坐标系与参数方程讲义

坐标系与参数方程

考向一：伸缩变换

考向二：极坐标系与简单曲线的极坐标方程

极坐标与直角坐标的互化

⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩

⎪

⎨⎧≠=+=)

0(tan 2

22x x y

y x θρ 【例】点M

的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3π

B ．(2,)3π-

C ．2(2,)3π

D ．(2,2),()3

k k Z π

π+∈

【解析】

2ρ=

=,

tan 1

θ=

=-,因为点(-在第二象限,所以23

πθ=

．所以点M 的极坐标为2(2,)3π．故C 正确．

【例】在极坐标系中，点)65,2(π到直线4)3

sin(=-π

θρ的距离为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【解析】化极坐标为普通直角坐标，点)6

5,

2(π的坐标52cos 6

x π==，52sin

1

6y π

==，所以点

为

(，因

为

11sin()(sin cos )43

2

2

2

2

y x πρθρθθ-=-=-=

，所以直线普通方程为

80

y -+=，由点到直线的距离公式得2d =

=，故选B ．

【例】已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为

极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）

A ．2cos ρθ=

B ．2sin ρθ=

C ．2cos ρθ=-

D ．2sin ρθ=-

【解析】法一：利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用

222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，进行代换，

圆的直角坐标方程为2

2

20x y y +-=，所以2

2sin 0ρρθ-=，即2sin ρθ=．

法二：圆的直角坐标方程为22

20x y y +-=，即()2

211x y +-=，

设

()

,M ρθ是圆C 上任一点，MOx θ∠=，若θ为钝角，则

()sin sin πθθ

-=

所以2sin θρ=．

【练1】以下各点坐标与点)3

,5(π

-M 不同的是（ ）

A ．)3

,5(π

-

B ．)34,

5(π C ．)32,5(π- D ．)3

5,5(π-- 【练2】坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标是（ ） A ．(1,

)2π

B ．(1,)2

π

- C ． ()0,1 D ． ()π,1

【练3】在极坐标中，点⎪⎭

⎫

⎝

⎛

4,

2π到圆θρcos 2=的圆心的距离为_____________ 【练4】在极坐标系中，经过点)3

,4(π

且与极轴垂直的直线的极坐标方程

为 ．

【练5】在极坐标中，与圆4sin ρθ=相切的一条直线方程为

A ．sin 2ρθ=

B ．cos 2ρθ=

C ．cos 4ρθ=

D ．cos 4ρθ=-

【练6】在极坐标系中，定点π1,

2A ⎛⎫

⎪⎝⎭

，动点B 在直线cos sin 0ρθρθ+=上运动，当线段AB 最短时，动点B 的极坐标是 A ．2π)24 B ．23π,)24 C ．3π)4 D ．33π)4

【解析1】因为(5,)(5,)(5,2)(5,2)

3333M M M M ππππ

ππππ-⇔+⇔+-⇔--，所以选

A ．

【解析2】()2

22222sin 2sin 211x y y x y ρθρρθ=-∴=-∴+=-∴++=，圆心为

()0,1-，极坐标为(1,)2

π

-

【解析3】将圆θρcos 2=的化为直角坐标方程

()222222cos 211x y x x y ρρθ=⇒+=⇒-+=，点⎪⎭

⎫ ⎝

⎛4,2π得直角坐标为()1,1，

则点()1,1到圆心()1,0的距离为1

【解析4】设所求直线上任一点(,)P ρθ,则由题意得：

cos 4cos ,cos 2

3

π

ρθρθ==

【解析5】根据题意可知圆4sin ρθ=的平面直角坐标方程为2

2

40x y y +-=，化为标准式为2

2

(2)4x y +-=，可以发现，与坐标轴平行的圆的切线为

2,0,4x y y =±==，所以选项中满足条件的是2,x =即cos 2ρθ=，故选B ．

【解析6】A 的直角坐标为()0,1，线段AB 最短即AB 与直线0x y +=垂直，设B 的直角坐标为(),a a -，则AB 斜率为

11a a --=，1

2

a =-，所以B 的直角坐标为

11,22⎛⎫

- ⎪

⎝⎭

，极坐标为3π,)24.故选B.

考向三：直线与圆锥曲线的参数方程

【例】若直线l 的参数方程为⎩

⎨⎧-=+-=t y t

x 4332（t 为参数），则直线l 的倾斜角的余弦值为

（ ） A ．54- B ．5

3- C ．53 D ．54

【解析】化参数方程为普通方程4310x y +-=，所以43k =-

，即4

tan 3

α=-，从而3

cos 5

α=-，故选B ．