线面垂直的性质定理习题含详细答案

剖析直线与平面垂直的性质定理 (1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么 结论. (2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两 条直线都与同一个平面垂直). (3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系， 提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据. (4)定理的推证过程采用了反证法.
【典例训练】 1.(2012·浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平 面( ) (A)若l∥α,l∥β，则α∥β (B)若l∥α，l⊥β，则α⊥β (C)若α⊥β,l⊥α,则l⊥β (D)若α⊥β, l∥α,则l⊥β
2.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1= 2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC. (1)求证：D1C⊥AC1; (2)设E是DC上的一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并 说明理由.
【解析】1.选B. 若l∥α,l∥β，则α,β可能相交，故A错；若l∥α， 则平面α内必存在一直线m与l平行，又l⊥β，则m⊥β，又 m⊂α，故α⊥β,故B对；若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,故C错;若 α⊥β,l∥α，则l与β关系不确定，故D错．
2.(1)连接C1D,∵DC=DD1, ∴四边形DCC1D1是正方形,∴DC1⊥D1C. ∵AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D, ∴AD⊥平面DCC1D1. 又D1C⊂平面DCC1D1,∴AD⊥D1C. 又AD∩DC1=D, ∴D1C⊥平面ADC1，∴D1C⊥AC1.
2.如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且 AE=AB=2a，CD=a，F为BE的中点. 求证：DF∥平面ABC.
【解析】1.选B. 若l∥α,l∥β，则α,β可能相交故A错；若l∥α， 则平面α内必存在一直线m与l平行，则m⊥β，又m⊂α，故 α⊥β,故B对；若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,故C错;若α⊥β,l∥α则l 与β关系不确定，故D错．
【规范答题】∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. ………………………………………………4分 又CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD.又∵AE⊂平面 PAD，∴AE⊥DC. ………………………………………………8 分 又∵AE⊥PD，PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD. 又∵l⊥平面PCD，∴AE∥l. ……………………………12分
【规范训练】(12分)在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，且 四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于E，l⊥平面PCD，求证：l∥AE.
【解题设问】(1)本题给出的条件中都有哪几类垂直关系？ _线__面__垂__直__和__线__线__垂__直__. (2)若证线线平行，可利用的根据是什么？ 只要证得__A_E_⊥__平__面__P__C_D,利用__线__面__垂__直__的__性__质__定理,即可证明 l∥AE.
线面平行
∵FD∥CG, CG⊂平面ABC， ∴DF∥平面ABC.
【思考】解答题1，2的关键是什么？ 提示：(1)解答题1的关键是利用题中的垂直关系证得a与l垂直 于同一个平面. (2)解答题2的关键是在平面ABC中找一直线与直线DF平行.
线面垂直的性质的综合应用 【技法点拨】线面垂直与平行的相互转化 (1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平 行可以相互转化.每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与 平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的. (2)转化关系： 线线垂直 判定 定定 义理 线面垂直 性定 质理 定 理 线线平行
直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：垂直于同一平面的两条直线__平_行___.
a⊥α (2)符号语言：
b⊥α (3)图形语言：
⇒__a_∥__b_.
(4)作用：①线面垂直⇒__线__线__平__行__；②作平行线.
1.垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗？ 提示：共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的， 故能确定一个平面. 2.三角形的两边可以垂直于同一个平面吗？ 提示：不可以.若垂直于同一个平面，则这两条边平行，不能构 成三角形.
3.点P到平面四边形ABCD四个顶点的距离相等，则四边形ABCD
是( )
(A)某圆的内接四边形 (B)某圆的外切四边形
(C)正方形
(D)任意四边形
4.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与BD的位置关系是 _____.
5．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且 AB∥CE. 求证：CE⊥平面PAD.
(2)空间中两直线平行的判定 ①线线平行的定义：证共面且无公共点. ②平行公理. ③线面平行的性质定理. ④面面平行的性质定理. ⑤线面垂直的性质定理.
【典例训练】 1.设l是直线，α，β是两个不同的平面( ) (A)若l∥α,l∥β，则α∥β (B)若l∥α，l⊥β，则α⊥β (C)若α⊥β,l⊥α,则l⊥β (D)若α⊥β, l∥α,则l⊥β
3.过一点有几条直线与已知平面垂直？ 提示：有且只有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直， 由两条直线均与同一平面垂直的性质定理可得这两条直线平行， 应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.
4.垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_____. 【解析】垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可由两个平 面平行的判定定理推得. 答案：平行
【规范解答】线面垂直证线线平行 【典例】(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB 上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC. 求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点.
【解题指导】
【规范解答】(1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D. ………………………………………………………………1分 又∵CD⊥平面ADD1A1①，∴CD⊥AD1.……………………3分 ∵A1D∩CD=D, ∴AD1⊥平面A1DC.②………………………………………4分 又MN⊥平面A1DC,∴MN∥AD1.……………………………6分
(2)如图，连接AD1,AE,D1E,
D1
C1
设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N， A1
B1
连接MN.
M
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，
要使D1E∥平面A1BD，需使
D
E C
N
MN∥D1E，
A
B
又M是AD1的中点，∴N是AE的中点，又易知△ABN≌△EDN，
∴AB=DE.即E是DC的中点.
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.
直线与平面垂直的性质
1.了解用反证法证明直线与平面垂直的性质定理的证明过程. 2.理解直线与平面垂直的性质定理. 3.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用以及“平行”与“垂 直”之间的相互转化.
1.本课重点是直线与平面垂直的性质定理及其应用. 2.本课难点是利用线面垂直的判定和性质定理进行证明时的 “平行”与“垂直”之间的相互转化.
达标训练
1.直线l垂直于平面α，m⊂α，则有( )
(A)l∥m
(B)l和m异面
(C)l和m相交
(D)l和m不平行
2.已知l与m是两条不同的直线，且直线l⊥平面α，①若直 线m⊥l，则m∥α；②若m⊥α，则m∥l；③若m⊂α，则m⊥l； ④若m∥l，则m⊥α.上述判断正确的是( ) (A)①②③ (B)②③④ (C)①③④ (D)②④
2.解题流程：
线线平行
取AB的中点G，连接FG、GC，则 FG为△BEA中位线，∴FG∥AE.
E
线面垂直
∵AE⊥平面ABC，FG∥AE， ∴FG⊥平面ABC.
F
D
A
C
线线平行
∵FG⊥平面ABC,CD⊥平面ABC，
∴FG∥CD，又FG= 1 AE=CD=a， ∴四边形CDFG为平2行四边形，
G B
FD∥CG.
【典例训练】 1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC, 则不重合的直线l，m的位置关系是( ) (A)相交 (B)异面 (C)平行 (D)不确定 2.若a,b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法： ①a⊥α,b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α,a⊥b⇒b∥α; ③a∥α,a⊥b⇒b⊥α; ④a⊥α,b⊥α⇒a∥b. 其中正确的序号是_______.
(2)连接ON，在△A1DC中，A1O=OD，A1N=NC，
∴ON / / 1CD / /A1B,
2
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2
∴ON∥AM.…………………………8分
又∵由(1)可知MN∥OA③，
∴四边形AMNO为平行四边形,∴ON=AM.
∵ON=1 AB,∴AM=1 AB, ………11分
2
2
∴M是AB的中点. …………………12分
对直线与平面垂直的性质定理的理解 【技法点拨】 1.直线与平面垂直的性质定理的作用 (1)直线与平面垂直的性质定理阐明了在两条直线均与同一平 面垂直的条件下，可得出直线与直线平行的结论. (2)该定理可用来判定两直线平行，揭示了“平行”与“垂直” 这两种特殊位置关系之间的转化.
2.三个常见结论 (1)若两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于该 平面. (2)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (3)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
【解析】1.选C.∵直线l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,∴l⊥平面α， 同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m. 2.由线面垂直的定义及性质定理可知，①④正确；②中b可能 满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交但不垂直，也可能平 行，故③不正确. 答案：①④
线面垂直的性质定理的应用 【技法点拨】证明线线平行的方法 (1)在平面内证明线线平行的方法 ①三角形、梯形中位线的性质. ②平行四边形对边平行的性质. ③平行线分线段成比例的性质. ④两直线平行的判定(如两直线被第三条直线所截，若同位角 相等，则两直线平行).