab q = 2 2 a +b p = a2 + b2
p = (a − q sin x )sec x + (b − q cos x )csc x
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参考文献：谢芸荪数学实验科+ L( x ) = cos x sin x L' ( x ) = 0
b x = arctan , a
3
Lmin = a + 3 b
3 2
(
3 2 2
)
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问题的推广
‟ 问题问题:
在医院的外科手术室,往往需要在医院的外科手术室往往需要将病人安置到活动病床上,沿走廊将病人安置到活动病床上沿走廊推到手术室或送回病房.然而有的推到手术室或送回病房然而有的医院走廊较窄,病床必须沿过道推医院走廊较窄病床必须沿过道推过直角拐角(如图所示如图所示). 过直角拐角如图所示设标准病床长2米宽米设标准病床长米,宽1米，拐弯前的过道宽1.5米前的过道宽米，拐弯后的过道宽 1.2米，问标准的病床能否安适米的推过拐角? 的推过拐角
梯子长度问题
问题
如图所示,在一棟楼房的后如图所示在一棟楼房的后面有一个很大的花园,在花面有一个很大的花园在花园的边上有一个紧靠着楼房的温室,温室伸入花园温室伸入花园2 房的温室温室伸入花园米,高3米,在温室的正上方高米在温室的正上方是楼房的窗台,现有一架现有一架7 是楼房的窗台现有一架米长的梯子,我们能否将这米长的梯子我们能否将这架梯子的一端放在花园中, 架梯子的一端放在花园中另一端靠在楼房的墙上,使另一端靠在楼房的墙上使得梯子不碰坏温室棚?若否若否, 得梯子不碰坏温室棚若否问梯子至少应为多长? 问梯子至少应为多长

学生建模报告：阶梯教室座位问题2

建模论文——最优教室坐位选择问题梁婷20031090001吕荣20031090003史蓉200310900052006年5月12日摘要:为了求出一个教室中的最佳上课位置,我们根据有效视角的相关资料，通过实地测量,得到一些主要数据,例如屏幕上边缘到地面的高度,屏幕的高度等等,然后运用几何方法构造出一个目标函数,使之成为一个多目标规划问题，最终将其转化为一个非线性规划问题,通过数学软件计算出一系列可行解,即一个教室中的最佳上课位置.关键词:有效视角仰角多目标规划最优教室坐位选择问题一问题的背景在每一栋教学楼中都会有一些普通的大教室和阶梯教室,它们都备有多媒体设备，我想每个同学应该都曾在这两种教室中上过课。

随着科学技术水平的发展,许多课程都开始使用多媒体技术上课.然而,在这两种教室里,由于教室面积较大，而教室前方的投影较小，所以坐在边缘和后排的学生和坐在中间的学生所能获得的收获往往是不一样的。

为了提升自己的听课效果，很多同学会提前来到教室，打算在上课前就占到一个好的座位，以便更好地看到投影上的内容。

大家都想在上课时能坐在一个好的位置听课，那怎么样才算一个视角好是座位呢？现在我们就来讨论一下在以多媒体技术上课时我们该选择一个怎样的座位，才能获得最好的视觉效果.二相关资料根据资料显示：有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平180°，垂直90°。

观影时的视角是同学眼睛到黑板上、下边缘视线的夹角。

经医学实验得知：10°以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。

20°以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。

20°～30°，虽然视力及色辨别能力开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。

但是听课时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角指观众眼睛到黑板上边缘视线与水平线的夹角。

爬楼梯问题的解题技巧

爬楼梯问题的解题技巧
爬楼梯问题的解题技巧如下，供参考：
1. 确定问题类型
首先，要明确问题是关于“每次只能爬1级楼梯”还是“每次可以爬1级或2级楼梯”。

问题类型的确定对于后续的解题思路至关重要。

2. 理解楼梯模型
将楼梯看作一个连续的整体，每步爬升的单位是1或2。

如果一个人只能爬1级，那么爬n 级的方法数就是n；如果可以选择爬1级或2级，则考虑所有可能的组合方式。

3. 数理逻辑分析
利用数学逻辑，针对不同的楼梯模型，我们可以推导出递推关系式。

例如，如果可以选择爬1级或2级，则有f(n)=f(n-1)+f(n-2)。

通过该递推关系，可以找出问题的数学模型。

4. 总结规律
通过分析大量的数据，我们可以总结出一些规律。

例如，对于每次可以选择爬1级或2级的情况，其结果呈现出明显的几何特性。

在确定了解题模型之后，可以尝试寻找更高效的算法来求解问题。

5. 验证答案
最后，我们需要验证所得答案的正确性。

可以通过编程实现算法，并输出每步的计算过程，以此来核对最终的答案是否准确。

此外，还可以与他人的解法进行比较，看是否有出入。

以上是解决爬楼梯问题的主要解题技巧。

通过对问题类型的识别、楼梯模型的构建、数理逻辑的分析、规律的总结以及答案的验证，我们可以更加高效地解决这类问题。

阶梯电价数学建模

阶梯电价建模论文摘要2012年3月28日, 中国国家发展和改革委员会确认, 居民阶梯电价在将今年上半年推出。

居民阶梯电价的改革, 体现了资源性产品价格的市场化改革的方向, 体现了节能减排的总体要求和根据收入分配适当调控的总体原则。

本文选取2010年上海市为例，采集来自上海统计局和网络上的相关数据，建立数学模型并对阶梯电价的若干问题进行了分析、解答和评价。

问题分为三个部分。

对于问题一，只要能保证80%居民家庭在施行阶梯电价前后每度电的平均价格一致即可。

为此，我们先用灰色预测方法求出，80%的家庭年用电量占总数的比例，求出这部分家庭总用电量。

从而80%的家庭每户每年的总用电量=80%的家庭年总用电量/（0.8×家庭总户数），然后分别按照各种方案即可算出每户每年的总电费P，最后可求得平均电价=P/。

比较各种方案下算得的电价与原来的电价，表明方案一和方案三算得的平均电价都为0.619更接近于原来的电价0.617；而方案二则为0.627，较之原来有0.01的上涨，但上涨幅度很小。

因此可以认为三种方案的电价能够保证80%居民家庭的电价保持平稳。

问题二要讨论怎样的电价才是一个"好"的电价，我们从对居民用电支出的影响、与地区经济发展水平的关系、实施的年限等几个方面来讨论。

我们首先求出各个方案下，用电支出与用电量的函数关系，再用Matlab绘图出相应的图像，可以较为直观的看出每种方案的实施对居民电费支出的影响。

然后用excel将不同城市的GDP、CPI、恩格尔系数和第一档电量绘制到同一张图里。

可以看出经济发展越好的地区其第一档电量越高，同时，考虑不同省市的积极发展不均衡，城市居民收入与支出的不平等，可以看出经济发展越好的地区其第一档电价一般也越高。

最后我们计算方案可以施行的年限，只要能预测出未来每年80%的居民用电总量和未来每年家庭总数，即可预测出未来每年80%的居民家庭每户每年的用电量。