24)线面垂直的性质定理

D1 A1 O D N C M B 无忧PPT整理发布 C1
B1
A
性质定理： a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ∥b
变式探究
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性质定理： a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a ⊥α ,b ⊥α ? a ∥ b
a ∥b
变式探究
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（3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂 直，则这两条直线互相垂直。（ ） 2、已知直线a、b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的 位置关系 ____________ b // 或b
√
√ √
）
）
小 结
1.知识方法
①线面垂直的性质定理及其应用 ③类比探究，逆向探究
2.数学思想
线面关系 转化 垂直关系 空间问题
a ∥b
变式探究
a
b
c
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2.逆向探究：
①
α 交换“条件”与“结论” β
性质定理： a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α ,
a ∥b
变式探究
2.逆向探究：
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α ,b ∥α
a⊥ b
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性质定理： a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α ,
a ∥b
变式探究
a
b
α
2.逆向探究：
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a ⊥ b
b
α
a
b ∥α
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线线垂直

线面垂直
关键：线不在多，相交则行
二、新知探究
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱 AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么 位置关系？ C1
D1
B1 C B
A1
D
A
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3 线面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两直线互相平行.
(1)a , a b, 则b // (3)a // , b , 则b a (2)a // , a b, 则b (4)a , b , 则b a
课堂练习：
1、判断下列命题是否正确；
（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（
（2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行；（
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性质定理： a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面”
a ∥b
变式探究
b
l
a
α
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性质定理： a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面”
a ∥b
变式探究
a
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性质定理： a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α , α β
a ∥b
变式探究
a
b
c
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性质定理： a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α ,
性质定理： a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α ,
a ∥b
变式探究
a
α
β
2.逆向探究：
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a ⊥ b β ∥α ② a ⊥α ,
Байду номын сангаас
b // 或b
a ⊥β
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随堂测试
1.判断下列命题是否正确： 正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
2.若a,b表示直线, 表示平面，下列命题 正确的是 (3)(4) 。
C
α
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三、理论迁移
例2 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、N分别 是AB、PC的中点求证： （1） MN CD; P E N A M B D
PDA 45 （2）若 ，求证：MN 面PCD
C
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典型例题
练习. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面 A1DC 求证： (1) MN∥AD1 (2) M是AB的中点.
a ∥b
变式探究
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性质定理： a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” a⊥b a ⊥α ,b ∥α β β
a ∥b
变式探究
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性质定理： a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α , α β
线线关系 平行关系 平面问题
性质定理： a ⊥α ,b ⊥α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直” a⊥ b a ⊥α ,b ∥α ②交换“直线”与“平面” β ∥α a ⊥β a ⊥α ,
a ∥b
变式探究
a
b
α
b
α
a
2.逆向探究：
交换“条件”与“结论” ①a ⊥α , a ⊥ b
②
b ∥α 或 b
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图形语言：

a // b
a b
O
简述为：线面垂直 线线平行
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
三、理论迁移 例 1: 如图，已知 l , CA 于点A，CB 于点B， a , a AB, 求证： a // l .
β B l
A a
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否定结论b’
a b
α
正确推理
o
导出矛盾
肯定结论
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直线与平面垂直的性质1：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于面上任意直线．（定义）
a 符号语言： b
图形语言：
ab
a b
α
简述为：线面垂直 线线垂直
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否定结论b’
a b
α
正确推理
o
导出矛盾
肯定结论
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明： 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .
直线与平面垂直的性质2：
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于这个平面．
a / /b 符号语言： a
图形语言：
b

a b
O
© 2006 NENU
济南九中高三数学备课组
直线与平面垂直的性质3：
如果两条直线同时垂直于一个平面， 那么这两条直线平行．
a 符号语言： b
一、知识回顾 如果直线和这个平面内的任意一条 直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂 直.
1. 直线和平面垂直的定义？
注 :若 l , b 则l b.
α
l
b
A
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 m ,n a mnO a m a m, a n O n
图形语言：
a b
α
符号语言：
a ，b a // b
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线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明： 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .