数列的函数特征(学生版)

数列的函数特征

1、数列的函数特征

数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,3 ,…，n｝)的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数

解析式，即a n= f(n)(n € N*).数列的函数图像是一群孤立的点。

2、数列的增减性

(1)若__________________ , n € N*，则数列｛a n｝叫作递增数列;

⑵若__________________ , n € N*，则数列｛a n｝叫作递减数列;

⑶若__________________ , n € N*，则数列｛a n｝叫作常数列；

⑷若a n的符号或大小交替出现，则数列｛a n｝叫作摆动数列.

3、数列的最大项与最小项

(1)若a n是最大项，则__________________ ;(2)若a n是最小项，则 _______________________ 。

4、数列的周期性

对于数列｛a n｝，若存在一个大于1的自然数T(T为常数)，使a n+T= a n，对一切n€ N*恒成立，则称数列｛a n｝为周期数列，T就是它的一个周期.

考向一数列的单调性

&

例1—1已知数列｛a n｝的通项公式为a n = ，判断数列｛a n｝的增减性.

an

例1 —2已知数列｛a n｝的通项公式是a n= bn+〔，其中a, b均为正常数，则该数列是单调递______________ 数列.

①判断数列单调性的基本方法是利用作差或作商的方法比较a n 与a n+i的大小关系，若a n> a n+ i(n€ N*)恒成立，则｛a n｝是递减数列；若a n v a n+i(n € N*)恒成立，则｛a n｝是递增数列；

②判断数列单调性时，也可从数列与函数的关系出发，分析数列｛a n｝的通项公式a n= f(n)对应函数的单调性来确定

数列的单调性.

kn

变式1—1已知数列｛a n｝的通项公式是a n = 2n+3(k€ R).

(1)当k = 1时，判断数列｛a n ｝的单调性；(2)若数列｛a n ｝是递减数列，求实数 k 的取值范围.

考向二 数列的最大项与最小项

例2—1已知数列｛a n ｝的通项公式为a n = n 2— 5n + 4 (n € N *),贝y

(1)数列中有多少项是负数(2)n 为何值时，a n 有最小值并求出最小值.

9n (n + 1)

例2— 2已知a n = 莎 (n € N *)，试问数列｛a n ｝中有没有最大项如果有， 求出这个最大项；如果没有，说明理由.

①根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的载体函数

变式1—2已知数列｛a n ｝的通项公式 a n = 1 + n 2— n' n € N *，则该数列是单调递 __________ 数列.

a n =

a n%n -1 ,

f(n),利用求解函数最值的方法求解， 但要注意自变量的取值； ②在数列｛a n ｝中：若a n 是最大项，则

若 a n^a n + 1.

a n 弋n - 1,

a n 是最小项，则 a n tn + 1.

变式2— 1数列｛a n ｝的通项公式为a n = -2n 2 + 25n ,则数列｛a n ｝各项中最大项是( ).

6

变式2 — 2已知数列的通项 a n = (n + 2) 7 n ，n € N *，试问该数列｛a n ｝有没有最大项若有，求出最大项和最大项的 项数，若没有，说明理由.

考向三 数列的周期性

—1

例3—1已知数列｛a n ｝中，a 1 = a (a 为正常数),a n +1= — (n = 1,2,3 ,…)则下列能使a n = a 的n 的数值是(

) a n + 1

A . 15

B . 16 C. 17 D . 18

1 *

a n = 1 —

(n >2 n € N )

a n -1

(1)求证：a n +3= a n ； (2)求 a 2 010.A .第4项 B .第5项 C.第6项 D .第7项

例3—2在数列｛a n ｝中, 1

a 1 = 2，

数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有 周期

性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中， 解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递 推公式发现规律，得出周期而获解.

1

a 1= 2, a n +1= 1——，记数列｛a n ｝的前n 项之积为 n,贝U 隹011的值为（

B .— 1 考向四数列与函数的综合应用

例4在数列｛a n ｝中，a n = n 3— an ，若数列｛a n ｝为递增数列，试确定实数 a 的取值范围.

变式3 — 1已知数列｛a n ｝满足a n +1 =

1 2a n

0弟

n <2 ， 1 2a n — 1 2^a n <1 6 若a 1 = 7贝V a 2 010的值为（

变式3— 2设数列｛a n ｝满足: D . 2

⑴数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决.（2）数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法；②作商法；③结合函数图象等方法.

变式4已知数列｛a n｝的通项公式是a n= n2+ kn + 2，若对任意n € N*，都有a n+ i>a n，则实数k的取值范围是（）

A. k>0

B. k>—1

C. k>—2

D. k>—3

KAOT I 2 H U A J NX M N Q TUPO - , » « «F S-

03

* 综合提高训练

基础达标

1、若数列｛a n｝为递减数列，则｛a n｝的通项公式可能为_______ （填写序号）.

1

① a n=—2n + 1;② a n =—n2+ 3n+〔；③ a n =亦；④ a n = (—1)n.

2、在数列｛a n｝中，a n=—2n2+ 29n + 3,则此数列最大项的值是（）.

A. 103 D. 108

3、函数f（x）定义如下表，数列｛x n｝满足X0= 5，且对任意n € N均有x n+ 1 = f（X n）,则X2 011 =（）