自相关与互相关函数

相关函数
１．自相关函数
自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与
另一时刻取值的依赖关系，其定义式为
（2.4.6）
对于周期信号，积分平均时间T为信号周期。

对于有限时间内的信号，例如单个脉冲，当T趋于无穷大时，该平均值将趋于零，这时自相关函数可用下式计算
（2.4.7）
自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号x(t+τ)乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。

例如信号的自相关函数为
若信号是由两个频率与初相角不同的频率分量组成，即
，则
对于正弦信号，由于，其自相关函数仍为
由此可见，正弦（余弦）信号的自相关函数同样是一个余弦函数。

它保留了原信号的频率成分，其频率不变，幅值等于原幅值平方的一半，即等于该频率分量的平均功率
，但丢失了相角的信息。

自相关函数具有如下主要性质：
（1）自相关函数为偶函数，，其图形对称于纵轴。

因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。

（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即
（2.4.8）（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。

（4）若随机信号不含周期成分，当τ趋于无穷大时，趋于信号平均值的平方，即
（2.4.9）实际工程应用中，常采用自相关系数来度量其不同时刻信号值之间的相关程度，定义式为
（2.4.10）
当τ＝0时，＝1，说明相关程度最大；当τ＝∞时，，说明信号x(t)与x(t+τ)之间彼此无关。

由于，所以。

值的大小表示信号相关性的强弱。

自相关函数的性质可用图2.4.3表示。

图2.4.3 自相关函数的性质
常见四种典型信号的自相关函数如图2.4.4所示，自相关函数的典型应用包括：
（1）检测信号回声（反射）。

若在宽带信号中存在着带时间延迟的回声，那么该
信号的自相关函数将在处也达到峰值（另一峰值在处），这样可根据确定
反射体的位置，同时自相关系数在处的值将给出反射信号相对强度的度量。

时间历程自相关函数图形
正
弦
波
图2.4.4 四种典型信号的自相关函数
（2）检测淹没在随机噪声中的周期信号。

由于周期信号的自相关函数仍是周期性的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。

因此在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。

图2.4.5所示为噪声对相关函数的影响。

图 2.4.5 噪声对相关函数的影响
2．互相关函数
随机信号x(t)和y(t)的互相关函数定义为
(2.4.11)
互相关函数具有如下性质：
（1）互相关函数不是偶函数，是不对称的。

图2.4.6为两个随机信号x(t)和y(t)及其互相关函数图形，其峰值偏离了原点的位置反
映了两信号的时差。

例如在
位置达到最大值，则说明y(t)
导前时间x(t)与
y(t)最相似。

（2），即x(t)与y(t)互换后，它们的互相关函数对称于纵轴（图2.4.7），说明使信号y(t)在时间上导前与使另一信号x(t)滞后，其结果是一样的。

（3）若两个随机信号x(t)和y(t)没有同频率周期成分，是两个完全独立的信号，则当时有
(2.4.12)
（4）频率相同的两个周期信号的互相关函数仍是周期信号，其周期与原信号相同。

例如两个周期信号为和，则其互相关函数为
(2.4.13)
用互相关系数表示互相关程度，即
(2.4.14)
互相关系数反映了两个随机信号之间的相关性，且。

若x(t)和y(t)之间没有
同频率的周期成分，那么当τ很大时就彼此无关，即。

微弱信号的检测
互相关函数的这些性质，使得它在检测技术中具有广泛的应用。

最常见的应用有以
下几种：
（1）确定时间延迟。

假如某信号从A点传播到另一点B点，那么在两点拾取的信号
x(t)和y(t)之间的互相关函数，将在相当于两点之间时间延迟τ的位置上出现一个峰值。

利用确定延迟时间的方法可以测量物体的运动速度，图2.4.8为测定轧钢时钢板运
动速度的示意图。

利用两个距离为d的光电传感器A和B，得到钢板表面反射光强度变化
的光电信号x(t)和y(t)，经互相关分析，确定时移τ，当τ等于钢板通过两个测点间的时间时，两信号的互相关函数为最大值，则运动物体的速度为
（2）识别传输路径。

假如信号从A点到B点有几个传输路径，则在互相关函数中就有
几个峰值，每个峰值对应于延迟了时间的一个路径，例如用于声源和声反射路径的识
别。

（3）检测淹没在外来噪声中的信号。

假如信号s(t)受到外界的干扰形成复合信号
a(t)和b(t)，即a(t)=s(t)+n(t)，b(t)=s(t)+m(t)，（s(t)是有用信号，可以是确定性的或者随
机的，而n(t)和m(t)是互不相关的噪声），那么互相关函数将仅含有a(t)和b(t)中的
相关部分s(t)的信号，而排除了外来噪声的干扰。

（4）系统脉冲响应的测定。

在随机激励试验中，假如以随机白噪声作为试验信号输入被测系统，则输入信号与输出信号的互相关函数就是被测系统的脉冲响应。

这种测量方法的优点可以在系统正常工作过程中测量。

测量时，其他信号都与试验信号无关，因而对互相关函数没有影响，不影响脉冲响应的测量。

互相关分析：地下输油管道漏损部位的检测。