3地图投影及其判别与变换
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– 椭圆与圆的半径不等，且在 某一点附近随方向的改变而 变化，长度变形； – 椭圆面积与圆面积为不等面 积的变形； – A′与A位置不同，角度产生 了变形；由圆变为椭圆，形 状发生改变.
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• （2）等变形线
• 等变形线 投影面上变形值相等的点的连线。用来 显示地图投影变形的大小和分布状况。不同投影 有不同形状的等变形线
s i n ( ' ) a b t a n 将两式相除，得： c o s c o s ' a
sin( ') ab sin( ') ab
显然当（ + ′ ）= 90°时，右 a b s i n ( ' ) s i n ( ' )端取最大值，则最大方向变形： a b
11
极值长度比和主方向
– 极值长度比 投影后,保持正 交的一对直径即构成变形椭 圆的长短轴。称为极大和极 小长度比。 – 通常用ａ和ｂ表示，是个变 量，在不同点上其值不等； 在同一点上也随方向不同而 变化。
12
– 经纬线为正交，经线长度比（ｍ）和纬 线长度比（ｎ）即为极大和极小长度比。 – 经纬线投影后不正交，其交角为θ，则 ｍ、ｎ和ａ、ｂ之间具有下列关系： m2＋n2＝ａ2＋ｂ2 mnsinθ＝ａｂ （ａ＋ｂ）2＝m2＋n2＋2mnsinθ （ａ－ｂ）2＝m2＋n2－2 mnsinθ
• P102 常用投影的等变形线分布
d F' π a b P 2 ab d F π l
Vp p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
P = a· b = m ·n P = m ·n ·sinq
(q = 90) (q ≠ 90)
面积比是变量，随位置的不同而变化。
16
（3） 角度变形 ： • 投影面上过一点的任意两方向线的夹角α′与地面上相 应两方向线的夹角α之差值，以α′－α表示。设ω/2代 表α－α′
2 2
• 3.变形椭圆与等变形线
（1）变形椭圆：球面上的微分圆，投影到平 面上变成椭圆。
22
• 投影前以O为圆心，OM为半径微分 圆的方程式为： ｘ2＋ｙ2＝ｒ2 投影后得到以O′为中心，θ为交角的 两共轭直径为斜坐标轴的椭圆方程 式 2 2
x' y' 1 2 2 a b
23
• 比较变形椭圆与微分圆，
最大角度变形:
或
sin 2 a b
a b
2 2
m n 2 mn sin q sin 2 2 2 m n 2 mn sin q
– 角度变形是形状变形的具体标志。
P36—p37
17
18
设A点的坐标为（x、y），A ′点的坐标为(x ′ 、y ′ )，则
y ta n x
• 地图投影学：研究地图投影的理论、方法、 应用和变换等学问的科学，称地图投影学 或数学制图学。
4
• 过程： • 先将球面上一些经纬线的交点展绘在平面 上 • 将相同经度、纬度的点分别连成经线和纬 线，构成经纬网 • 再将球面上的点，按其经纬度转绘在平面 上相应位置处。
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二、地图投影变形问题
• 1. 投影变形概念
第三章 地图投影及其判别与变换
第一节 地图投影基本概念
• 一、地图投影的基本概念 • 1.地图投影的科学内涵 • 地图是纸质平面图，而地球椭球面是个曲 面。 • 将曲面展开，使其成为没有破裂和重叠的 平面。
2
3
2.定义
• 地图投影：在球面与平面之间建立点与点 之间对应函数关系的数学方法。
ｘ＝ｆ1（λ，φ） ｙ＝ｆ2（λ，φ）
13
• 主方向 过地面某一点上的一对正交微分 线段，投影后仍为正交，所指的方向称 主方向。其长度比为极值长度比。 • 在经纬线为正交的投影中，经纬线长度 比与极值长度比一致。 • 在经纬线不正交的网格上，变形椭圆的 主方向与经纬线不一致。
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特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向 和纬向
地球曲面展成平面，某些部分发生 破裂或重叠，将裂开的部分予以均 匀地拉伸，重叠的部分予以均匀地 压缩，使地图上与地球上相应部分 失去了相似性，产生形状变化。
• 长度、面积和形状（角度）
7
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– 对比地球仪与地图 二者的经纬网
• 经线圈 • 纬线圈 • 球面梯形
9
• 地图投影变形是不可避免的 • 掌握地图投影变形性质和规律，才能有目 的地支配和控制地图投影的变形，以满足 使用地图的各种要求。
10
2.地图投影变形的性质
（1）长度比和长度变形： 投影面上一微小线段 （变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面 上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。
m表示长度比，Vm表示长度变形 = 0 不变 ds ' m Vm m 1 > 0 变大 ds < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
y' tan ' x'
x' a x
y ' b y
b y b ta n ' ta n 将上式两边各减和加 tan 即： a x a
b b t a n t a n ' t a n t a n ( 1 ) t a n a a b b t a n t a n ' t a n t a n ( 1 ) t a n a a
ab sin ( ') ab
以表示角度最大变形：
m ' m ( 1 8 0 2 ' ) ( 1 8 0 2 ) 2 ( ' )
a b sin 2 a b
若已知 m, n, q ，则：
tan(45 ຫໍສະໝຸດ 2)b a
m n 2 m n s i n q s i n 2 2 2 m n 2 m n s i n q
长轴方向（极大值）a
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2 m· n· sinq = a· b
短轴方向（极小值）b
经线方向 m ；纬线方向 n 统称 主方向
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（2）面积比和面积变形： 投影平面上微小 面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的 微小面积（微小圆面积）dF之比。 P 表示面积比 Vp 表示面积变形
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• （2）等变形线
• 等变形线 投影面上变形值相等的点的连线。用来 显示地图投影变形的大小和分布状况。不同投影 有不同形状的等变形线
s i n ( ' ) a b t a n 将两式相除，得： c o s c o s ' a
sin( ') ab sin( ') ab
显然当（ + ′ ）= 90°时，右 a b s i n ( ' ) s i n ( ' )端取最大值，则最大方向变形： a b
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极值长度比和主方向
– 极值长度比 投影后,保持正 交的一对直径即构成变形椭 圆的长短轴。称为极大和极 小长度比。 – 通常用ａ和ｂ表示，是个变 量，在不同点上其值不等； 在同一点上也随方向不同而 变化。
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– 经纬线为正交，经线长度比（ｍ）和纬 线长度比（ｎ）即为极大和极小长度比。 – 经纬线投影后不正交，其交角为θ，则 ｍ、ｎ和ａ、ｂ之间具有下列关系： m2＋n2＝ａ2＋ｂ2 mnsinθ＝ａｂ （ａ＋ｂ）2＝m2＋n2＋2mnsinθ （ａ－ｂ）2＝m2＋n2－2 mnsinθ
• P102 常用投影的等变形线分布
d F' π a b P 2 ab d F π l
Vp p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
P = a· b = m ·n P = m ·n ·sinq
(q = 90) (q ≠ 90)
面积比是变量，随位置的不同而变化。
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（3） 角度变形 ： • 投影面上过一点的任意两方向线的夹角α′与地面上相 应两方向线的夹角α之差值，以α′－α表示。设ω/2代 表α－α′
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• 3.变形椭圆与等变形线
（1）变形椭圆：球面上的微分圆，投影到平 面上变成椭圆。
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• 投影前以O为圆心，OM为半径微分 圆的方程式为： ｘ2＋ｙ2＝ｒ2 投影后得到以O′为中心，θ为交角的 两共轭直径为斜坐标轴的椭圆方程 式 2 2
x' y' 1 2 2 a b
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• 比较变形椭圆与微分圆，
最大角度变形:
或
sin 2 a b
a b
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m n 2 mn sin q sin 2 2 2 m n 2 mn sin q
– 角度变形是形状变形的具体标志。
P36—p37
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设A点的坐标为（x、y），A ′点的坐标为(x ′ 、y ′ )，则
y ta n x
• 地图投影学：研究地图投影的理论、方法、 应用和变换等学问的科学，称地图投影学 或数学制图学。
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• 过程： • 先将球面上一些经纬线的交点展绘在平面 上 • 将相同经度、纬度的点分别连成经线和纬 线，构成经纬网 • 再将球面上的点，按其经纬度转绘在平面 上相应位置处。
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二、地图投影变形问题
• 1. 投影变形概念
第三章 地图投影及其判别与变换
第一节 地图投影基本概念
• 一、地图投影的基本概念 • 1.地图投影的科学内涵 • 地图是纸质平面图，而地球椭球面是个曲 面。 • 将曲面展开，使其成为没有破裂和重叠的 平面。
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2.定义
• 地图投影：在球面与平面之间建立点与点 之间对应函数关系的数学方法。
ｘ＝ｆ1（λ，φ） ｙ＝ｆ2（λ，φ）
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• 主方向 过地面某一点上的一对正交微分 线段，投影后仍为正交，所指的方向称 主方向。其长度比为极值长度比。 • 在经纬线为正交的投影中，经纬线长度 比与极值长度比一致。 • 在经纬线不正交的网格上，变形椭圆的 主方向与经纬线不一致。
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特别方向： 变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向 和纬向
地球曲面展成平面，某些部分发生 破裂或重叠，将裂开的部分予以均 匀地拉伸，重叠的部分予以均匀地 压缩，使地图上与地球上相应部分 失去了相似性，产生形状变化。
• 长度、面积和形状（角度）
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– 对比地球仪与地图 二者的经纬网
• 经线圈 • 纬线圈 • 球面梯形
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• 地图投影变形是不可避免的 • 掌握地图投影变形性质和规律，才能有目 的地支配和控制地图投影的变形，以满足 使用地图的各种要求。
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2.地图投影变形的性质
（1）长度比和长度变形： 投影面上一微小线段 （变形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面 上微小圆半径，已按规定的比例缩小）之比。
m表示长度比，Vm表示长度变形 = 0 不变 ds ' m Vm m 1 > 0 变大 ds < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
y' tan ' x'
x' a x
y ' b y
b y b ta n ' ta n 将上式两边各减和加 tan 即： a x a
b b t a n t a n ' t a n t a n ( 1 ) t a n a a b b t a n t a n ' t a n t a n ( 1 ) t a n a a
ab sin ( ') ab
以表示角度最大变形：
m ' m ( 1 8 0 2 ' ) ( 1 8 0 2 ) 2 ( ' )
a b sin 2 a b
若已知 m, n, q ，则：
tan(45 ຫໍສະໝຸດ 2)b a
m n 2 m n s i n q s i n 2 2 2 m n 2 m n s i n q
长轴方向（极大值）a
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2 m· n· sinq = a· b
短轴方向（极小值）b
经线方向 m ；纬线方向 n 统称 主方向
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（2）面积比和面积变形： 投影平面上微小 面积（变形椭圆面积）dF′与球面上相应的 微小面积（微小圆面积）dF之比。 P 表示面积比 Vp 表示面积变形