全国数学竞赛预赛试题分类：数列

2014数学预赛试题分类：数列

天津3．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，并且对任意正整数n 成立243n n S S +=+，则2a 的值是（） (A)．2(B)．6(C)．2或6(D)．2或-6

天津9．数列｛n a ｝满足11,2n n n a a a n +-=+≥．若78a =，则1210a a a ++

+等于．

河北11、设{n a }是等差数列，且满足：①n a ∈N *，②项数≥3，③d>0，记{n a }所有项的和为S.

（1）写出满足S=30的所有{n a }；

（2）求证：对大于8的合数m ，总存在{n a }使得S=m. 河北14、数列{n a }满足：2

11,11

1-

=

=+n n a a a 。 （1）求证：3

2≥

n a ； （2）求证：

27

102<

-n n a a . 山西1、将正整数数列1，2，3，…按如下方式自左至右分段，使得第一段有1×2个数，第二段有2

×3个数，…，第n 段有n ×(n+1)个数，…，则2014位于第段。

山西10、数列{n a }，{n b }满足条件：n n n n n n b a b b a a b a +=+===++1111,2,1；证明：对每个

正整数n ，下式成立：（1）

2,2221212><--n

n n n b a

b a ； （2）

2211-<-++n

n n n b a

b a 辽宁5．正项数列{}n a 满足

*1212

111

1()n n n n n n n a a a a a a ++++++=∈N ，136a a +=，1a ，2a ，3a 单调递增且成等比数列，n S 为

{}n a 的前n 项和，则[]2014S 的值是（其中表示不超过实数的最

大整数）（）

A ．5368

B ．5367

C ．5363

D ．5362

辽宁15．（本小题满分25分）

已知数列

{}n a 中，12a =，对于任意的*,p q ∈N ，有p q p q a a a +=+．

（1）求数列

{}n a 的通项公式；

（2）数列

{}n b 满足1

3124234(1)21212121

21

n n n n

b b b b b

a -=

-+-++-+++++*

()n ∈N ，求数

列

{}n b 的通项公式；

（3）设*3()n n

n C b n λ=+∈N ，是否存在实数λ，当*n ∈N 时，1n n C C +>恒成立，若存在，

求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

吉林5、若五项的数列{n a }：54321,,,,a a a a a 满足543210a a a a a <<<<≤，且对任意的i ，j （1≤i ≤j ≤5），均有i j a a -在该数列中。

①1a =0；②254a a =；③{n a }为等差数列；④集合A={j i a a +1≤i ≤j ≤5}含9个元素。

则上述论断正确的有（）个。A 、1B 、2C 、3D 、4 山东6、已知数列{n a }满足：)1()1(1112

2≥+++

=n n n a n

，且其前n 项和为n S ，则n S 的最大整数部分为。

山东14、数列{n a }中，)3(,,12

1

1321≥+=

===--+n a a a k a m a a a n n n n ，其中k 、m 均为正整数且

（k ，m ）=1.问k 为何值时，对任意的n ∈N ，a n 均为整数？

福建11．已知

{}n a 为递增的等比数列，且126a a +=，3424a a +=。2

(1)

n

n n a b a =

-，数列{}

n b 的前n 项和为n T ，求证：对一切正整数n 均有，3n T <。

江西1．如果2014是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是． 江西6．等差数列

{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的正整数n 都有53

21

n

n

S

n T n -=

+，

则

20

7

a b =． 河南4、等差数列{n a }满足102

102

1≤+a a ，则191110...a a a S +++=的取值范围是。

河南12、递增数列1，3，4，9，10，12，13，…由一些正整数组成，它们或者是3的幂或者是若干

个不同的3的幂的和，求第2014项的值。

湖北1.已知正整数数列}{n a 满足n n n a a a +=++12，∈n *

N ．若15711=a ，则1a =. 湖北6.去掉集合{|10000,A n n n =≤∈*

N

}中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按

从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为.

湖北13.在单调递增数列}{n a 中，12a =，24a =，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，

22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．