多个独立坐标系的统一方法

多个独立坐标系的统一方法
摘要：现在测绘界各方人士对线路多个独立坐标系的统一方法及其应用也有很多独特的见解，而且也得出了好多相应的转换方法，本文对四参数法、椭球膨胀法和子午线收敛角法展开详细论述。

关键词：四参数法；独立坐标系；统一方法
1、四参数法平面坐标系统相互转换的数学模型
将一个平面坐标系统转换为另一个平面坐标系统时,称前者为原始坐标系, 记为( x , y ) ; 后者为目标坐标系, 记为( X , Y) 。

那么坐标转换公式为
(1) : X = Δx + (1 + k) (cosαx + sinαy)
Y = Δy + (1 + k) ( - sinαx + cosαy)
式中, (Δx ,Δy) 为平移因子,α为旋转因子, k 为尺度因子。

令:Δx = a Δy = b (1 + k) cosα = c(1 + k) sinα = d
那么式（2）可简写为: X = a + cx + dy Y = b - dx + cy
式中存在2个平移参数X0、Y0，1个旋转参数a，1个尺度变化参数k。

至少需要4个方程才可以解算出模型中的4个参数，而每个控制点用X、Y来表示，因此两个坐标系之间必须至少联测2个控制点，列误差方程,利用最小二乘法求解，求得4个参数，进而将其他所有的点换算到一个统一的坐标系下。

由于转换参数精度取决于两个因素:一是两套已知坐标本身的精度。

二是确定转换参数的法方程系数阵的逆阵，即取决于公共点的几何分布。

对于一个小区域，各公共点分布相对于地球半径和地球本身来说，是很靠近的。

因此该方法要求公共点的分布范围较大、较广，一般适合于国家区域或较大区域的坐标转换。

但点位相对较少，还远未达到为各地工程网提供服务的程度。

理论上说，只要地方坐标足够精确，公共点分布合理，而且分布范围要足够大，这种求解方法能够很好地获得转换精度。

但是这些所谓的“公共点”其实它们是野外实测得来的，野外实测时，测量仪器、测量人员、测量环境等等都会影响测定公共点位的精度，所以还是不能从根本上解决问题。

而且选取的公共点一般也就是相隔4、5百米左右，而一个独立坐标系所覆盖的实地长度都达到几十公里甚至几百公里，用4、5百米的距离来控制几十公里甚至几百公里，显然其精度就很难达到很精密。

并且当一条公路或铁路需要建立多个独立坐标系时，某一控制点的精度不仅影响它所临近的两个独立坐标系的转换，而且还会影响后面坐标系的转换，且离该公共点越远的坐标系，其影响转换的幅度越大，也就是说呈连锁反应。

如果我们将问题模型化，通过在数学模型上找出不同坐标系之间的转
换参数，那么就可以完全避免因测量精度引起的不必要的误差。

2、椭球膨胀原理
我们可以将高斯投影面扩张到具体工程合适的指定的平面上，然后再进行平差计算，即我们通常所说的椭球膨胀法。

其原理：首先得到国家大地基准下的坐标，再通过椭球膨胀，将该坐标转换投影到指定高程面的参考椭球面上，最后通过中央子午线变换进行投影变换，得出独立坐标系的坐标。

该椭球处于平均高程面上，该椭球的中心、轴向、和扁率与国家参考椭球相同，仅其长半径有一变值△a。

椭球膨胀法如图) 所示。

（1）确定项目中心区域的纬度B和经度L。

（2）通过地球重力场模型获取项目中心区域的高程异常ξ。

（3）将指定投影高程面的正常高h与上面所得到的高程异常相加，得出投影高程面的大地高。

（4）按下面公式计算新椭球的长半轴变化量da。

将微分得，
有所以
式中a———国家参考椭球长半径；
N———相应的地方独立控制网原点的卯酉圈曲率半径；
B———测区中心区域的纬度；
（5）计算新椭球的长半轴。

（6）将原来基准下的所有坐标转换为三维直角坐标，将三维直角坐标在新椭球为基准进行投影，得到新椭球坐标系指定高程面下的平面坐标。

坐标变化量计算公式：当平均曲率半径变动△h而导致长半径相应地变动△a时,可使各点的大地纬度随之而变动,对于将已知点的坐标转换到地方独立椭球面上（即托球膨胀后的参考椭球面），计算公式为：
①当已知点的坐标为大地坐标时，可按下式计算：
式中，
B、L、H为已知点的大地坐标值。

可以看出椭球膨胀不改变经度L。

②当已知点的坐标为空间直角坐标时，可按下式计算：
式中X、Y、Z为已知点的空间直角坐标，b1为地方独立椭球的短半轴,e’为椭球的第二偏心率。

在采用上式计算大地纬度B1时,须采用迭代计算，可以看出椭球膨胀不改变经度L。

在对所有点的坐标进行上述转换后，按选定好的测区中央子午线计算高斯平面坐标，再在高斯平面上进行平移、旋转变换，最终得到属于地方独立坐标系的坐标成果。

采用椭球膨胀法时，经过投影后所得到的平面坐标在数值上与国家参考椭球的椭球面上的平面坐标接近，只是进行了相应的比例缩放。

3、子午线收敛角法
1.子午线收敛角公式
（1）子午线收敛角的概念
如图所示，、及分别为椭球面点、过点的子午线及平行圈在高斯平面上的描写。

由图可知，所谓点子午线收敛角就是在上的切线与坐标北之间的夹角，用表示。

在椭球面上，因为子午线同平行圈正交，又由于投影具有正形性质，因此它们的描写线及也必正交，由图可见，平面子午线收敛角也就是等于在点上的切线同平面坐标系横轴的倾角。

（2）实用公式
已知大地坐标计算子午线收敛角
已知平面坐标计算子午线收敛角
2.坐标的统一
我们要对两个甚至多个坐标系进行衔接那么我们必须搞清他们之间的原理，地方坐标系与地方坐标系之间存在一种旋转与平移的关系。

因此，进行两坐标系转换的最直接办法是求算地方坐标系相对于地方坐标系的旋转角度和平移量。

具体步骤如下：
（1）.计算地方系1相对地方系2的旋转角a。

在高斯-克吕格投影中，除中央经线投影为直线外，其余经线均对称并收敛于中央经线。

根据国家坐标系和地方坐标系的建立原则，国家与地方两坐标系的夹角即为子午线收敛角。

那么已知某地方原点的经纬度，利用子午线收敛角公式可计算地方坐标系1相对于地方坐标系2的旋转角度a，也就说两个坐标系间的原点在两个独立坐标系中的子午收敛角的夹角就是两个坐标系统一时所旋转的角度。

将两个坐标系统一，就是为了将两个坐标系下的所有点换算到一个统一的坐标系并使所有点的综合变形调整为最小，那么原来在两坐标系下存在的子午线收敛角自然也就均为0了，所以两个坐标系统一时所旋转的角度就是两个坐标系的连接点p在两个坐标系下子午收敛角之间的夹角。

所以我们还可以利用这种方法实现上述两个独立坐标系的转换。

在这里我们简要介绍一下：
在指定的独立坐标系O和O’中，我们可以知道它们连接处点的大地坐标值,设为p(B、L),那么利用公式分别算出点P在独立坐标系O和O’中的坐标值（xp、yp、zp）和（xp’、yp’、zp’）,那么其两个独立坐标系在三个方向上的平移量就是,,。

同时利用子午收敛角的计算公式,式中l为经差。

那么就可以求得点P在两个独立坐标系中的子午收敛角r和r’,这样就得到两个独立坐标系平移后的旋转角度为。

我们还可以根据两个公共点在两个坐标系的夹角可以计算出旋转参数。

为了避免误差，我们在公共点旁边选择两个公共点，分别计算出两个点在坐标1和坐标2的地方坐标，然后计算出两个点分别人在坐标1和坐标2的方位角，那么两个方位角的差值即为两个坐标系的旋转角。

（2）.计算平移量
平移量(X0, YO)即为地方坐标系1的公共点在地方坐标系2中的坐标差值。

我们只要知道地方坐标系1和坐标系2的一个公共点，那么
X0=X1-X2; Y0=Y1-Y2;
（3）.进行坐标变换
根据地方坐标系与地方坐标系之间的关系，推出其转换公式如下:
结束语
这种方法从头至尾，我们都没有用野外实测得到的点，全部是从椭球体模型中，结合数学公式，用理论知识，推算出两个独立坐标系的转换参数，完全避免了由于实测精度而引起的不必要的转换误差。

同时前两个独立坐标系的转换精度不会影响后面独立坐标系的转换，因为它们都是独立进行的。

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