2013级硕士研究生《数值分析》试卷(A)初稿
上海海事大学1213数值分析试A卷答案
上海海事大学2012---2013学年第 2 学期 研究生 数值分析 课程考试试卷A （答案）学生姓名： 学号： 专业：1. 利用Seidel 迭代法求解Ax=b 时，其迭代矩阵是))-1s U L D B -=（； 当系数矩阵A 满足 严格对角占优 时，Seidel 迭代法收敛 。
7. 反幂法是求可逆矩阵按模最小 特征值和特征向量的计算方法． 6. QR 法是计算 非奇异矩阵的 所有 特征值和特征向量的计算方法 1. 利用Jacobi 迭代法求解Ax=b 时，其迭代矩阵是)(1U L D B J +=-；当系数矩阵A 满足 严格对角占优 时，Jacobi 迭代法收敛 。
2. 对于求解Ax=b ，如果右端有b δ的扰动存在而引起解的误差为x δ，则相对误差≤xxδ bbA Cond δ)(3. 幂法是求矩阵 按模最大 特征值和特征向量的计算方法．Jacobi 法是计算 实对称矩阵的所有 特征值和特征向量的计算方法 六．设方程组Ax=b 有唯一解*x ，其等价变形构造的迭代格式为f Bx x k k +=+)()1(，如矩阵谱半径1)(>B ρ，但B 有一个特征值满足1<λ，求证：存在初始向量)0(x ，使得迭代产生的序列{})(x x 收敛于*x 。
（7分）证明： 由f Bx x k k +=+)()1(，f Bx x +=**()()*)0(1k *)(*)1(---x x B x x B x xk k ++== 对于B 的一个特征值满足1<λ，特征向量设为y ，,,11y y B y By k k ++==λλ故取初始向量y x x +=*)0(，有()y y B x x B x x k k 11k *)0(1k *)1(--++++===λ∞→→==+++k yy x xk k k ,0-11*)1(λλ，所以{})(x x 收敛于*x八．给定函数函数)(x f ，对于一切x ，存在)(x f '，且M x f m ≤'≤<)(0， 证明对于范围M20<<λ内的任意定数λ，迭代过程)(-1k k k x f x x λ=+均收敛于0)(=x f 的根。
2013年元月数值分析(题解)
工科硕士研究生课程考试试题及参考解答(2013年1月)一 填空（共30分）（1）设多项式1964)(34+++=x x x x f ，则求)(0x f 仅含有四次乘法运算的算法为____________ __．（2）设)ln(),(y x y x f +=，35.1*=x 、650.0*=y 是x 、y 的近似值，若*x 、*y 均为有效数，则),(**y x f 的相对误差限为210-⨯（小数点后保留三位）．（3） 设13)(3+-=x x x f ，则)(x f 以0、1、2为插值节点的二次插值多项式=)(2x P _______． （4）设)5,4,3,2,1,0(=i x i 为互异节点，)(x l i 为对应的五次Lagrange 插值基函数，则∑=++535)()12(i i i i x l x x=_____________．（5）取初始向量T )111()0(=V，用乘幂法迭代两步求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=103025034A 按模最大的特征值1λ时，其近似值)1(1)2(1)2(1V V =λ=_____________（)(1k V 为第k 次迭代向量的第一个分量）． （6） 给定三点 A(0,1)、B(1,3)、C(2,2)，按最小二乘法拟合这三点的直线为_____________． （7） 设61)(22++=ax x x g ，对于任意常数0C 、1C 均满足条件0))((10102=+⎰dx x C C x g则a = ． （8）迭代格式 ,1,0),2(3121=+=+k x cx x kk k 局部收敛到3c （c ≠0），其收敛阶为____阶． （9） 常数a=_____________，⎰-1023)(dx a x 取最小值．（10） 对于n 个求积节点的插值型求积公式，其代数精确度至少为_____．二（10分）（1）建立计算52008近似值的迭代格式，并给出能保证迭代格式收敛的初始0x ； （2）计算52008的近似值，要求结果具有五位有效数字．三.（12分）用平方根法(Cholesky 分解法)求解方程组⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛17121077521x x ．四.（12分）对于求解线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--262410121014321x x x 的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代，迭代格式是否收敛？哪一个迭代格式收敛快？Gauss-Seidel 迭代与Jacobi 迭代的收敛速度之比等于多少？五.（12分）确定参数α，使得求解初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 的如下格式,2,1)],,(),()1(),([)(21111111=+-+++=--++-+n y x f y x f y x f h y y y n n n n n n n n n αα 其阶数达到最高；并要求给出局部截断误差的表达式，且指明方法的阶．六.（12分）运用反射（Householder ）矩阵将⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=124213431A 正交相似化为对称三对角矩阵． 七.（12分）设],[)(3b a C x f ∈，⎰=badx x f f I )()(，给定求积分)(f I 的求积公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)32(3)(4)(b a f a f a b f Q （A ） （1）求上述求积公式（A ）的代数精度； （2）求截断误差表达式),(),()()()()3(4b a f a b k f Q f I ∈-=-ηη中的常数k ；（3）取正整数n ，记nab h -=，),,1,0(n i ih a x i =+=． 试构造求积公式（A ）对应的复化求积公式)(f Q n ，并求极限30)()(lim h f Q f I n h -→．一.答案 （1）1]9)64[()(02000+++=x x x x f ；（2） 210397.0-⨯；（3）153)(22+-=x x x P ；（4）∑=++535)()12(i i ii x l x x1235++=x x ；（5）7)1(1)2(1)2(1==V V λ；（6）x y 2123+=； （7）1-=a ；（8）二阶收敛；（9）41=a ；（10）至少为n -1．二. 解（1）设52008=α，2008)(5-=x x f ，则α为方程0)(=x f 的根．由于0)5(,0)4(><f f ，且在[4,5]上0)(>'x f ，故α为方程0)(=x f 在]5,4[内的唯一实根． 根 （a ）0)5()4(<f f ；（b ）当]5,4[∈x 时，0)(>'x f ，0)(>''x f ；（c ）0)5()5(>''f f （则取50=x （或]5,4[0∈x ）时，Newton 迭代格式 ,1,0,52008451=--=+k x x x x kk k k 收敛． （2）用牛顿迭代格式计算：取50=x ，有64256.41=x ，578545224.42=x ，576704602.43=x ，57670312.44=x ． 因4341021-⨯<-x x ，故5767.420085≈． 三. 解 设T LL A =，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛22121122121110775l l l l l l ，比较等式两边矩阵的对应元素，得 5211=l ，71121=l l ，10222221=+l l ．当限定矩阵L 的对角元全为正时，得 511=l ，5721=l ，5122=l ．故 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛515755157510775． 根据 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛17125157521y y ，解得T)51,512(=y ． 根据 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛515125157521x x ，解得T )1,1(=x ．四. 解 （1）Jacobi 迭代法的迭代矩阵为)(1U L D B +-=-J ，即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-04102102104100101010104241J B 由 0)41(4102121412＝-=--=-λλλλλλJ B I ，解得21,21,0321-===λλλ，故迭代矩阵谱半径21)(=J B ρ，Jacobi 迭代收敛． （2）Gauss-seidel 迭代格式的迭代矩阵为U L D B 1)(-+-=S ，即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-0001000104100210041s B ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=813210218100410 由0)41(813210218100412=-=---=-λλλλλλS B I ，解得41,0,0321===λλλ，故迭代矩阵谱半径41)(=S B ρ，Gauss-Seidel 迭代收敛．（3）对于Jacobi 迭代：21)(=J B ρ，其收敛速度2ln 21ln )(ln =-=-=J J B ρη；对于Gauss-Seidel ：由41)(=S B ρ，其收敛速度2ln 241ln )(ln =-=-=S S B ρη．因为J S ηη> (或)()(J S B B ρρ<)，所以Gauss-seidel 迭代比Jacobi 迭代收敛快．且2=JSηη．五. 解 所给格式的局部截断误差为)()()1()()(21)(21)(11111-+-++'-'--'---=n n n n n n n x y h x y h x y h x y x y x y R αα )()(6)(2)()(432h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''+''+'+=)(21n x y -)]()(6)(2)()([21432h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''-''+'-- )]()(2)()([32h O x y h x y h x y h n n n +'''+''+'-)()1(n x y h '--α)]()(2)()([32h O x y h x y h x y h n n n +'''+''-'-α)(]14121[)(])1(1211[2n n x y h x y h ''+--+'----+=ααα )()(]22112161[43h O x y h n +'''--++α要使公式的局部截断误差阶数最高，则令0)1(1211=----+αα，即43=α．当43=α时，1+n R )(]14121[2n x y h ''+--=α)()(]22112161[43h O x y h n +'''--++α．)()(8543h O x y h n +'''-=且该方法是二阶方法．六. 解 对向量T)4,3(作反射变换，使其与T)0,1(平行，此时40 ,)4,8(,54322===+=βσT u ．Tuu I H β-=22~[]48484011001⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=53545453 所求反射阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=5354054530001H ，THAH ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=252325140251425735051七. 解 （1）当1)(=x f ，a b f I -=)(，a b f Q -=)(； 当x x f =)(，)(21)(22a b f I -=，)(21)(22a b f Q -=；当2)(x x f =，)(31)(33a b f I -=，})32(3{4)(22b a a a b f Q ++-=333a b -=； 当3)(x x f =，)(41)(44a b f I -=，)(}9)2({4)(33f I b a a a b f Q ≠++-=．所以，求积公式为二次代数精度．（2）做)(x f 的二次Hermite 插值多项式)(2x H ，要求其满足)32()32(),32()32(),()(ba fb a H b a f b a H a f a H +'=+'+=+=． 则 ),()(,)32)((!3)()()(2)3(b a x b a x a x f x H x f ∈+--=-ξξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=-⎰)32(3)(4)()()(b a f a f a b dx x f f Q f I ba ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=⎰)32(3)(4)(b a H a H a b dx x f badx x H dx x f b a b a ⎰⎰-=)()(（根据求积公式为二次代数 ),()(,)32)((!3)(2)3(b a x dx b a x a x f ba∈+--=⎰ξξ ),(,)32)((!3)(2)3(b a dx b a x a x f b a ∈+--=⎰ηη),(),()(2161)3(4b a f a b ∈-⋅=ηη 所以，表达式),(),()()()()3(4b a f a b k f Q fI ∈-=-ηη中的常数2161=k ．（3）求积公式（A ）对应的复化求积公式∑-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=11)3(3)(4)(n i i i i n x x f x f h fQ ，根据)(f Q 的截断误差，得),(,)(2161)()(110)3(4+-=∈=-∑i i i n i i n x x f h f Q f I ηη．因此，30)()(lim h f Q f I n h -→⎰∑'''==-=→b a n i i h dx x f hf )(2161)(lim 21611)3(0η)]()([2161a f b f ''-''=。
060708研究生数值分析试卷(A).doc
武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为 求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取 值范围，使迭代格式收敛。
三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。
四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。
六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。
，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。
七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。
对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。
八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。
武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
2013数学数值分析试题A
七、（本题满分 10 分）（从下列两题中选择一道题完成）
1、设 f (x) = x ,在[−1,1]求关于ϕ = span{1,x2} 的最佳平方逼近多项式。
解：定义内积（f , g）= ∫1 f (x)g(x)dx ， −1
记ϕ0 (x) = 1，ϕ1(x) = x2 ，则有
∫ (ϕ0 ,ϕ0 ) =
式。
解：（1）确定V = ϕ(i) 的形式。将表中给出的数据点描绘在坐标纸上，可以看出这
些点位于一条直线的附近，故可选择线性函数来拟合这组实验数据，即取
V = a + bi
（2）建立法方程组。
1 1
1
2
1 4
A = ，-----------------------------2 分
−1
2
2
法方程为：
2 3
2 3 2 5
c0 c1
=
1 1 2
-------------------------------2
分
解得： c0
= 3, 16
c1
=
15 16
----------------------------------------2
A
A
数。 解：由条件得， • A 的齐次性和三角不等式性是显然的，我们只需考虑正定性，
证明如下： 考虑方程组 Ax = 0 解的情况： (1) 若 A 非奇异，则原方程组有唯一零解： x = 0 ，
由此可得
x = 0 ⇔ x A = Ax = 0 (2) 若 A 奇异，则原方程组有无穷解，不满足正定性。
1 6
2013研究生数值分析试题参考答案
太原科技大学硕士研究生2013/2014学年第1学期《数值分析》课程试卷公式提示：1、Legendre 多项式)(x p n 的递推关系式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-++===-+,2,1)(1)(112)()(,1)(1110n x p n n x xp n n x p x x p x p n n n2、Chebyshev 多项式)(x T n 的递推关系式：⎪⎩⎪⎨⎧=-===-+ ,2,1)()(2)()(,1)(1110n x T x xT x T x x T x T n n n一、填空题（每小题5分，共35分）1、为提高数值计算精度，当x 充分小时，应将x cos 1-改写为___22sin2x___ 2、已知x=0.03056是经过四舍五入得到的近似值，则x 有____5__位有效数字.3、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则=∞)(A Cond ___21___.4、已知()sin 1f x x x =--，则牛顿法的迭代公式是_____1sin 1,0,1,2,...1cos k k k k kx x x x k x +--=-=-__________5、求解非线性方程310x x --=的一个收敛的简单迭代公式为_______10,1,2,...k x k +==________。
6、设,,2,1,0,,53)( ==+=k kh x x x f k 则=++],,[21n n n x x x f _______3h________。
7、若用Gauss-Seidel 迭代法解方程组⎩⎨⎧-=+=+3242121x ax ax x ，其中a 为实数，则Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件是应使a 满足______a <<_________。
二、（本题满分15分）（1）用列主元Gauss 消去法求解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+3221522321321321x x x x x x x x x （2）写出用Jacobi 迭代求解上述方程组的迭代公式的分量形式。
2013数值分析研究生试题
xk 1 xk
3 2 xk xk 1 2 3x k 2 x k
（5）
a 10 1 ，要使 lim A k 0 ，a 应满足___________； A 0 k 2
解
a 1
已知方程组
（6）
5 x 2 y 8 ，其雅可比法的迭代矩阵是______________， 3x 20 y 26
1 2 。 3 4
（1）求 A p , p 1,2, （2）求 A 的谱半径 ( A) 。 解 （1） A 1 max(4,6) 6, A max(3,7) 7 ，
10 14 AT A 。 14 20
2 T 由 | A A I | 0 ，得 30 4 0 。解得 15
证明 lim f [ x 0 , x1 , , x n ]
2
证明：查 p( x ) (f(x)-p(x), j ) =(f, j )- (p(x), j )
a
k 0 k
nk(ຫໍສະໝຸດ x)--------5 分
注意到 ak 是法方程组的解。而法方程组
0 , 0 0 , 1 0 , n a 0 ( f , 0 ) 1 , 0 1 , 1 1 , n a1 ( f , 1 ) 两边的 j-th 分量为 , , , a ( f , ) n 1 n n n n n 0
3
f ( n) ( x 0 ) h 0 n! ( n) f ( ) 证明：因 f [ x 0 , x1 , , x n ] --------7 分 n! (x0 ,x0 +nh) 注意到 n 阶导数连续性，--------12 分 两边取极限 ok! --------15 分 5. （10 分）设 f(x)在有限维内积空间＝span{0 , …, n }上的最佳平方逼近为 p(x), 试证明， f(x)-p(x)与中所有函数正交。
大连理工大学矩阵与数值分析试卷-2013
1 0 0 0
3 ⎞ ⎛2 5 ⎟ T ⎟ ; LL 分解中 L= ⎜ ⎜3 4 ⎜ − ⎟ ⎟ ⎝2 5⎠
1 1 2 2
0 ⎞ ⎟ 7 ⎟。 ⎟ 2 ⎠
Gauss 求 积 公 式 ， 则
1 ∫ x + 1 f (x ) dx ≈ A f (x ) + A f (x ) + A f (x ) 为
2）为使二点数值求积公式 积节点和求积系数应为 (A) x0 = −
∫
1
f ( x) 1 − x2
.
−1
dx ≈ A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 ) 具有最高的代数精度，其求
B
2 2 π 1 1 1 , x1 = ; A0 = A1 = ； (B) x0 = − , x1 = ; A0 = A1 = ； 2 2 2 2 2 2
⎛ ⎜ 即 V = ( v1 v2 ) = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎜ V1 = V = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 1 2 1 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 2⎟ 或 V = ( v1 v2 ) = ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎠ ⎝ 1 2 1 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −1 ⎞ 2⎟ ⎟ ，因 rank(A)=1，故有 1 ⎟ ⎟ 2⎠ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎟ (1) = ⎜ 2 ⎟ , 由 U = (U1U 2 ) , 则 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2⎠
17）. 为了减少运算次数，应将表达式.
4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1 改写为 x4 + x2 + x − 1
( ( 4 x − 3) x − 2 ) x − 1 ； ( ( ( x + 0 ) x + 1) x + 1) x − 1
常州大学2012-2013级研究生数值分析试卷A解答及评分标准
一．（1）已知函数24()73f x x x =++，用秦九昭方法计算(2)f ；（2）秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要多少次乘法？ （3）至少写出四种减少误差危害的常用手段。
解：（1）2422()73(31)7f x x x x x =++=++22(2)(321)2759f =⨯++=………… 5 分（2） 秦九昭方法计算任一n 次多项式在任一点函数值至多需要n 次乘法。
………… 5 分（3） A ）防止大数“吃”小数； B ）避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；C ）避免相近数相减；D ）避免使用不稳定的算法；E ）注意简化计算步骤，减少运算次数；………… 5 分二．给定方程组123311413132156x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （1）以分量形式写出解此线性方程组的Jacobi 迭代格式和Gauss -Seidel 迭代格式； （2）求1A 和A∞；（3）判断Gauss -Seidel 迭代格式的敛散性。
解：（1）Jacobi 迭代(1)()()123(1)()()213(1)()()312(4)/3(3)/3(62)/5k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++=--=+-=-+， 0,1,2,k = Gauss-Seidel 迭代(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(4)/3(3)/3(62)/5k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++=--=+-=-+， 0,1,2,k =………… 5 分（2）17A =，8A∞=；………… 5 分（3）因为方程组系数矩阵严格对角占优，所以Gauss -Seidel 迭代格式收敛。
………… 5 分三． 已知方程2()30x f x e x =-=，（1）证明该方程在区间[0.6,1.2]上存在唯一实根； （2）叙述牛顿法求方程()0f x =根的方法思想；（3）以初值01x =，用牛顿法求上述方程的近似解，要求误差不超过210- 。
13级研究生数值分析习题
13级研究生数值分析习题第一章 误差及相关问题内容及纲目：1） 舍入误差和截断误差2） 绝对误差和相对误差3） 误差的传播和计算函数值4） 算法的数值稳定性5） 计算中需要注意的问题1. 用x 近似,sin x 即,sin x x ≈δδ],,0[∈x 最大为多少时，该近似计算的截断误差不超过10－7. 2. 设,0>x x 的相对误差为δ，求x ln 的绝对误差。
3.的相对误差不超过0.1%，应取几位有效数字？解：知识点：有效数字和相对误差间的关系。
4，设近视数*x 有n 位有效数字，所以有： *11|()|1024n r e x -≤⨯⨯，令：11100.1%24n -⨯≤⨯，解得： 3.097,n ≥所以有4位有效数字。
4. 227作为=3.1415926π有几位有效数字? 5. 误差的来源?计算中需要注意的几个问题.第二章 函数插值内容及纲目：1） 插值多项式的存在性与唯一性2） 插值多项式的构造方法（lagrange 插值，Newton 插值，等距节点的插值）3） 带导数的插值函数构造，Hermite 插值，误差估计和构造方法4） 差分和差商的定义、性质和联系5） 三次样条插值公式及误差估计1. ]2,,2,2,2,[]2,,2,2,2,[,13)(72162147 x f x f x x x x f 和求+++=。
2. 已知12144,11121,10100===，分别用线性插值和抛物插值法，求115的近似值。
3. （分三次Hermite 插值）,仅给定10,x x 和相应的函数值10,y y 及其微商10,m m ,构造插值函数)(x H ,)(x H 满足条件：1).)(x H 是不超过三次的多项式；2). ,)(,)(1100y x H y x H ==1100)(,)(m x H m x H ='='。
4. 构造 不超过3次的插值多项式，使其满足：.3)1(;0)2(,2)1(,1)0(='===f f f f5. 设f(x) ∈C 2[a,b],且)(a f = )(b f =0,求证：b x a x f ≤≤|)(|max )(81a b -≤ 2 bx a x f ≤≤|)(''|max 。
数值分析试卷(2013)
内蒙古科技大学工程硕士2012/2013学年《数值分析》考试试题课程号：考试方式：开卷使用专业、年级：2012工科硕士任课教师：曹富军,丁立刚考试时间：备 注：一、计算题（共7题，共100分）1. (15分) 什么是数值分析？结合自己的专业谈谈数值分析在以后工作学习中的应用，并说明使用数值方法进行计算时需要注意哪些问题？2. (20分) 使用牛顿插值法，构造下列已知函数点上的插值函数。
并求出x=0.7的值。
已知函数在下列各点的值为：3．(10分) 观测物体的直线运动,得出以下数据:求运动方程.4．(15分) 利用一种复合求积公式计算下列积分，并说明所选择方法的精度？12,84x dx n x=+⎰5．(15分) 设线性方程组：………………装订线………装订线………装订线…………试卷须与答题纸一并交监考教师…………装订线………装订线………装订线………………1231231235212422023103x x x x x x x x x ++=-⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 取初始值(0)(0,0,0)x =，求使用高斯-赛德尔迭代法计算5步(3)x 的结果。
6．(15分) 使用牛顿迭代方法求3()310f x x x =-+=在02x =附近的根，根的准确值* 1.87938524x =,要求计算结果准确到四位有效数字。
7．(10分) 选择一种数值方法，求解常微分方程初值问题：2',(0)0y x x y y =+-=取步长0.1h =，计算到0.5x =，并与精确解21x y e x x -=-+-+相比。
内蒙古科技大学研究生考试试卷考试科目：阅卷人：专业：学号：姓名：1、考前研究生将上述项目填写清楚；2、字迹要清晰；3、教师将试卷、答案一起送研究生学院归档。
年月日答卷要求:1.打印该试卷和考试封面，即文档1-3页。
2.认真填写封面，将阅卷人和成绩留空3.用A3白纸进行答卷4.试卷要求手写，保持卷面整洁5.将本试卷及答案于本周六（5月19日）集体交到学校，如有其它原因不能到来，允许同学带过来。
2013年西南石油大学研究生《数值分析》考试试卷
六、用改进的欧拉方法求解初值问题
y ' f ( x, y) y xy 2 (1 ，取 h 0.2 。 （计算过程保留四位小数） （14 分）
10 a 0 七、设 A b 10 b ，其中 det( A) 0 ，讨论线性方程组 Ax 0 a 5
《数值分析》考试试卷
考试时间 100 分钟 适用专业年级：硕士 2013 级 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1、设 x 的相对误差为 0.01，则 x 3 的相对误差为（ 2、设 A ） ； ） ；
0.6 0.5 ，则 A 0.3 0.1
2
=（
3、方程组 4、设
f 雅可比迭代
法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 （10 分）
五、设已给出 f ( x) 的数据表： x y 0.00 1.00000 0.25 1.65534 0.50 1.55152 0.75 1.06666
1
1.00 0.72159
分别用复化梯形法 (n 4) 与复化辛普生法 (n 2) 求积分 I f ( x)dx 的近似值。 0 （14 分）
5 x1 2 x2 1 ，Jacobi 收敛的迭代矩阵是 BJ =（ x 4 x 2 1 2
） ；
f ( x) x7 3x 1 ，则差商 f [20 ,21 ,...,28 ] =（
） ；
5、已知公式
1
0
f ( x)dx
1 3 2 f (0) f ( ) ，则代数精度为（ 4 4 3
四 、 求 一 个 次 数 不高于 四 次 的 多 项 式 P( x) ， 使它 满 足 P(0) P '(0) 0 ，
研究生数值分析期末考试试卷参考答案
研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。
2013年河海大学数值分析试卷课案
4 17 ，求分解 A 20
LDL T ，其中 D 是对焦阵， L 是单位下
三角阵。则 D=_____________________; L=_____________________ 。
《数值分析》 2013 级(A) 第 1 页 共 5 页
二、 (本题 12 分 ) (本题 10 分 )
求函数 f ( x) ln x ， x [1,2] 的一次最佳平方逼近多项式。
三、（本题 12 分）
给定数据表如下：
x
0.25 0.3
0.5
f(x) 0.5 0.54
0.72
分别用拉格朗日和牛顿插值法求 f(x) 的二次插值多项式，
《数值分析》 2013 级(B) 第 2 页 共 5 页
怎样才能避免这种情况 ?
_________________ .
3、写出求解非线性方程 x sin x 5 的牛顿迭代格式 ______________________________ __ ；
以及弦截法迭代格式
_________________
。
4、给定矩阵 A
12
0
4
，则 A 1
_________,
1 u0 1 ，迭代 2 次，写出结果。
1
《数值分析》 2013 级(B) 第 4 页 共 5 页
八、 (本题 12 分 )
0.5
f(x) 0.5 0.54
0.72
分别用拉格朗日和牛顿插值法求 f(x) 的二次插值多项式，
三、 (本题 10 分 )
求函数 f ( x) ln x ， x [1,2] 的一次最佳平方逼近多项式。
《数值分析》 2013 级(A) 第 2 页 共 5 页
研究生《数值分析》试卷(带答案)
一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-=0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξf f三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度. 解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++=1)(=x f 时：1110==⎰dx I 1]00[121]2[21=-+=n Ix x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ. 解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1541532345203203203202210a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H 解得 5,3=-=b a因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈11)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -= 得得Gauss 点：,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I 七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增 又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k kk k kk k k k x x x x x x x x x 令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.解： 由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c 37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛135152121137253125121211113112 即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .（注：原题中)(2h o 错误）解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n n n n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y 对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y 得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ， 即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。
研究生数值分析2012-2013试卷
山东科技大学 2012-2013 学年第一学期《数值分析》考试试卷[][][][]其收敛阶出的牛顿迭代格式，并指的写出求方程为正数，记设六、计算题插值多项式。
的三次写出时，已知当五、计算题差。
多项式，并估计平方误上的一次最佳平方逼近在区间求设函数四、计算题一个复化求积公式利用该求积公式构造等分，并记作）将区间（斯型，并说明理由；）判断该公式是否为高（数精度；代数精度，并指出其代，使其具有尽可能高的试确定求积系数给定求积公式：三、计算题差限。
的绝对误差限与相对误位有效数字，试分析均具有设二、计算题。
计算、设的值。
与计算、设一、计算题**211212121710610360)(,,)(ewton )(,5,2,3,1)(5,3,2,020)(,)(,,,1,0,1,2n 11-32,,)1()1()0()1()(365.3,1.12,,,,723226131,1252222222,13)(1x x f a x a a x x f N x f x f x x f x x f n k i ih x nh C B A Cf Bf Af d x f x x x x A A x x A x L f L f x x x f n n i x F ==-=====+-==++-≈+==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=++=⎰-∞并指出其精度。
写出改进的欧拉公式，，记取正整数题考虑常微分方程初值问八、计算题消去法求方程组的解。
用列主元迭代格式的敛散性；试分析迭代格式。
迭代格式与写出给定线性方程组七、计算题.0,,n ,)(),,(auss )3(eidel -auss )2(eidel -auss acobi )1(215702031-22-1'321n i ih a x n a b h a y b x a y x f y G S G S G J x x x i ≤≤+=-=⎩⎨⎧=≤≤=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡η。
大学硕士研究生《数值分析》考试试卷
**大学硕士研究生考试试卷— 学年第一学期（A 卷）考试科目: 数值分析 考试时间：120分钟出卷教师: 出卷时间: 阅卷负责人签名：一、(15分) 设dx x x I nn ⎰+=105),2,1,0(Λ=n （1）验证nI I n n 151=+- ),2,1(Λ=n ； （2）设计一种数值稳定的算法，并证明算法的稳定性.二、（15分）试构造方程组⎩⎨⎧=+=+423322121x x x x 能保证收敛的雅可比（Jacobi ）迭代格式及高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代格式,说明其收敛的理由.用 T x)0,0()0(=对高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代格式求迭代一步的近似解)1(x （取到小数点后5位）三、（10分）用列主元高斯消去法解下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++562436321321321xxxxxxxxx四、（10分）设初值问题:⎩⎨⎧=≤≤++=')0(10,122yxyxy,(1) 写出用Euler方法、取步长1.0=h解上述初值问题数值解的公式；(2) 写出用改进Euler方法、取步长1.0=h解上述初值问题数值解的公式。
五、（10分）用最小二乘法求解下列超定线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+212212121xxxxxx六、(10分)在区间[]1,0上利用压缩映像原理判断迭代格式Λ,1,0,411==+kex k xk的敛散性.七、(10分) 已知函数)(x f y =的数据如下：0235()1342x f x --(1) 求()f x 的三次牛顿（Newton ）插值多项式3()N x ;(2) 写出插值余项.八、(10分) 已知某河宽20m ，测得水深)(x f 如下表（单位：m ）:4.18.10.28.20.35.28.20.38.15.10.1)(20181614121086420k kx f x利用所有数据，用复合辛普森（Simpson ）公式计算河水的截面积dx x f ⎰20)(的近似值.九、（10分）求线性代数方程组Ax b =的数值解法主要有矩阵的直接分解法(如LU 分解法、Crout 分解法、Cholesky 分解法等)和迭代法（如Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法）.请你简述求解线性代数方程组Ax b =的直接分解法和迭代法这两类方法的不同点和相同点.。
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合肥工业大学2013级硕士研究生《数值分析》试卷(A)初稿
一、判断题 (下列各题，你认为正确的，请在题后的括号内打“√ ”，错误的打“×”，每题2
分，共10分) 1. 近似数*
3.200x =关于准确值 3.200678x =有4位有效数字。
( ) 2. 设(0,1,2,3)i x i =是互异的点，()(0,1,2,3)i l x i =是Lagrange 插值基函数，则
3
22
4()4i i
i x l x x
==∑. ( )
3. 设7
3
()32f x x x =-+，则差商1
2
3
4
5
6
7
[2,2,2,2,2,2,2]1f =。
( ) 4. 设A 是n 阶非奇异方阵，则解方程组A =x b 的迭代法收敛的充要条件是A 的谱半径
()1A ρ<。
( )
5. 解常微分方程初值问题的四阶Runge-Kutta 方法的整体截断误差是4
()O h ，其中h 是步长。
( )
二、填空题 (每空2分，共16分) 1. 设T
(2,1,3,4)=-x ，2543A -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
. 则 1||||x = , Cond()A ∞= .
2. 设20
()d I f x x =
⎰
，
若用梯形求积公式计算I ，结果是4；用Simpson 求积公式计算I ，结果是2. 则(1)f = .
3. 设S 是函数f 在区间[0,3]上满足第一类边界条件的的三次样条：
()()22
,01,()111,13,2
x x S x x a x b x ⎧≤≤⎪
=⎨-+-+≤≤⎪⎩ 则a = ，b = ，(3)f '= .
4. 设函数(0.8) 1.2,(0.9) 1.4,(1) 1.0,(1.1)0.2,(1.2)0.5f f f f f =-=-=-==, 步长
0.2h =，则用三点数值微分公式计算(1)f '的近似值为 .
5. 设函数()f x 是最高次项系数为1-的3次多项式，2()p x 是()f x 在节点1,0,1-上
的Lagrange 插值多项式, 则余项2()()f x p x -
= .
三(本题满分8分)
的近似值*
x 的相对误差限是0.01%，求*
x 至少应具有几位有效数字？
四(本题满分10分) 对下列方程组分别建立收敛的Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代格式，并说明理由。
1231231
23321015,
1045,21078.
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
--+=⎨⎪+-=⎩
五(本题满分10分) 用下列表中的数据求插值多项式
()p x ，使之满足()()i i p x f x =，
0,1,2i =，和0000()(),()()p x f x p x f x ''''==.
六(本题满分12分) (1) 确定2121,,,A A x x ，使下面的求积公式为Gauss 型求积公式
1
11221
()d ()()f x x A f x A f x -≈+⎰
.
(2) 用(1)中的两点Gauss 公式计算1
20
cos d I x x x =
⎰
的近似值。
七(本题满分12分) (1) 设2[,]f C a b ∈，*
x 是方程()0f x =的单根。
写出求*
x 的Newton
迭代格式；并证明求*
x 的Newton 迭代法至少是平方收敛的。
(2) 取初值011.5, 1.6x x ==，用弦截法求方程3
210x x --=在0 1.5x =附近的实根
*x .（只迭代两次）。
八(本题满分10分) 求拟合下列表中数据的1次最小二乘多项式1()p x ，取权1i ρ=，
0,1,2,3i =，并计算总误差Q .
九(本题满分12分) (a) 证明Euler 方法具有1阶精度。
(b) 用改进的Euler 方法求解下列初值问题，取步长0.5h =，
d 1,12,
d (1) 2.y y t t t y ⎧=+≤≤⎪⎨
⎪=⎩
.。