4.1 正交函数集的概念

第四章 连续信号与系统的频域分析
本章目标
1. 理解信号的正交分解思想； 2. 掌握周期信号的傅里叶级数； 3. 掌握非周期信号的傅里叶变换及其性质；理 解周期信号的傅里叶变换； 4. 掌握系统的频域分析方法； 5. 理解并能熟练应用采样定理；理解信号无失 真传输的条件。
引 言
引言：在LTI系统时域分析中，输入信号被分解成 冲激信号或阶跃信号的叠加（积分），然后利用 LTI系统的齐次性和叠加性可以推出系统的零状态 响应等于输入信号与系统冲激响应的卷积。 在本章中，我们将仍然沿用信号分解这一思想 对信号和系统进行分析，不过，我们将对信号在 正弦信号或虚指数信号组成的信号集合上做正交 分解，然后引出系统频率响应的概念，介绍系统 的频域分析方法。
1 2
则该函数集就称为区间[A1, A2]上的正交函数集。
4.1 正交函数集的概念 3. 完备正交函数集 定义：如果在正交函数集 { f n (t ) , n = 1,2 } 之外，找 不到另外一个非零函数与该函数集中每一个函数都 正交，则称该函数集为完备正交函数集。 完备正交函数集有很多，在实变函数域，常见的有 三角正交函数集：
2
2
1.5
1.5
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1.5 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
问：如何去除工频干扰？
引 言 正交函数集的引入：为便于进行信号分析，常 常将复杂的信号分解为一些基本信号的线性组 合，如在连续时间系统的时域分析中，以冲激 函数或阶跃函数作为基本信号。 信号的分解与向量的分解有相似之处，基本信 号除了冲激函数和阶跃函数，在现实世界中， 还有很多，但一般是在正交函数集的基础上进 行分解。
c3 V 3 V3 o V2 c2 V 2 V1
V2
c1V2 2
1
V
c1V1
V1
V c1 V 1
V c1V1 c2V2 c3V3
4.1 正交函数集的概念 1. 正交函数 任意两个函数f1(t) 和f2(t)，满足关系式：
ò
A2 A 1
f1 (t ) f 2 (t ) dt = 0
0 T 2
m¹n m=n
0 T 2
m¹n m=n
4.1 正交函数集的概念
cos nw0t × sin mw0t dt = 0 t0 ì * ï t0 +T jnw t 0 m¹n j m w t 0 0 dt = í ò t0 e × e ï î T m=n
ò
t0 +T
(
)
cosw0t或 e jw0t的周期。 式中 T = 2π / w0 为函数 sin w0t 、
引 言 • 回顾时域分析中对信号进行分解继而利用卷积求出 响应的思路: 信号的分解
时域分析: 频域分析: 复频域分析:
求响应
卷积积分 傅立叶变换 拉普拉斯变换
再迭加
(自变量为 t ) (自变量为
(t )
e j t
e
st
j )
(自变量为 S = +
j )
应用实例 应用实例：心电信号工频干扰滤除
cos0 = 1， sin0 = 0， 注意：在三角正交函数集中，当n=0时， 而0不应计在此正交函数集中，故三角正交函数集可具体写 为:
Biblioteka Baidu
{1, sin w t, sin 2w t, , cosw t, cos2w t, }
0 0 0 0
{sin nw t ,cosnw t, n = 0,1,2}
0 0
在复变函数域，常见的有复指数正交函数集：
{e
jnw0t
, n = 0,1,2
}
4.1 正交函数集的概念 对于三角正交函数集或复指数正交函数集，在 正交区间（t0 ，t0+T ）内，以下等式成立：
ì ï t0 +T ò t0 cos nw0t × cos mw0t dt = í ï î ì ï t0 +T ò t0 sin nw0t × sin mw0t dt = í ï î
则称f1(t) 和f2(t)在时间区间（A1，A2）正交。
4.1 正交函数集的概念 2. 正交函数集 正交函数集定义：设有一定义在区间[A1, A2]上的函数 集 { f n (t ) , n = 1,2 }，如果对于所有的 n1, n2 = 0,1, 2, 3, 都有：
ò
A2 A1
f n (t ) f n (t )dt = 0
补充：信号的正交分解 • 矢量的正交分解 1. 正交矢量
V2
9 0° o V1
点积：
V1 V2 V1 V2 cos90 0
补充：信号的正交分解 2. 矢量的分解
V c1V1 c2V2
式中，V1· V2=0
V cos1 V V1 c1 V1 V1 V1 V cos 2 V V2 c2 V2 V2 V2