指数函数与对数函数的关系反函数
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点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
a＝f－1(b)
例5：已知函数（ f x） x 2 （ 1 x 2） 求出f （4）的值。
1
解：令 x 1 4，解之得：x 5
2
又 x 2， x 5.
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
域
(0,+∞)
对应法则互逆
称这两个函数互为反函数
指数函数y=ax是对数函数 x =log a y ( a >0, a ≠ 1) 的反函数
指数函数 y = a x ( a >0, a ≠ 1)
反 函 数
对数函数 y =log a x ( a >0, a ≠ 1)
y
y2
x
y x
y log 2 x
指数函数与对数函数 的关系
问题1： 指数函数y=ax与对数函数y=loga x(a>0,a≠1) 有什么关系?
y=ax
指数换对数
x=loga y
交换x,y
y=loga x
对应法则互逆
指数函数y=ax与对数函数x=loga y(a>0,a≠1) 有什么关系?
函 数 自变量 因变量 定义域 值
y=ax x=loga y x y y x R (0,+∞) R
作业
课本第106页练习 A组B组
x (1)y=5
2 2y . 3
x
解(1)指数函数y=5x,它的底数是5 它的反函数是对数函数 y=log5x; (2)指数函数
2 y 3
x
,它的底数是
3
它的反函数是对数函数 y log2 x
2 3
,
练习 1.说出下列各组函数之间的关系: (1)y=10x和y=lgx； 互为反函数, (2)y=2x和y=log2x; 定义域和值域互换, 对应法则互逆 (3)y=ex和y=lnx.
y
ｙ＝ｘ ｙ＝3ｘ－2
x 0
ｘ＋2 ｙ＝ 3
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数
ｘ＋2 ｙ＝ 的图象之间有什么关系？ 3
求函数反函数的步骤: 1 反解 2 x与y互换
3 求原函数的值域
4 写出反函数及它的定义域
y Q(a,b) (0,1) O
y=2x y=x P(b,a) (1,0)
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
a＝f－1(b)
理论迁移
例4 已知函数 f ( x) log 2 (1 2 ) . （1）求函数f(x)的定义域和值域； （2）求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称.
x
小结 指数函数 y = a x ( a >0, a ≠ 1) 与 反函数的概念 对数函数 y=log ax( a>0, a≠ 1) 互为反函数 定义域和值域互换 对应法则互逆 图像关于直线y=x对称
(0,1) 函数 y=f(x) 的图像和 O (1,0) 它的反函数的图像 关于直线y=x对称
P(a,b)
y=log2x x
• 1 ．当一个函数是一一映射时，可以把这个 函数的因变量作为一个新的函数的自变量， 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变 量，我们称这两个函数互为反函数。 • 2 ．对数函数 y=loga x 与指数函数 y=ax 互为反 函数，图象关于直线y=x对称。 • 3 ．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x) 表 示。 注意：y＝f －1(x) 读作：“f逆x” 表示反函数，不是 -1 次幂（倒数） 的意思
2
例3 求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同 一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。
ｙ＋2 解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R ）得ｘ＝ 3
所以ｙ＝2ｘ－1（ｘ∈R）的反函数是
ｘ＋2 ｙ＝ 3
（ｘ∈R ）
ｙ＝3ｘ－2
经过两点（0，－2）， （2/3，0）
ｘ＋2 ｙ＝ 经过两点（－2，0）， （0 ，2/3 ） 3
练习 2.写出下列对数函数的反函数:
(1)y=log2.5x; (2)y=logπx;
3 y log 1 x.
x
(1)y=2.5x
(2)y=πx
1 3y 3
3
x
3.写出下列指数函数的反函数:
(1)y=4x; (2)y=1.4x;
(1)y=log4x
3y . 2 (2)y=log1.4x 3y log x
y=log2x x
结论:
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
a＝f－1(b)
[例4]函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象
经过点(1, 4)，求a的值. 解:依题意,得
1 loga (4 1)
即 : loga 3 1,a 3.
例1 写出下列对数函数的反函数:
(1)y =lgx; 2 y log x. 1
3பைடு நூலகம்
解 (1)对数函数y=lgx,它的底数是 10 它的反函数是指数函数 y=10x
1 (2)对数函数 y log1 x, 它的底数是 3 x 3
1 它的反函数是指数函数 y . 3
例2 写出下列指数函数的反函数:
0
x
1 x y( ) 2
y
y x
0
x
y log 1 x
2
y 10
x x
y
y2
y x
y log 2 x
y log 10 x
0
x
1 x y( ) 10 1 x y y( ) 2
y x
0
x y log
2
1 10
x
y log 1 x
观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的 图像,分析它们之间的关系. y 函数 y=log 2x的图像与 函数 y =2 x 的图像关于 直 线 y = x 对 称 Q(a,b) y=2x y=x
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
a＝f－1(b)
例5：已知函数（ f x） x 2 （ 1 x 2） 求出f （4）的值。
1
解：令 x 1 4，解之得：x 5
2
又 x 2， x 5.
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
域
(0,+∞)
对应法则互逆
称这两个函数互为反函数
指数函数y=ax是对数函数 x =log a y ( a >0, a ≠ 1) 的反函数
指数函数 y = a x ( a >0, a ≠ 1)
反 函 数
对数函数 y =log a x ( a >0, a ≠ 1)
y
y2
x
y x
y log 2 x
指数函数与对数函数 的关系
问题1： 指数函数y=ax与对数函数y=loga x(a>0,a≠1) 有什么关系?
y=ax
指数换对数
x=loga y
交换x,y
y=loga x
对应法则互逆
指数函数y=ax与对数函数x=loga y(a>0,a≠1) 有什么关系?
函 数 自变量 因变量 定义域 值
y=ax x=loga y x y y x R (0,+∞) R
作业
课本第106页练习 A组B组
x (1)y=5
2 2y . 3
x
解(1)指数函数y=5x,它的底数是5 它的反函数是对数函数 y=log5x; (2)指数函数
2 y 3
x
,它的底数是
3
它的反函数是对数函数 y log2 x
2 3
,
练习 1.说出下列各组函数之间的关系: (1)y=10x和y=lgx； 互为反函数, (2)y=2x和y=log2x; 定义域和值域互换, 对应法则互逆 (3)y=ex和y=lnx.
y
ｙ＝ｘ ｙ＝3ｘ－2
x 0
ｘ＋2 ｙ＝ 3
想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数
ｘ＋2 ｙ＝ 的图象之间有什么关系？ 3
求函数反函数的步骤: 1 反解 2 x与y互换
3 求原函数的值域
4 写出反函数及它的定义域
y Q(a,b) (0,1) O
y=2x y=x P(b,a) (1,0)
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
a＝f－1(b)
理论迁移
例4 已知函数 f ( x) log 2 (1 2 ) . （1）求函数f(x)的定义域和值域； （2）求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称.
x
小结 指数函数 y = a x ( a >0, a ≠ 1) 与 反函数的概念 对数函数 y=log ax( a>0, a≠ 1) 互为反函数 定义域和值域互换 对应法则互逆 图像关于直线y=x对称
(0,1) 函数 y=f(x) 的图像和 O (1,0) 它的反函数的图像 关于直线y=x对称
P(a,b)
y=log2x x
• 1 ．当一个函数是一一映射时，可以把这个 函数的因变量作为一个新的函数的自变量， 而把这个函数的自变量作为新的函数的因变 量，我们称这两个函数互为反函数。 • 2 ．对数函数 y=loga x 与指数函数 y=ax 互为反 函数，图象关于直线y=x对称。 • 3 ．函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x) 表 示。 注意：y＝f －1(x) 读作：“f逆x” 表示反函数，不是 -1 次幂（倒数） 的意思
2
例3 求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同 一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。
ｙ＋2 解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R ）得ｘ＝ 3
所以ｙ＝2ｘ－1（ｘ∈R）的反函数是
ｘ＋2 ｙ＝ 3
（ｘ∈R ）
ｙ＝3ｘ－2
经过两点（0，－2）， （2/3，0）
ｘ＋2 ｙ＝ 经过两点（－2，0）， （0 ，2/3 ） 3
练习 2.写出下列对数函数的反函数:
(1)y=log2.5x; (2)y=logπx;
3 y log 1 x.
x
(1)y=2.5x
(2)y=πx
1 3y 3
3
x
3.写出下列指数函数的反函数:
(1)y=4x; (2)y=1.4x;
(1)y=log4x
3y . 2 (2)y=log1.4x 3y log x
y=log2x x
结论:
点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上
b＝f(a)
点（b,a）在反函数y＝f－1(x) 的图像上
a＝f－1(b)
[例4]函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象
经过点(1, 4)，求a的值. 解:依题意,得
1 loga (4 1)
即 : loga 3 1,a 3.
例1 写出下列对数函数的反函数:
(1)y =lgx; 2 y log x. 1
3பைடு நூலகம்
解 (1)对数函数y=lgx,它的底数是 10 它的反函数是指数函数 y=10x
1 (2)对数函数 y log1 x, 它的底数是 3 x 3
1 它的反函数是指数函数 y . 3
例2 写出下列指数函数的反函数:
0
x
1 x y( ) 2
y
y x
0
x
y log 1 x
2
y 10
x x
y
y2
y x
y log 2 x
y log 10 x
0
x
1 x y( ) 10 1 x y y( ) 2
y x
0
x y log
2
1 10
x
y log 1 x
观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的 图像,分析它们之间的关系. y 函数 y=log 2x的图像与 函数 y =2 x 的图像关于 直 线 y = x 对 称 Q(a,b) y=2x y=x