高中数学选修4-1(人教版)练习：第三讲3.3平面与圆锥面的截线 含解析

第三讲圆锥曲线性质的探讨

3.3 平面与圆锥面的截线

A级基础巩固

一、选择题

1．用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则截线为( ) A．椭圆B．双曲线

C．抛物线D．两条相交直线

答案：D

2．平面π与圆锥的母线平行，那么它们交线的离心率是( )

A．1 B．2 C.1

2

D．无法确定

解析：由题意，知交线为抛物线，故其离心率为1.

答案：A

3．一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴线成30°的不过顶点的平面去截圆锥面时，则所截得的截线是( )

A．椭圆B．双曲线

C．抛物线D．两条相交直线

答案：C

4．一组平行平面与一圆锥的交线，具有( )

A．相同的焦距B．相同的准线

C．相同的焦点D．相同的离心率

解析：因为平行平面与圆锥轴线夹角相等，所以由e ＝cos βcos α

可知，它们有相同的离心率．

答案：D

5．双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.6

2 D ．2 3

解析：由题意知2c ＝3·2a 2

c

，所以e ＝ 3.

答案：B

二、填空题 6．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：________、________、________、和________．

答案：圆、椭圆、抛物线、双曲线

7．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴长为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为________． 答案：12

8．已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于F 1F 2的弦．已知∠PF 2Q ＝90°，则双曲线的离心率是________．

解析：如图所示，由对称性知△PF 2Q 是等腰直角三角形，点F 1为PQ 中点， 所以F 1F 2＝PF 1，

设双曲线的焦距为2c ，实轴长为2a ，

则PF 1＝2c ，所以PF 2＝22c.

由双曲线结构特点，PF 2－PF 1＝2a ，

即22·c －2c ＝2a ，所以c a ＝2＋1. 所以e ＝

2＋1.

答案：2＋1

三、解答题

9．已知一圆锥面S 的轴线为Sx ，轴线与母线的夹角为30°，在轴上取一点O ，使SO ＝3 cm ，球O 与这个锥面相切，求球O 的半径和切圆的半径．

解：如下图所示，OH ＝12SO ＝32

cm ，

HC ＝OHsin 60°＝32×32＝334cm.