空间解析几何练习题参考复习资料

1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．
39．02=+-z y
3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离
相等．
7．)5
1,1,57
(．
5．已知：→
→-AB prj D C B A CD
，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ）
A ．4
B ．1
C ．
2
1
D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ）
A ．平行于x 轴
B ．平行于y 轴
C ．平行于z 轴
D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线
3
7423z
y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨
⎧=-+=+-0
720
1z x y 的距离为（ ）
A ．5
B ．
6
1 C ．
51 D ．8
1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ．
3．当m=_____________时，k j i 532+-与k j m i 23-+互相垂直．
4
．
设
++=2，
22+-=，
243+-=，则
)(b a prj c += ．
4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442
2
2
=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．
3．34-=m ； 4．29
19 9．33
2212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴
旋转而成．
1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=c b a ，则=⨯⨯c b a )(（ ） A ．8 B ．10 C ．{}1,1,0-- D ．{}21,1,2
3．若==-+=，则14//236（ ） A ．)4612(-+± B ．)612(+± C ．)412(-± D ．)46(-± 4．若ϕ与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （ ） A ．
6π B ．2π C ．3π D ．4
π
6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（ ） A ．
2π B ．6π C ．3π D ．4
π 8．设点⎩
⎨⎧=-+-=+-+-0420
1)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（ ）
A ．223
B ．553
C ．4
53 D ．22
9．直线
夹角为与平面622
4
1312=++-=-=-z y x z y x （ ） A ．30o B ．60o C ．90o D ．6
5
arcsin
1．D 3．A 4．C 6．C 8．A 9．D
7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点． 3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．
5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．
7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．
8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________． 9．曲面方程：2599162
2
2
=--z y x 则曲面名称为________________．
10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2
22
2)
1()1(2y x z y
x z 在y z 面上的投影方程______________． 1．设32+-=，+=2，++-=，则与+是否平行__________．
1．不平行
7．33222±=++z y x ； 8．25102
-=-z x ；
9．双叶双曲面； 10．⎩⎨⎧==+--++0
2342222x z y z yz y
练习题选参考答案
1．两非零向量→a 、→b 垂直，
则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b
；平行则有0=⨯→→b a 或→
→=b a λ或两向量对应坐标成比例。

2．若→
→
→
→
++=k j i a 863，2=→
b ，则与→a ，x 轴均垂直的向量⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
±=→
56580μ，，
b 。

3．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+4
)2(4
)2(2
22
2y x z x 在yoz 面上的投影曲线方程为：⎪⎩⎪⎨
⎧=+-±=+±0
4
4422x y z ，投影柱面方程为：44422+-±=+±y z 。

4．xoz 面上的曲线1942
2=-z x 分别绕x 轴和z 轴旋转所成旋转曲面方程为：1994222=--z y x ，19
442
22=-+z y x 。

5．已知{}4,0,3-=→a ，{}14,2,5--=→
b ，则两向量所成夹角的角平分线上的单位向
量为00
00a b
c a b →→→
→→
+⎧=
=⎨⎩
+。

6．以点A )0,0,2(，B )0,3,0(，C )6,0,0(，D )8,3,2(为顶点的四面体的体积
V=148
306020
32)6
1
=--=⋅⨯→
→
→
AD AC AB （。

二 计算
1．求点P )2,6,3(-关于直线L:⎩
⎨⎧=+--=-+04220
1z y x z y 的对称点坐标。

解：直线L 的方向向量k j i k
j i n n s 2212211
021-+=--=⨯=→
→
→
， 取直线上的定点）
，，011(-，将其化为参数式：⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+=+-=t z t y t x 2211 过点P 与直线L 垂直的平面为：0)2(2)6(2)3(=+--+-z y x ，
01922=--+z y x ，
将直线的参数式代入垂面方程有2=t ，从而点P 在直线L 上的投影坐标（直线与垂面的交点）为）
，，451(-， 设点P 关于直线L 的对称点坐标为)z y x ，，（，则有：
42
2526123-=+-=+=+z
y x ，，，解之:641-==-=z y x ，， 2．设直线L 过点M )1,3,2(-且其与y 轴相交，与直线01121:1z
y x L =-=+垂直，
求该直线方程。

解：设L 与y 轴的交点为N （0,t,0），其与直线1L 垂直，则101-=⇒=⋅→
→
t s MN ，从而由两点式有直线L 的方程为：L:1
1
4322--=--=+z y x 3．求直线1
1
111:
--==-z y x L 在平面012:=-+-z y x π上的投影直线方程。

解：直线L 与平面π的交点为），，012(，直线L 上的点）
，，（101在平面π上的投影为
），，（02121，则L 在π上的投影直线方程为：0
1132z
y x =-=-
4．求两平面0622:1=+-+z y x π，0884:2=-+-z y x π所成二面角的角平分面方程。

解：法一，设),,(z y x P 为所求平面上任意一点，则由题意有：
2
222
228
)1(48
84)2(21622+-+-+-=
-+++-+z y x z y x 消去绝对值得 )884()6222(3-+-±=+-+z y x z y 即026147010257=-+-=+++z y x z y x 和
法二，所求平面过两平面1π与2π的交线，故可设其方程为：
0)622(884=+-++-+-z y x z y x λ
在该平面上任取一点， 如令4
4
30--===λλz y x 可得， 然后由点)4
4
3,0,0(--λλ到两平面的距离相等可解得3±=λ，从而得到所求平面方程。

5．设有直线L 1和L 2 的方程分别为： L 1：
891202+=-=+z y x ，L 2：12
4
2611+=
+=-z y x （1）证明L 1 与L 2异面； （2）求两直线之间的距离；
（3）求与两直线距离相等的平面方程； （4）求与两直线都垂直相交的直线方程。

解：直线L 1 ，L 2上分别有定点P 1（-2，2，-9），P 2（1，-6，-4），其方向向量
分别为{}8,1,01=→
s ，{
}12,2,12=→
s
（1）由于0815
8312218
10)(2121≠-=-=⋅⨯→
→→P P s s ，所以两直线异面。

（2）由于k j i k
j i s s -+-==⨯→
→
84122181021
故过2L 与1L 平行的平面方程为04884=-+-z y x 则两直线的距离转化为求点P 1到该平面的距离：
91
)8(448
)9(128)2(42
2
2
=+-+--⨯+⨯--⨯=
d
（3）由题意，所求平面过线段21P P 的中点)2
13
,2,21(---P ，其法向量为
k j i s s -+-=⨯→
→
8421，
故所求平面方程为设),,(z y x P 02
15
84=-
+-z y x 。

（4）设公垂线为L ，其方向向量k j i s s s -+-=⨯=→
→
→
8421，则：
1L L 与相交所成平面1π的法向量k j i k
j i s s 432651
848101-+=--=⨯→
→
，
1π的方程为03043265=+-+z y x ，
1π与2L 的交点（即公垂线与2L 的交点）)8,4.2(-Q
2L L 与相交所成平面2π的法向量k j i k
j i s s 1647981
8412212+--=--=⨯→
→
，
2π的方程为0120164798=+-+z y x ，
2π与1L 的交点（即公垂线与1L 的交点）)7,4.2(-P ， 所以，公垂线方程为
1
7
8442-=--=+z y x 注：实际只需求一个交点即可，这里只是为了理解将两个交点都求出，这样亦可以得到（2）的另一解法。

5. 求点)5,1,2(P 在直线:L
1
3111-=
-=-z
y x 上的投影. 解：过)5,1,2(P 作垂直于已知直线L 的平面∏，则其法向量)1,3,1(-=n ，于是平面的方程为0)5()1(3)2(=---+-z y x ，即03=-+z y x .
将已知直线的参数方程⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+=+=t
z t y t
x 311代入03=-+z y x ，可得114-=t ，因此点)5,1,2(P 在
直线L 上的投影即为平面∏与直线L 的交点)11
4,111,117(
-. 6. 求直线:L ⎩
⎨⎧=---=+-0830
32z y x z y x 在平面:∏12=+-z y x 上的投影直线的方程.
解：设所给直线L 的平面束方程为0)83(32=---++-z y x z y x λ，即
08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，
其中λ为待定常数，要使该平面与已知平面∏垂直，则有0)1()3()32(2=-++++λλλ，解得3
4
-
=λ，将其代入08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，
可得32756=-+z y x ，因此直线L 在平面∏上的投影直线方程为⎩⎨
⎧=+-=-+1
232756z y x z y x .
7.确定λ的值，使直线:L ⎩
⎨⎧=-+=-+020
12z x y x 与平面1:=-+∏z y x λ平行，并求直线L 与平
面∏之间的距离.
解：直线L 的方向向量n k j i k
j i --==21
01012，要使直线L 与平面∏平行，只要
0=⋅s n （其中=s )1,,1(-λ为平面∏的法向量）
，即0121=+-λ，解得1=λ. 令10=x ，代入直线L 的方程可得10-=y ，10=z ，直线L 与平面∏之间的距离
3
3
)1(11|
)1(11111|2
22=
-++-⨯+⨯-⨯=
d . 8.求通过直线⎩⎨
⎧=-++=-+-0
220
1:z y x z y x L 的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线
1
1
1121-=
-+=-z y x . 解
：
设
平
面
束
方
程
为
)22(1=-+++-+-z y x z y x λ，即
012)1()1()12(=--++-++λλλλz y x ，=n )1,1,12(+-+λλλ. 设平行于直线
1
1
1121-=
-+=-z y x 的平面为1∏，由0)1()1(2)12(=++--+λλλ，可知1-=λ，令10=x ，代入直线L 的方程，可得000==z y 平面1∏的方程为02)1(=---y x ，即
012=-+y x . 设垂直于平面1∏的平面为2∏，由0)1(2)12(=-++λλ，可得4
1
=
λ，平面2∏的方程为
04
5
43)1(23=+--z y x ，即06536=-+-z y x . （4）曲线⎪⎩
⎪
⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos (a 、b 为常数)在xOy 平面上投影曲线是
（⎩
⎨⎧==+0222z a y x ）.
（5）xOy 平面上曲线1642
2
=-y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是 （16)(42
2
2
=+-z y x ）.
（7）方程y z x =-2
2
所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.
（8）与两直线⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+-==t
z t y x 122
及112212-=
-=+z y x 都平行，且过原点的平面方程是（0=+-z y x ）.
（10）与两平面012=--+z y x 和032=+-+z y x 等距离的平面方程为（012=+-+z y x ）
3. 已知点)0,1,1(A 和点)2,1,0(B ，试在x 轴上求一点C ，使得ABC ∆的面积最小. 解
：
设
)
0,0,(x C ，则
)
2,0,1(-=，
)
0,1,1(--=x ，
x x +-+=---=⨯)1(22110
1
，
故
ABC
∆的面积为
1)]1(2[22
1||2122
+-+=⨯=
x S ，显然，当1=x 时，ABC ∆的面积最小，
为25，所求点为)0,0,1(. 6.求直线1
1
111:
--=
=-z y x L 在平面012:=-+-∏z y x 上的投影直线绕x 轴线转一周所成曲面的方程.
解：过L 作垂直于平面∏的平面0∏，所求的直线L 在平面∏上的投影就是平面∏和0∏的
交线. 平面0∏的法向量为：k j i k
j i
n 232
111210--=--=，则过点),,(101的平面0∏的
方程为：
0)1(23)1(=----z y x ，即0123=+--z y x . 所以投影线为⎩⎨
⎧=+--=-+-01230
12z y x z y x . 将投影线表示为以x 为参数的形式：⎪⎩
⎪⎨⎧
--==)
12(212x z x y ，则绕x 轴的旋转面的方程为2222)]12(21[)2(--+=+x
x z y ，即0416*******=+---z y x x .
8.已知两条直线的方程是142211:1--=+=-z y x L ，1
0122:2z
y x L =-=-，求过1L 且平
行于2L 的平面方程.
解：因为所求平面过1L ，所以点)4,2,1(-在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向
向量，因此平面的法向量为k j i k
j i 4321
02121--=-. 因此所求平面的方程为
0)4(4)2(3)1(2=--+--z y x ，即08432=+--z y x .
9. 在过直线⎩⎨⎧=++=+++0
20
1z y x z y x 的所有平面中，求和原点距离最大的平面.
解
：
设
平
面
束
方
程
为
)2(1=++++++z y x z y x λ，即
01)1()1()12(=++++++z y x λλλ，平面与原点的距离为 3
1)32(61)
1()1()12(|
10)1(0)1(0)12(|22
2
2
+
+=
++++++⨯++⨯++⨯+=
λλλλλλλd
要使平面与原点的距离最大，只要3
2
-=λ，即该平面方程为03=---z y x . 11. 求直线
3
21z y x =-=绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程. 解：由于空间曲线⎪⎩
⎪
⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x )(+∞<<-∞t 绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为
⎩⎨
⎧=+=+)
()()(2
222t z z t y t x y x )(+∞<<-∞t ，消去参数t 即可. 此直线的参数方程为 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==t z t y t x 32，故该直线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为
⎩⎨
⎧=-+=+t
z t t y x 3)2()(2222，消去参数t ，旋转曲面的方程为22
295z y x =+. 12. 画出下列各曲面所围立体的图形： （1）0,0,0,12643====++z y x z y x . （2）2,22
2
=+=z y x z . （3）22224,y x z y x z --=+=. （4）2222,2y x z y x z +=--=
.
（5）2
2
2y x z +=，2
2x z -=.
（6）2
x y =，0=z ，y z =，1=y .
3. 平面
0:11111=+++D z C y B x A π 与平面
0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直
11 / 11 的充要条件是 （ ）. Ａ. 212121C C B B A A == Ｂ. 0212121=++C C B B A A
Ｃ. 021212121=+++D D C C B B A A Ｄ. 以上都不对.
4. 111111
1:n z z m y y l x x l -=-=-与2
22222
2:n z z m y y l x x l -=-=-是异面直线，则必有 （ ）. Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ. 0212121≠++n n m m l l
Ｃ. 02
121212221
11=---z z y y x x n m l n m l
Ｄ. 02
12121222111≠---z z y y x x n m l n m l .。