3.7-数值计算方法教案-曲线拟合与函数逼近
数值分析 董玉林第三章 函数逼近与曲线拟合
3、交错点组
定义4
若函数 f x 在其定义域的某一区间 a,b
上存在 n 个点 xk | k 1, 2,..., n, 使得
1 f xk max f x
f x k 1, 2,..., n; ,
2 f xk f xk1 , k 1, 2,..., n 1;
则称点集 xk | k 1, 2,..., n 为函数 f x 在区间
为 f x 与 Pn x 在a,b 上的偏差。
. 注：显然 f , Pn 0, f , Pn 的全体组成一个集合， 它有下界0
若记集合的下确界为
En inf f , Pn inf max f x Pn x
Pn H n
Pn H n a x b
则称 En 为f x 在 a,b 上的最小偏差。
二、函数逼近问题的一般提法
对于函数类 A 中给定的函数 f ，x 要求在另一类 较简单的且便于计算的函数类 B中寻A找一个函
数 ，使P x与 之P差 x在 某f种x度量意义下最小。
注：本章中所研究的函数类 A通常为区间 a上,b的 连续函数，记做 ; C而a函,b数 类 通常是代B数多
项式或三角多项式。
四、一致逼近的概念
定义1 设函数 f 是x区间 上a,b的 连续函数，对于任意给定
的 ，如果存在多项式 P，使x不等式
f x Px
成立，则称多项式 P 在x区间 上a,一b致逼近于函数 。f x
五、一致逼近多项式的存在性
定理 1（维尔斯特拉斯定理） 若f (x)是区间[a, b]上的连续函数，则对于任意给定的
➢ 切比雪夫多项式的极值性质 Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。
➢ 在区间[-1,1]上，在所有首项系数为1的n次多项式 pn x
3.7-数值计算方法教案-曲线拟合与函数逼近
第三章 插值法与最小二乘法3.7 最小二乘法一、教学目标及基本要求通过对本节课的学习，使学生掌握数值逼近的拟合方法。
二、教学内容及学时分配本章主要介绍数值分析的最小二乘法。
具体内容如下：曲线拟合原理，最小二乘法。
三、教学重点难点1．教学重点：曲线拟合。
2. 教学难点：最小二乘法。
四、教学中应注意的问题多媒体课堂教学为主。
适当提问，加深学生对概念的理解。
一．曲线拟合 1.问题提出：已知多组数据(),,1,2,,i i x y i N =L ，由此预测函数()y f x =的表达式。
数据特点：（1）点数较多。
（2）所给数据存在误差。
解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。
2.直线拟合的概念 设直线方程为y=a+bx 。
则残差为：ˆi i i e y y=-,1,2,,i N =L ，其中ˆi i y a bx =+。
残差i e 是衡量拟合好坏的重要标志。
可以用MATLAB 软件绘制残差的概念。
x=1:6;y=[3,4.5,8,10,16,20];p=polyfit(x,y,1); xi=0:0.01:7; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y, 'o');y1=polyval(p,x); hold on for i=1:6plot([i,i],[y(i),y1(i)], 'r');end可以绘制出如下图形：三个准则： （1）max i e 最小 （2）1ni i e =∑最小（3）21N i i e =∑最小3.最小二乘法的直线拟合问题：对于给定的数据点(),,1,2,,i i x y i N =L ，求一次多项式y=a+bx ，使得总误差Q 最小。
其中()2211NNi i i i i Q e y a bx ====-+⎡⎤⎣⎦∑∑。
根据0,0.Q Qa b∂∂==∂∂ 22221222Ni i i i i i i Q y a b x y a y x b x ab =⎡⎤=++--+⎣⎦∑[]()12222Ni i i i i Q a y x b Na y b x a =∂=-+=-+∂∑∑∑ ()2212222N i i i i i i i i i Q bx y x x a b x x y a x b =∂⎡⎤=-+=-+⎣⎦∂∑∑∑∑ 故有以下方程组（正则方程）：2i iii i i aN b x y a x b x x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 例1.给定数据表，求最小二乘拟合一次多项式解：N=5，51i i x =∑=702，51i i y =∑=758，521i i x =∑=99864，51i i i x y =∑=108396。
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用正交函数做最佳平方逼近(返回)
最佳平方逼近多项式(例题)
最佳平方逼近多项式例题(返回)
线性模型例题(返回)
线性模型图例(返回)
指数模型例题(返回)
指数模型图例(返回)
双曲模型图例(返回)
S-曲线模型图例(返回)
§3.6最佳平方三角逼近与FFT(返回)
最佳平方三角逼近 三角二乘拟合及插值 离散傅立叶变换 迅速傅立叶变换(FFT)
最佳平方三角逼近(返回)
离散傅立叶变换(返回)
迅速傅立叶变换(FFT)(返回)
§3.7 有理逼近(返回)
有理逼近及其计算 用Taylor展式求连分式 帕德(Padé)逼近
有理逼近及其计算(返回)
用Taylor展式求连分式(返回)
帕德(Padé)逼近(例题)
Padé逼近例题(继续)
Padé逼近例题
TT11
T2
偏差与偏差点(返回)
最佳一致逼近多项式(返回)
切比雪夫定理(返回)
最佳一致逼近 多项式旳构造(例题)
切比雪夫多项式 与零旳偏差(定理)
最佳一致逼近例题(继续)
最佳一致逼近例题(返回)
最佳一次逼近多项式(例题)
最佳一次逼近多项式图示(返回)
y
f (x)
P1 ( x)
E1
a
Chebyshev多项式(性质)
Chebyshev多项式性质
Chebyshev多项式 与幂基旳转换(返回)
其他正交多项式(返回)
Weierstrass定理图示(定理)
N=2150
Legendre多项式图示(返回)
P0
PP3
P1 P2
Chebyshev多项式图示(返回)
函数逼近与曲线拟合省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
最惯用度量标准：
(一) 一致迫近
计 以函数f (x)和p (x)最大误差：
算
max f (x) p(x)
方
x[ a ,b ]
法 作为度量误差 f (x) － p (x) “大小”标准
课 件
在这种意义下函数迫近称为一致迫近或均匀迫近
(二) 平方迫近：
采取
b
[
f
(x)
p( x)]2 dx
a
作为度量误差“大小”标准函数迫近称为平方迫 近或均方迫近。
法
i0
课 从而有
件
a1
(xP1, P1) (P1, P1)
0.5
,
b1
(P1, (P0 ,
P1 ) P0 )
0.125
,
P2 (x) (x a1)P1(x) b1P0 (x) (x 0.5)2 0.125
17/81
连续区间上正交多项式
计
连续区间上正交多项式概念与离散点集上
算 正交多项式概念相同，只要将内积定义作对
当i j,且i, j 1； 当i j 0
（3） (sin ix,cos jx) 0, i, j 1,2,,n
（4）（1，1） dx 2 ； (1,sin ix) 0,(1,cos ix) 0, i 1,, n。
23/81
完全类似于离散情况下正交多项式结构方法,连续区间
上正交多项式序列一样能够由递推公式(4)和(5)结构,其
方
法 课
则x1,…,xn称为空间S一组基, 记为S=span{x1,…,xn},并称
件 空间S为n维空间，系数a1,…,an为x在基x1,…,xn下坐标
，记作(a1,…,an)，假如S中有没有限多个线性无关元素
数值分析 第3章 函数逼近与曲线拟合)
在[a, b]上一致成立 。
定理：设X为一个内积空间,u1,u2,…,un∈X,矩阵
(u1, u1) (u2 , u1)
G
(u1, u2
(u1, un
) )
(u2 , u2 )
(u2 , un )
(un , u1)
(un , u2 )
(un
, un
)
称为格拉姆矩阵,则G非奇异的充分必要条件是 u1,u2,…,un线性无关 。
n1(x) (x an )n (x) n n1(x)
(n 0,1,...)
其中 0 (x) 1, －1(x) 0, n (xn (x),n (x)) /(n (x),n (x)), n (n (x),n (x)) /(n1(x),(n1(x))
(n 1,2,.....)
并且(
中找一个元素 * (x) 使 f (x) *(x) 在某种意义下
最小.
3、 范数的定义
设S为线性空间,x∈S,若存在唯一实数 || || 满足条件：
(1)‖x‖≥0;当且仅当x＝0时,‖x‖＝0; (正定性)
(2)‖αx‖＝|α|‖x‖,α∈R; (齐次性)
(3)‖x＋y‖≤‖x‖＋‖y‖,x,y∈S. (三角不等式)
类较简单的便于计算的函数类B中，求函数 P(x) B , 使P(x)与f(x)
之差在某种度量意义下最小” . 函数类A通常是区间[a，b]上的连续 函数，记作C[a，b]；函数类B通常是代数多项式，分式有理函数或 三角多项式．
2、函数空间 数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予
集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间.
1 2n n!
dn dxn
{(
函数逼近与曲线拟合
西安科技大学《数值分析》实验报告题目：函数逼近与曲线拟合院系（部）：计算机科学与技术学院专业及班级：姓名：学号日期：2019/11/11一、实验名称函数逼近与曲线拟合二、实验目的及要求实验目的：⑴学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。
实验要求：⑴编写程序用最小二乘法求拟合数据的多项式，并求平方误差，做出离散函数（）和拟合函数的图形；⑵用MATLAB的内部函数polyfit求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB的内部函数plot作出其图形，并与（1）结果进行比较。
三、实验中的算法描述1.设拟合多项式为：2.给点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和：3.为了求得到符合条件的a的值，对等式右边求偏导数，因而我们得到了：4.将等式左边进行一次简化，然后应该可以得到下面的等式5.把这些等式表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=====+==+====n i i n i n i i k n i k i ni k ini k i n i k i ni in i ini k ini iy y y a a x xx x xxx x 11i 110121111112111a n6. 将这个范德蒙得矩阵化简后得到⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k n n k k y y y a a a x x x x x x 21102211111 7.因为Y A X =*,那么X Y A /=,计算得到系数矩阵，同时就得到了拟合曲线。
四、课程设计内容⑴实验环境：MATLAB2010b⑵实验内容：给定的数据点（ ）1) 用最小二乘法求拟合数据的多项式； 2) 用MATLAB 内部函数polyfit 函数进行拟合。
数值分析实验报告--实验3--函数逼近与曲线拟合
数值分析实验三：函数逼近与曲线拟合1曲线逼近方法的比较1.1问题描述曲线的拟合和插值，是逼近函数的基本方法，每种方法具有各自的特点和特定的适用范围，实际工作中合理选择方法是重要的。
考虑实验2.1中的著名问题。
下面的MATLAB程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。
x=-1:0.2:1;y=1./(1+25*x.*x);xx=-1:0.02:1;p2=polyfit(x,y,2);yy=polyval(p2,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);hold on;p3=polyfit(x,y,3);yy=polyval(p3,xx);plot(x,y,’o’,xx,yy);hold off;实验要求：(1) 将拟合的结果与拉格朗日插值及样条插值的结果比较。
(2) 归纳总结数值实验结果，试定性地说明函数逼近各种方法的适用范围，及实际应用中选择方法应注意的问题。
1.2算法设计对于曲线拟合，这里主要使用了多项式拟合，使用Matlab的polyfit函数，可以根据需要选用不同的拟合次数。
然后将拟合的结果和插值法进行比较即可。
本实验的算法比较简单，此处不再详述，可以参见给出的Matlab脚本文件。
1.3实验结果1.3.1多项式拟合1.3.1.1多项式拟合函数polyfit和拟合次数N的关系1 / 13首先使用polyfit函数对f(x)进行拟合。
为了便于和实验2.1相比较，这里采取相同的参数，即将拟合区间[-1,1]等分为10段，使用每一段区间端点作为拟合的数据点。
分别画出拟合多项式的次数N=2、3、4、6、8、10时，f(x)和多项式函数的图像，如图1所示。
Matlab 脚本文件为Experiment3_1_1.m。
Figure 1 多项式拟合与拟合次数N的关系可以看出，拟合次数N=2和3时，拟合效果很差。
增大拟合次数，N=4、6、8时，拟合效果有明显提高，但是N太大时，在区间两端附近会出现和高次拉格朗日插值函数类似的龙格现象。
曲线拟合和函数逼近
在本例中记 Q(a, b) 求极值的思想，则需满足
2 ，要求 a , b 使 Q (a, b) 最小。根据 r ( ax b y ) i i i 2 i 0 i 0
3
3
Q(a, b) 12a 4b 28.2 0 a Q(a, b) 4a 8b 16.4 0 b
2 5.1
如何建立 x 与 y 之间的关系？
观察得知两个变量之间大约成线性关系，我们就用直线方程 来描述，设 P 1 ( x) ax b ，如何来确定系数 a , b ?
a b 0.9 0 a b 1 若将系数直接代入方程 P ，则有 1 ( x) ax b a b 3 2a b 5.1
a x b
P( x) 称为 f ( x) 的最佳一致逼近；
2. || P( x) f ( x) ||2
b
a
( x)( P( x) f ( x))2 dx 最小，
P( x) 称为 f ( x) 的最佳平方逼近。
14
最佳平方逼近
定义：设 f ( x), g ( x) C[a, b] ， ( x) 是权函数，
即
j 0,1,, n
对应的法方程可以写为
i02 ( xi ) i0 ( xi )1 ( xi ) ( x ) ( x ) i 0 i n i
( x ) ( x ) (x )
i 1 i 0 i i i 2 1
Biblioteka x1 y1
xm
ym
n 求 n 次多项式 P ( x ) a a x a x (n m) ，使得 n 0 1 n
第三章函数逼近和曲线拟合
S=span{ x1,..., xn}
并称该空间为n维空间。1,2 ,...,n P
称为x在这组基下的坐标。 例：n次多项式
p(x) Hn , p(x)=a0 + a1x ... an xn Hn span{1, x, x2 ,..., xn}
4
11
4.5
12
4.6
强 度 yi 编 号 拉伸倍数 xi
1.4
13
5
1.3
14
5.2
1.8
15
6
2.5
16
6.3
2.8
17
6.5
2.5
18
7.1
3
19
8
2.7
20
8
4
21
8.9
3.5
22
9
4.2
23
9.5
3.5
24
10
强 度 yi
5.5 5
5.5
6.4 6
5.3 6.5
7 8.5
8 8.1 8.1
6
内积与内积空间 定义3：设X为数域K（R或C）上的线性空
间，满足条件：
u, v X , k (u, v) K, st.
(1) (u, v) (v, u)
(2) (u, v) (u, v), for K
(3) (u v, w) (u, w) (v, w), for w X
(4) (u, u) 0, u 0 iff (u, u) 0
存在唯一实数 g ，满足条件：
(1) x 0; x 0 iff x 0
(2) x x , R
(3) x y x y , x, y R
数值分析函数逼近与曲线拟合
数值分析函数逼近与曲线拟合第三章函数逼近和曲线拟合 1 函数的逼近和基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有分析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()kk k f x a x ∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。
当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。
这个误差分布是不均匀的。
当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。
为了使[1,1]-的所有x 满足()()nf x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。
插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。
更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。
如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。
由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。
如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
1.2范数和逼近一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。
最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作nR ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式和多项式加法及数和多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间。
函数逼近与曲线拟合(演示)精编
第三章 函数逼近与曲线拟合1 函数的逼近与基本概念1.1问题的提出多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()kk k f x a x∞==∑，()(0)!k k f a k =在[1,1]-上收敛。
当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。
这个误差分布是不均匀的。
当0x =时，(0)0ne=，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。
为了使[1,1]-的所有x 满足()()nf x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。
插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。
更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。
如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。
由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。
如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
1.2范数与逼近实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近图1一、线性空间及赋范线性空间要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。
最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构成线性空间.例如将所有实n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用nH 表示，称为多项式空间。
数值分析 第五章 曲线拟合和函数逼近
an xi n yi ) 0 an xi n yi ) xi 0
an xi n yi ) xi n 0
6
可以化为如下的法方程组或正则方程组：
1 xi n 1 xi
x x
i
i 2
x x x
i
2 3
i i
x x
x
,n 1
( xPk , Pk ) 由 ( Pk 1 , Pk ) 0 k 1 ( Pk , Pk )
2 x P i i k ( xi ) i 0 m
m
P ( x )
i 0 2 i k i
， k 0,1, 2,
, n 1
由 ( Pk 1 , Pk 1 ) 0 k
12
y 1 /(ax b) y x /(ax b) y 2 ax2 bx c y x /(ax bx c)
2
设y 1 / y 设y 1 / y , x 1 / x 设y y 2 x 设y y 设x 1 / x
b c y a 2 x x
求解线性方程组有 a 2, b 1.05 。
3
最小二乘原理
曲线拟合问题：对给定的数据 ( xi , yi ) (i 0,1,
, m) ，在取定的函 , m)
(i 0,1, 数类 中， 求函数 P( x) ， 使偏差 ri P( xi ) yi ，
的平方和最小，即
2 r ( P ( x ) y ) i i i min 2 i 0 i 0 m m
,x 。
n
11
非线性最小二乘拟合
可化为线性拟合问题的常见函数类型
数值分析-函数逼近与曲线拟合共71页文档
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
函数逼近与曲线拟合
第5章 函数逼近与曲线拟合上一章讨论的是函数插值问题，通常都是用一个多项式来代替一个已知的函数，它们在给定的插值基点上有相同的函数值，是对原函数的一种近似。
然而，在实际应用中插值问题仍有明显的缺点：对于有解析式的函数而言，在其它点上误差可能很大，如龙格现象；对于离散（表）函数而言，给定的数据点本身是有误差的，刚性地让插值函数通过这些点不仅没有意义，而且会影响对原函数的近似程度。
另外，泰勒展示也是对连续函数的一种低阶近似，它在展开点附近误差较小，但在展开点远处，误差会很大。
本章讨论在新的函数误差度量条件下的函数近似问题，对连续函数称之为函数逼近问题，对于离散函数称之为曲线拟合问题。
主要内容有：函数最佳逼近的概念，正交多项式，最佳均方逼近与最小二乘曲线拟合问题等。
5.1 函数最佳逼近的概念希望能有一种方法寻求出一个近似多项式，使它在整个区间上既均匀的逼近()f x ，所需的计算量又小，这就是函数逼近要解决的问题。
为了刻划“均匀逼近”，设()n p x 是定义在区间[a,b]上原函数()f x 的近似多项式。
我们用)()(x p x f n -来度量()n p x 与()f x 近似逼近程度。
这样，自然地会有下面两种不同的度量标准：⎰-=-ba nn dx x px f x p x f 22)]()([)()( （5-1）使用这个度量标准的函数逼近称为均方逼近或平方逼近；)()(max )()(x p x f x p x f n bx a n -=-≤≤∞（5-2）使用这个度量标准的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近。
关于一致逼近的问题，在数学分析中有以下结论。
设函数()f x 在区间[a,b]上连续，若0>ε，则存在多项式)(x P 使ε<-)()(x P x f ，在区间[a,b]上一致成立。
对于函数插值而言，如果插值余项也能满足对任意的0>ε，ε<-=)()()(x p x f x R n n 都成立的话，则插值多项式()n p x 是()f x 的一致逼近多项式。
第三章数据拟合与函数逼近
F (a , a ,, a ) F (a0 , a1 ,, a n ) 这时 ( x) P( xi , a0 , a1 ,, a n )称为函数 y y (x) 在点集 X ( xi , yi ), i 1,2,, m
上关于权系数 的最小二乘逼近．
第3章 数据拟合与函数逼近
本章主要介绍数据拟合及函数最佳平方逼近 的概念和基本方法. 本章首先通过线性拟合 阐述最小二乘法实现的步骤，然后介绍多项 式拟合和部分能线性化的非线性曲线拟合， 最后介绍连续函数的最佳平方逼近以及一些 常用正交多项式的相关性质.
3.1 直线拟合
一、问题背景 在实际问题中，常常给定一组测定的离散 数据，，欲求自变量和因变量的近似表达 式. 由于测量值本身就带有误差，并且测量 数据往往数据量很大，因此使用插值法工 作量会很大，效果也往往不好，解决该类 问题最常用的方法就是最小二乘法. 下面通 过一个简单的例题进行说明．
3.3 连续函数的最佳平方逼近 本章第二节中关于离散点的最小二乘曲线 拟合可以很自然地过渡到连续函数的最佳平 方逼近，它的具体提法是：已知函数 y y (x) 在区间 [a, b] 上连续，函数 (x) 非负且仅在 有限个点处为零，求函数 (x) ，使得 最小.这时 ( x )称为函数 y y (x) 在区间 [a, b] 上关于权函数 (x) 的最小二乘逼 近函数或最佳平方逼近函数.
求解可得 a 0.40044
b 1.05836
可以证明a、b可以使取得最小值，这样 直线方程 y 0.40044 1.05836 x 就可以确定
3.2 离散数据的最小二乘逼近
3.2.1 最小二乘原理的一般理论 设给定的数据为 ( xi , yi ) ，i 1,2,, m) ( 设拟合曲线方程为 令 F (a0 , a1 ,, a n ) i [ P( xi , a0 , a1 ,, a n ) yi ]2
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。