应力计算

失效、安全系数和强度计算
什么是失效？
可以把断裂和出现塑性变形统称为强度失效
强度失效的两种表现形式为:脆性材料断裂；塑性材料出现塑性变形，由于不能保持原有的
形状和尺寸，已不能正常工作。

刚度失效：变形
受压细长杆的不稳定
脆性材料断裂时的应力是强度极限；塑性材料到达屈服时的应力是屈服极限，这两者都是构件失效时的极限应力
实际应力（工作应力、计算应力）应低于极限应力
安全系数必大于1
强度校核
强度条件：极限应力除以安全系数得出许用应力
许用应力作为构件工作应力的最高限值，即要求工作应力不超过许用应力
计算应力小于等于许用应力
许用应力等于极限应力除以安全系数
5．3许用应力和安全系数·单向应力状态下的强度条件
前面已经研究了杆内的应力，通过以上几节分析又了解了材料的力学性能，在此基础上就可以探讨杆件的强度计算问题。

先从杆在拉、压(单向应力状态)时的强度问题开始研究。

由前述分析可知，杆在拉，压时横截面上的应力为N A σ=，此应力又称工作应力，它是杆在工作时由荷载所引起的应力。

当杆件的尺寸给定时，它是随荷载的增加而增加的。

但是这种工作应力的增长将受到材料力学性能的限制。

对塑性材料而言，当杆内应力达到材料的屈服点s σ时，杆将产生明显的塑性变形。

这在工程中显然是不允许的。

同样，对于脆性材料而言，当杆件内的应力达到材料的强度极限b σ时，杆将发生破坏。

为了保证杆件在工作时不出现上述这两种情况，就必须使杆内的最大工作应力max σ低于某一限，该限值应小于材料的极限应力()jx s b σσσ或值，或可规定为材料极限应力jx σ值
的若干分之一。

这种把材料的极限应力值jx σ除以一大于一的系数而得的应力
值，称为材料的许用应力值，以[σ]表示，即
式中
jx σ为材料的极限应力，在常温静载荷条件下，对于塑性材料jx s σσ=；对于脆性材料jx b σσ=。

n 为规定的安全系数，在一般的强度计算中，通常对塑性材料可取n=1．5～2．0，对脆性材料则取，n=2．5～3．0，甚至更大。

这主要是因为脆性材料的破坏多以断裂为标志，而塑性材料的破坏则以开始发生一定程度的塑性变形为标志，两者的危险性明显不同。

且脆性材料的强度指标值的分散性也较大因此，对脆性材料应多给予一些强度储备。

由于安全系数的选取并不单纯是个力学问题，还必须综合的考虑工程和经济等多方面的因素。

故对不同的构件规定适当的安全系数是个十分严肃而慎重的问题，这里不再赘述。

材料的许用应力[σ]确定后，为了保证杆件在拉、压时不致因强度不足而破坏，只需杆内的最大工作应力max σ不超过材料在拉(压)时的许用应力[σ]即可，即
此条件也称为杆在拉(压)时的强度条件。

对于常用的塑性材料，如低碳钢之类，其拉伸和压缩时的屈服极限值基本相同。

故材料的抗拉(压)许用应力可取相同的值。

这样做是合理的，也极大地方便了工程构件的设计和计算。

但对于铸铁之类的脆性材料，其抗拉和抗压的强度极限存在明显的差异，故其抗拉(压)许用应力应取不同的值。

上述强度条件是建立在直接试验的基础上的，对于受载情况比较简单的构件(拉、压杆或等直圆杆受扭)，这样做是直观的，也是合理的。

实际上，即便构件中的受载情况比较复杂，只要构件内危险点处的应力处于单向应力状态，强度条件均可写成
比如梁弯曲时，其最大正应力发生在梁横截面上距中性轴最远的上下边缘各点处，其应力状态为单向应力状态，故梁在该处的强度条件(亦称为梁的正应力强度条件)写作
公式(5-2b)实际是直接根据试验，由比较杆的最大工作应力max σ和材料的许用应力[σ]
而得到的，即它是建立在直接实验的基础上的。

需要强调的是，公式中的[σ]是直接由单向拉(压)试验测得的材料的jx σ除以安全系数n 得到的。

以拉压杆为例，根据强度条件可解决工程上常遇到的三类强度计算问题。

(1)强度校核：若已知构件的尺寸及其所承担的荷载和材料的许用应力，即可用强度条件来验算构件是否满足强度要求。

(2)截面计算：若已知构件所承担的荷载及材料的许用应力，则可由强度条件来确定构件截面面积及尺寸。

为此，可将公式(5—2a)改写为
式中A 是实际选用的横截面面积，而数值[]max
N σ则是为了正好满足强度条件，构件所必须的横截面面积。

，
(3)许可荷载确定：若已知构件的尺寸及材料的许用应力，则由强度条件可确定构件所能承受的最大内力。

此时公式(5-2a)可改为
根据构件所能承受的最大内力，就可确定机器或结构的许可荷载。

工程上常用材料在一般情况下的许用拉(压)应力列于表5-2中。

以上讨论适用于杆件处于单向应力状态的情况。

例题5-1 简易起重设备(例题5-1图（a)）中，AC 杆由两根80×80×7等边角钢组成。

AB 杆由两根10号工字钢组成。

材料为Q235钢，许用应力[ ]=170MPa 。

求许可载荷
[P]。

解：(1)先求AC 杆和AB 杆的轴力12N N 和与载荷P 的关系。

取节点A 为研究对象，
并假设1N 为拉力，2N 为压力。

其受力图如例题5-1图(b)所示.节点A 的平衡方程为
112
解得
(2)计算各杆的许可轴力。

由型钢表查得AC 杆的横截面面积1A =1086×-6210m ×
2=2172×-6210m ，AB 杆的横截面面积2A =1430×-6210m ×2=2860×-6210m 根据强度
条件中
并将1A ,2A 分别代入此式，得到许可轴力为
(3)将[1N ]和[2N ]分别代入式(5-3)，便得到按各杆强度要求算出的许可荷载为
如果把280．7kN 作为该结构的许可荷载，则AB 杆的工作应力恰好是许用应力，但AC 杆的工作应力将超过许用应力，所以该结构的许可荷载应取[P]=184．6kN 。

事实上，压杆的许用应力在考虑到压杆的稳定性时还应减小。

本例中AB 杆在许可荷载下的稳定性计算，将在第7章中的例题予以介绍。

例题5-2 由铸铁制造的外伸梁，受力及横截面尺寸如例题5-2图所示。

其中z 为中性轴。

已知铸铁的拉伸许用应力[t σ]=39．3MPa ，压缩许用应力为[c σ]=58.8MPa ，z I =7.65×6410mm ，试校核梁强度。

解：梁的弯矩图如例题5-2图(b)所示。

由于梁的截面没有水平对称轴，故其横截面上的最大拉、压应力不等。

铸铁梁的拉伸、压缩许用应力亦不等，所以截面D 上弯矩虽比B 截面上的小。

但D 截面下边缘各点受拉应力，且受拉边到中性轴的距离较大，拉应力亦较大。

而材料的拉伸许用应力比压缩许用应力低，所以D 截面也可能是危险截面。

现分别考察B 、D 、两个截面的强度。

对于截面B 弯矩为负，其绝对值为
B 截面上的最大拉应力位于截面的上边缘而最大压应力位于截面的下边缘。

所以
对于D 截面，弯矩为正。

而该截面上的最大拉应力位于截面的下边缘，最大压应力则在截面的上边缘。

由于D 截面上的最大压应力要比B 截面上的最大压应力小，故不予考虑，只需校核截面上的最大拉应力。

故D 截面的强度并不安全，亦即该梁的强度不安全。

第四节 许用应力·安全系数·强度条件
由脆性材料制成的构件，在拉力作用下，当变形很小时就会突然断裂，脆性材料断裂时的应力即强度极限σb ；塑性材料制成的构件，在拉断之前已出现塑性变形，在不考虑塑性变形力学设计方法的情况下，考虑到构件不能保持原有的形状和尺寸，故认为它已不能正常工作，塑性材料到达屈服时的应力即屈服极限σs 。

脆性材料的强度极限σb 、塑性材料屈服极限σs 称为构件失效的极限应力。

为保证构件具有足够的强度，构件在外力作用下的最大工作应力必须小于材料的极限应力。

在强度计算中，把材料的极限应力除以一个大于1的系数n （称为安全系数），作为构件工作时所允许的最大应力，称为材料的许用应力，以[σ]表示。

对于脆性材料，许用应力
b b n σσ=
][ （5-8）
对于塑性材料，许用应力 s s n σσ=
][ （5-9） 其中b n 、s n 分别为脆性材料、塑性材料对应的安全系数。

安全系数的确定除了要考虑载荷变化，构件加工精度不同，计算差异，工作环境的变化等因素外，还要考虑材料的性能差异（塑性材料或脆性材料）及材质的均匀性，以及构件在设备中的重要性，损坏后造成后果的严重程度。

安全系数的选取，必须体现既安全又经济的设计思想，通常由国家有关部门制订，公布在有关的规范中供设计时参考，一般在静载下，对塑性材料可取0.2~5.1=s n ；脆性材料均匀性差，且断裂突然发生，有更大的危险性，所以取0.5~0.2=b n ，甚至取到5~9。

为了保证构件在外力作用下安全可靠地工作，必须使构件的最大工作应力小于材料的许用应力，即
][max max σσ≤=A N （5-10）
上式就是杆件受轴向拉伸或压缩时的强度条件。

根据这一强度条件，可以进行杆件如下三方面的计算。

1．强度校核 已知杆件的尺寸、所受载荷和材料的许用应力，直接应用（5-10）式，验算杆件是否满足强度条件。

2．截面设计 已知杆件所受载荷和材料的许用应力，将公式（5-10）改成][σN A ≥
，由强度条件确定杆件所需的横截面面积。

3．许用载荷的确定 已知杆件的横截面尺寸和材料的许用应力，由强度条件][max σA N ≤确定杆件所能承受的最大轴力，最后通过静力学平衡方程算出杆件所能承担的最大许可载荷。

例5-4 一结构包括钢杆1和铜杆2，如图5-21a 所示，A 、B 、C 处为铰链连接。

在节点A 悬挂一个G=20kN 的重物。

钢杆AB 的横截面面积为A 1=75mm 2，铜杆的横截面面积为A 2=150mm 2。

材料的许用应力分别为][1σ=160MPa ，][2σ=100MPa ，试校核此结构的强度。

图5-21
解：（1）求各杆的轴力
取节点A 为研究对象，作出其受力图（图5-21b ），图中假定两杆均为拉力。

由平衡方程
045sin 30sin ,012=︒-︒=∑X N N
030cos 45cos ,
021=-+=∑Y G N N
解得 kN 4.101=N kN 6.142=N
两杆横截面上的应力分别为
a a A N MP =P ⨯⨯==-1391075104.1063
111σ
a A N MP =⨯⨯==-6.9710150106.1463
222σ
由于a a M P =<M P =<100][,160][2211σσσσ，故此结构的强度足够。

例5-5 如图5-22a 所示，三角架受载荷Q=50kN 作用，AC 杆是圆钢杆，其许用应力
][1σ=160MP a ；BC 杆的材料是木材，圆形横截面，其许用应力][2σ=8MP a ，试设计两杆的直径。

图5—22
解： 由于][1σ、][2σ已知，故首先求出AC 杆和BC 杆的轴力N 1和N 2，然后由][11
1σN ≥A ，][22
2σN ≥A 求解。

（1） 求两杆的轴力
取节点C 研究，受力分析如图5-22b ，列平衡方程
030cos 30cos ,0=--=∑X ︒︒BC AC N N
解得 AC BC N N -=
030sin 30sin ,
0=--=∑Y ︒︒Q N N BC AC
解得
N AC =Q=50kN (拉)
N BC = - N AC = -50kN (压) （2） 求截面直径
分别求得两杆的横截面面积为 2
2426322
22
2426311
1cm 5.62m 105.62m 1081050][cm 13.3m 1013.3m 101601050][=⨯=⨯⨯=≥A =⨯=⨯⨯=≥A --σσN N 直径 cm 9.84,cm 0.242211≥=≥=ππA d A d
例5-6 图5-23所示某冷镦机的曲柄滑块机构，镦压时，截面为矩形的连杆AB 处于水平位置，高宽比h/b=1.2，材料为45钢，许用应力[σ]=90MPa 。

若不考虑杆的自重，已知镦压力P=4500kN ，试按照强度条件确定h 、b 的大小。

图5-23
解：如图5-23b 所示，AB 杆为轴向压缩，由截面法可得连杆的轴力数值大小为
N=P=4500kN 将强度条件改写为][σN A ≥
，由于22.1b bh A ==，所以
22.1b ][σN ≥
即 m 204.0m 10902.1104500][2.163=⨯⨯⨯=≥σN b
h=1.2b ≥0.245m
例5-7 图5-24a 所示的三角架由钢杆AC 和木杆BC 在A 、B 、C 处铰接而成，钢杆AC 的横截面面积为A AC =12cm 2，许用应力[σ1]=160MP a ，木杆BC 的横截面面积A BC =200cm 2,许用应力[σ2]=8MP a ，求C 点允许起吊的最大载荷P 为多少？
图5-24
解： （1）求AC 杆和BC 杆的轴力
取节点C 研究，受力分析如图5-24b 所示，列平衡方程
,0=∑X -N AC cos300-N BC =0
,0=∑Y N AC sin300 - P=0
解得
)(3)(2压拉P N P N BC AC -==
（2）求许可的最大载荷P
由公式（5-10）得到N AC ≤A AC [σ1]，即
2P ≤12⨯10-4⨯160⨯106N ， P 1≤96kN
同样，由公式（5-10）得到 N BC ≤A BC [σ2]，即
N 1081000236-4⨯⨯⨯≤P ， P 2≤92.4kN
为了保证整个结构的安全，C 点允许起吊的最大载荷应选取所求得的P 1、P 2中的较小值，即92.4kN ][max =P 。