数列的函数特征课件
新课标2023版高考数学一轮总复习第7章数列第1节数列的概念与简单表示法课件
所以 an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1＝n＋n 1·n－n 1·nn－ －21·…·23＝n＋2 1．
2，n＝1， 所以 an＝2nn－1，n≥2.
已知 Sn 求 an 的步骤 (1)利用 a1＝S1 求出 a1． (2)用 n－1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)检验 n＝1 时的值是否符合 n≥2 时的表达式，再写出通项公 式 an．
式 an＝59(10n－1)．
1．错误地表示符号规律致误：项正负相间的数列可以用(－1)n， (－1)n＋1 表示符号，要分清是先负后正还是先正后负．
2．未对项变形致误：若已知的项的形式不统一，则不便求通项 公式，因此可以先将项通过变形统一形式后再观察求通项公式，如题 (3)．
3．求通项公式时要注意联想：对于如题(4)这样的数列，可以通 过联想 10,100,1 000，10 000→9,99,999,9 999→1,11,111,1 111 进而得 到通项公式．
考点2 由Sn与an的关系求通项——综合性
(1)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－10n，则此数列的通项 公式为 an＝________．
(2)若数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为 an ＝________．
3，n＝1， (1)2n－11 (2)2n－1，n≥2.
解：(1)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的乘 积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式 an＝(－ 1)n·nn1＋1．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数 的乘积，故所求数列的一个通项公式 an＝2n－12n2n＋1．
数列的函数特征(主要内容)
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7
二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式,用作商法
比作差法更简便一些.
an＞0
an1 ＞1 an
递增数列
0＜an1 ＜1 an
递减数列
a n1 1 an
常数列
an＜0 递减数列 递增数列常数列青苗辅导1
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在利用作商比较法时，要确保数列的每一项都不是 零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较.
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【例2】设函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足 f( 2an )=2n(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【审题指导】解决本题的关键是把函数的解析式通过关系 式转化求解得到数列的通项公式，然后再根据通项公式进 行作差，判断与零的大小或者作商判断与1的大小，从而判 断数列的单调性.
可知：对称轴是x=8，所以当0<n<8时数列是递减数列；
当n≥8时，数列是递增数列.
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数列的函数性质的应用 数列的函数性质的应用 数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函 数关系可知：数列的通项an与n的关系公式就是函数f(x)的 解析式,所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途 径.
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【规范解答】(1)令30＋n－n2＝－60，
即n2－n－90＝0，
∴n＝10或n＝－9(舍)，…………………………………2分
∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60. …………4分 (2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.
∴n＝6或n＝－5(舍)，即当n＝6时，an＝0. …………6分
数列的概念(第一课时)课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
典例分析
例1 根据下列数列{an}的通项公式 , 写出前5项 , 并画出它们的图象：
n2 + n
( n - 1)π
(1) an =
；(2) an =cos
．
2
2
an
15
解:(1)当通项公式中的n=1 , 2 , 3 , 4 , 5时 ,
首项 第2项
第n项
注: 右下角标表
示这一项在数列
中的位置序号
概念辨析
追问：在数列中，符号的{an}与an所表示的意义是否相同？
{an}表示整个数列 a1，a2，a3，…，an，… ；
an只是表示数列 { an }中的第 n 项，
问题6：对于不同的数列，他们的项数有何特点？
①
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168.
②
5 , 10 , 20 , 40 , 80 , 96 , 112 , 128 , 144 , 160 , 176 , 192 , 208 , 224 , 240.
1 1
1 1
③ − ， ，− ， ......
2 4
8 16
有穷数列：项数有限的数列
无穷数列：项数无限的数列
新知探究：数列与函数的关系
列表法
图像法
解析法
75，87，96，103，110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，
165，168.
数列③− ， ，
可以表示为
−
沪教版(上海)高二数学上册7.1数列_课件
为 a ，这里n是 n
正整数 ．
3．数列的通项公式
如果数列的第n项an与 n 之间的关系可以用一个函数式an＝f(n) 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4．数列与函数的关系
(1)数列与函数的内在联系
从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为 正整数集N＋(或它的有限子集)的函数an＝f(n)，即当自变量按照从小到大的
整理得 a2n－2nan－2＝0，
∴an＝n± n2＋2. 又 0＜x＜1，故 0＜2an＜1，于是 an＜0，
∴an＝n－ n2＋2(n∈N＋)．
(2)aan＋n 1＝n＋1n－－
n＋12＋2 n2＋2
＝
n＋ n＋1＋
n2n＋＋212＋2＜1.
∵an＜0，∴an＋1＞an， ∴数列{an}是递增数列．
数列
1 ． 如 果 f(x) ＝ x2 － 1 ， x∈{1,2,3,4,5} ． 则 f(x) 的 值 域 为 {0,3,8,15,24}．
2．将前5个正整数的倒数排成一列 1，12，13，14，15 .
3．函数f(x)＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}的图象上共有 5 个点，它 们是(1,3)，(2,5)，(3,7)，(4,9．)，(5,11)
4.若本例条件换为 f(x)＝log2x－lo2g2x(0＜x＜1)，且数列 {an}满足 f(2an)＝2n(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的增减性． 【解析】 (1)∵f(x)＝log2x－lo2g2x， 又∵f(2an)＝2n， ∴log22an－log222an＝2n， 即 an－a2n＝2n.
(2)∵bn＝11·2＋21·3＋31·4＋…＋n·n1＋1 ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－n＋1 1 ＝1－n＋1 1＝n＋n 1， ∴b1＝12，b2＝23，b3＝34，b4＝45，b10＝1110.
必修5《数列的概念》《数列的函数特》征课件一等奖
三角形数 三角形数 1, 3, 6, 10, .…..
正方形数 1, 4, 9, 16, …… 提问：这些数有什么规律吗？ 提问：这些数有什么规律吗？
4
上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数： 上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
1， ， ， ， … 2 2 2 2 …
2 3
63
第1项 第2项 第3项 项 项 项
1
2
1, 2 3 , , n , { n} (n∈ N*,n ≤ 35) an= n , 1 , - 1 , … , (-1)n , … -1 an = (-1)n (n∈N*) ∈ 1 , 1 , 1 , …, 1 , … 9 an =1 (n∈N*) ∈
1 (n∈ N* ) { } ∈ n , …
答案： （1） （2） （3） （4）
a n = (− 1)
n
n +1 n +1
a n = 1 + (− 1) a n = 10 − 1 a n = 1 − 10 − n
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观察下面数列的特点，用适当的数填空， 观察下面数列的特点，用适当的数填空，并 写出每个数列的一个通项公式： 写出每个数列的一个通项公式：
请问：是不是同一数列？ 请问：是不是同一数列？
3 , 2 ，1 ，… ，35
问2: 数列
改为： -1，1，-1，1…… 改为： ， ， ，
1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？ ， ， ， ，请问：是不是同一数列？
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数列中的每一个数叫 做这个数列的项 做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列 的第1项，第2项，······， 项 项 ， 第n项， ······ 项 数列的分类
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件1.1第1课时数列的概念
就是数列的解析表达式
定义域特殊
2.数列与函数的关系.从函数的观点看,数列可以看作特殊的函数,关系如下
表:
定义域 正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})
解析式 数列的_____________
通项公式
值域
自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值
表示方
法
通项公式
列表
(1)__________(解析法);(2)
1 2 3 4 5 6
4.一个数列{an}的图象如图所示,由图象可知,该数列在n=
16
得最大值,该最大值是
.
解析 由图象可知,数列在n=4时取得最大值16.
1 2 3 4 5 6
4
时,取
5.数列{an}的构成如下表所示:
n
1
2
3
4
5
6
7
8
…
an
3
7
-1
-5
1
4
3
12
…
则由表格可知a3+a7=
2
,a1+a8=
名师点睛
数列中的项的性质:
(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具
有确定性;
(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异
性);
(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序
有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性).
过关自诊
15
.
解析 由列表法表示数列可知a1=3,a3=-1,a7=3,a8=12,因此
a3+a7=2,a1+a8=15.
数列的函数特征(教师版)
数列的函数特征(教师版)1、数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即a n ＝f (n )(n ∈N *)．数列的函数图像是一群孤立的点。
2、数列的增减性(1)若 ，n ∈N *，则数列{a n }叫作递增数列； (2)若 ，n ∈N *，则数列{a n }叫作递减数列； (3)若 ，n ∈N *，则数列{a n }叫作常数列； (4)若a n 的符号或大小交替出现，则数列{a n }叫作摆动数列．3、数列的最大项与最小项(1)若a n 是最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.(2)若a n 是最小项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.4、数列的周期性对于数列{a n }，若存在一个大于1的自然数T (T 为常数)，使a n ＋T ＝a n ，对一切n ∈N *恒成立，则称数列{a n }为周期数列，T 就是它的一个周期．考向一 数列的单调性例1—1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n2n 2＋1，判断数列{a n }的增减性．解：∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1a n ＋1－a n ＝1n 2＋1－1n ＋1 2＋1＝[ n ＋1 2＋1]－ n 2＋1 n 2＋1 [ n ＋1 2＋1]＝2n ＋1n 2＋1 [ n ＋1 2＋1].由n ∈N *，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .∴数列{a n }为递增数列．例1—2 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a ，b 均为正常数，则该数列是单调递__________数列．解：∵a n ＋1－a n ＝a n ＋1 b n ＋1 ＋1－an bn ＋1＝a[b n ＋1 ＋1] bn ＋1>0.∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .①判断数列单调性的基本方法是利用作差或作商的方法比较a n 与a n ＋1的大小关系，若a n ＞a n ＋1(n ∈N *)恒成立，则{a n }是递减数列；若a n ＜a n ＋1(n ∈N *)恒成立，则{a n }是递增数列；②判断数列单调性时，也可从数列与函数的关系出发，分析数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )对应函数的单调性来确定数列的单调性．变式1—1 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝kn2n ＋3(k ∈R )．(1)当k ＝1时，判断数列{a n }的单调性；(2)若数列{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解：(1)当k ＝1时，a n ＝n 2n ＋3，所以a n ＋1＝n ＋12n ＋5，于是a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋5－n2n ＋3＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋5)(2n ＋5)(2n ＋3)＝3(2n ＋5)(2n ＋3)＞0，故数列{a n }是递增数列．(2)若数列{a n }是递减数列，则a n ＋1－a n ＜0恒成立，即a n ＋1－a n ＝kn ＋k 2n ＋5－kn 2n ＋3＝3k(2n ＋5)(2n ＋3)＜0，由于(2n ＋5)(2n ＋3)＞0，所以必有3k ＜0，故k ＜0.变式1—2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝11＋n 2－n，n ∈N *，则该数列是单调递__________数列． 解：a n ＝11＋n 2－n＝n ＋1＋n 2，当n 增大时，n ＋1＋n 2增大，所以数列是递增数列．考向二 数列的最大项与最小项例2—1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4 (n ∈N *)，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．解：(1)a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，当n ＝2,3时，a n <0.∴数列中有两项是负数． (2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又因n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值， 其最小值为－2.例2—2 已知a n ＝9n (n ＋1)10n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．解：因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤ n ＋2 －109 n ＋1 ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9， 则当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9>0，当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9＝0，当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9<0， 所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108.①根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的载体函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值；②在数列{a n }中：若a n 是最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 是最小项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.变式2—1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋25n ，则数列{a n }各项中最大项是( )． A ．第4项 B ．第5项 C ．第6项 D ．第7项解析：由于a n ＝－2n 2＋25n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2542＋6258，且n ∈N *，所以当n ＝6时，a n 的值最大，即最大项是第6项．变式2—2 已知数列的通项a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫67n ，n ∈N *.试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数，若没有，说明理由．解：假设第n 项a n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，于是⎩⎨⎧(n ＋2)⎝⎛⎭⎫67n ≥(n ＋1)⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋3)⎝⎛⎭⎫67n ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，所以4≤n ≤5，所以当n ＝4或n ＝5时，数列中的项最大，即a 4与a 5都是最大项，且a 4＝a 5＝6574.考向三 数列的周期性例3—1 已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解：a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1，a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ，a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a ＋1＝a ，a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，…….∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ，∴{a n }为周期数列，周期为3.∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .答案 B例3—2 在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.解：(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2.∴a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2.数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解．变式3—1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( )A.67B.57C.37D.17解：C [计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37.]变式3—2 设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为Πn ，则Π2 011的值为( )A ．－12B ．－1 C.12D ．2解析：由a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而Π2 011＝Π1＝2.考向四 数列与函数的综合应用例4 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围． 解：若{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n ≥0.即(n ＋1)3－a (n ＋1)－n 3＋an ≥0恒成立． 即a ≤(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1恒成立，即a ≤(3n 2＋3n ＋1)min ，∵n ∈N *， ∴3n 2＋3n ＋1的最小值为7. ∴a 的取值范围为a ≤7.(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法；②作商法；③结合函数图象等方法．变式4 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对任意n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．k >－1 C ．k >－2 D ．k >－3解：由a n ＋1>a n 知道数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3，故选D.基础达标1、若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________(填写序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n .解：可以通过画函数的图像一一判断．②有增有减，④是摆动数列．答案 ①③2、在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )．A ．103 B.8658 C.8258D ．108解析 根据题意并结合二次函数的性质可得：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n 2－292n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋3＋8418， ∴n ＝7时，a n 取得最大值，最大项a 7的值为108.答案 D3、函数f (x )*＋ )x 1 2 3 4 5 f (x )51342A.1 B ．2 C ．4 D ．5解：∵x 0＝5，x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (x 1)＝f (2)＝1，x 3＝f (x 2)＝f (1)＝5，x 4＝f (x 3)＝f (5) ＝2，…，∴x n 的值周期出现，且周期T ＝3，则x 2 011＝x 670×3＋1＝x 1＝2.答案 B能力提升 4、已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________． 解：因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)， 所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立． 而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的范围．5、已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解：∵a n ＝n －99＋ 99－98 n －99＝99－98n －99＋1∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图象上．在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图象．由图象易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1， 当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减．∴a 10>a 11>…>a 30>1.所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.答案 C6、已知数列{a n }是递减数列，且a n ＝(m 2－2m )(n 3－2n )，求实数m 的取值范围．解：∵数列为递减数列，∴a n ＋1<a n ，∴a n ＋1－a n ＝(m 2－2m )[(n ＋1)3－2(n ＋1)－n 3＋2n ]＝(m 2－2m )(3n 2＋3n －1)<0. ∵n ∈N ＋，∴3n 2＋3n －1＝3⎝⎛⎭⎫n ＋122－74≥5>0，∴m 2－2m <0，解得0<m <2.故实数m 的取值范围为0<m <2.。
4.2.1等差数列(第二课时)等差数列的证明与性质PPT课件(人教版)
1
2
1
2
=
，
2( −2)
= ，为常数( ∈ ∗ ).
1
，
2
1
2
( > 1， ∈
∗ )，记
∴数列{ }是首项为 ，公差为 的等差数列.
=
1
.求证：数
−2
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵ =
∴+2 =
+1
2(+1 −2)
4
=
4−
4
2(4− −2)
(m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如，15 ≠ 7 + 8 ， 但6 + 9 = 7 + 8 ；1 + 21 ≠ 22 ，但1 + 21 = 211 .
[方法二]由等差数列的性质知30 = 37 ，则7 = 10.
故3 − 25 = 3 − (3 + 7 ) = −7 = −10.
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
∴ = 1 + ( − 1) × (−20) = 220 − 20.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
课堂小结
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
an －a1
人教版高中数学选修二4.1数列的概念(一)课件
第四章 数 列
4.1 数列的概念(1)
学习目标
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
2.掌握数列的分类.
3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法
4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项
写出数列的一个通项公式.
情景导学
古语云:“勤学如春
起之苗,不见其增,日有所
− 4 ,当
n=2,3 时,an 取得最小值,最小值为-12.
10 +1
10
10
-(n+1) 11 = 11
11
∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.
故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,
a10=
,224是该数列的第
项.
解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,
即224是该数列的第15项.
答案:99 15
典例解析
例1. 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项,并画出它们的图像.
（1） =
2 +
2
;
（2） =
(−1)
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(3)9,99,999,9 999,…;
22 -1 32 -2 42 -3 52 -4
(4) 1 , 3 , 5 , 7 ,…;
1
数列(第1课时)(教学课件)高二数学同步备课系列(人教A版2019选修第二册)
课本练习
1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象:
(1) 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列;
(2) 当自变量x依次取1, 2, 3, ‧‧‧时，函数f(x) =2x +1的值构成的数列;
2， n为奇数
(3) 数列的通项公式为an
.
n 1，n为偶数
1 1 1 1 1 1 1 1 1
f(1)， f(2) , ···, f(n), ···就是数列{an}. 另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n)
(n∈N*)有意义，那么f(1)， f(2) , ···, f(n), ···构成了一个数列{f(n)}.
与函数类似，我们可以定义数列的单调性：
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增
2.由数列的一个通项公式
写出数列的前几项
典例
例1 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，
并画出它们的图象.
n2 n
( n 1)
(1) an
； (2) an cos
.
2
2
解：(1) a1 1,a2 3,a3 6,a4 10.
(2) a1 1,a2 0,a3 1,a4 1.
1
1
1
1
记第个数为 ，那么1＝ − 2 ，2＝ 4，3＝ − 8，4＝ 16，….这里， 中
1
的反映了− 2的次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……的顺序排列时的确定位
1
1
1
置，即1＝ − 2是排在第1位的数，2＝ 4是排在第2位的数，3＝ − 8是排在第
3位的数，…，它们之间不能交换位置.
注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121.
数列_课件PPT
(2)一个数列不一定能有通项公式，如果有，通项公式也 不一定是唯一的，可能有不同的表达形式．
如 an＝(－1)n 可以写成 an＝(－1)n＋2，还可以写成 an＝－ 1 1n为偶n数为奇 数 ，这些通项公式虽然形式上不 同，但都表示同一数列．
之间的函数
关系可以用一个式子表示成 an＝f(n)
，
那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．
1．下列说法中，正确的是( ) A．数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} B．数列 1,0，－1，－2 与数列－2，－1,0,1 是相同的数 列 C．数列n＋n 1的第 k 项为 1＋1k D．数列 0,2,4,6,8，…可记为{2n}(n∈N＋)
解析： (1)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝22＝1； 当 n＝3 时，a3＝3； 当 n＝4 时，a4＝42＝2. ∴数列{an}的前四项为 1,1,3,2. (2)∵a1＝2，an＋1＝12an＋3， ∴a2＝1＋3＝4，a3＝5，a4＝121，a5＝243. ∴数列{an}的前 5 项为 2,4,5，121，243.
(2)19081不是该数列中的项，5681是该数列中的项， 若19081是该数列中的项， 则19081＝33nn－ ＋21，解得 n＝3090＝1030∉N＋，
∴19081不是数列{an}中的项； 若5681是该数列中的项， 则5681＝33nn－ ＋21，解得 n＝1890＝20∈N＋， ∴5681是数列{an}中的项，且为第 20 项．
(2)数列与数集的区别与联系
数列与数集都是具有某种共同属性的数的全 体．数列中的数是有序的，数集中的元素是无 序的，同一个数在数列中可重复出现，而数集 中的元素是互异的．
数列-ppt课件
概念巩固
例1：分别根据下列条件，写出数列{ }的前5项：
（1）1 = 1，2 = 2，+2 = +1 + 2 ，其中 ∈
��∗ ；
1
∗
（2）
=
2，
=
2
−
，其中
∈
1
+1
解：（1）因为1 = 1，2= 2，+2 = . +1
其中 ∈ ∗ ；
+ 2 ，
1
，其中 ∈ ∗ .
1
解：（2）因为1 = 2，+1 = 2 − ，其中 ∈ ∗
1
2
4
1
1
3
=
2
−
=
2
−
=
，
所以 2 = 2 − = 2 − 2 = 2， 3
3
3
2
1
（2）1 = 2，+1 = 2 −
4 = 2
1
−
3
=2
3
−
4
=
5
，5
4
=2−
因此，数列{ }的前5项依次为2，
1
4
=2
4
−
5
3
4
5
6
， ， ， .
2
3
4
5
=
6
，
5
概念巩固
例2：你能根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式吗？
1
1
1
1
，， ，−
，…
1×2
2×3 3×4
4×5
（1）
（2）0，2，0，2，…
1
1
数列的概念课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
（３）解析法：
an=3n,
n∈{1,2,3,4,5}.
师生交流，揭示规律
如果数列{an}的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以
用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
例如数列③：
1 ，1 ， 1 ，1 ， ．
③
2 4 8 16
通项公式为：a 8 16
一列数
顺序
师生交流，揭示规律
数列的定义： 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这
个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示， 第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示…… 第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第一项叫做首项.
反思小结，观点提炼
1.本节课我们收获了哪些知识、技能？
2.我们是怎样获得的这些知识、技能的？ 3.在收获这些知识、技能的过程中用到了哪些思想、方法？ 4.还有哪些困惑？
具体 归纳、概括 实例
数列的 数列与函 概 念 数的关系
特殊与一般
函数思想
数列的 表示方法
数列的 单调性
数学抽象
课后作业，拓展反思
（2）
n12345 an 1 0 -1 0 1
变练演编，升华提高
变式 1 .根据数列an 的通项公式填表：
运用规律，解决问题
例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式： （1）1， 1 ， 1 ， 1 ，…；
23 4
（2）2，0，2，0，…．
变练演编，升华提高
变式2.观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：
（1）75在这列数中的含义是什么？ 1岁时的身高是75厘米. （2）10岁时身高是多少？ 10岁时的身高是145厘米.
第5章《数列》(第1节)ppt 省级一等奖课件
第五章 数列
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋qn，且 a2＝32，a4＝23，则
a8＝________．
解析
由已知得24pp＋＋qq24＝＝3232，，解得pq＝＝142，.
则 an＝14n＋2n，故 a8＝94.
答案
9 4
第五章 数列
[关键要点点拨] 1．对数列概念的理解
(2014·安阳模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若不等 式 a2n＋Sn2n2≥ma21对任意等差数列{an}及任意正整数 n 都成立，
则实数 m 的最大值为
()
1
1
A.4
B.5
C．1
D．无法确定
第五章 数列
【思路导析】 将已知不等式用 an 与 a1 表示后分离参数 m 转化为 函数的最值问题求解． 【解析】 因为 Sn＝12n(a1＋an)， 所以原不等式可化为 a2n＋41(a1＋an)2≥ma21. 若 a1＝0，则原不等式恒成立； 若 a1≠0，则有 m≤54aan12＋21aan1＋41，
第五章 数列
满足条件 项数 有限 项数 无限
an＋1 > an an＋1 < an an＋1＝an
其中 n∈N*
第五章 数列
3.数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
第五章 数列
二、数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且 任一项an 与它 的 前一项an－1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式 来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
第五章 数列
2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2， 3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的 函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．
4.1.1数列的概念PPT课件(人教版)
【变式练习】
根据下面的通项公式，分别写出数列的前5项.
；
.
解:（1）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列
的前5项为
（2）在通项公式中依次取n =1,2,3,4,5,得到数列
的前5项为 -1，2，-3，4，-5.
（3）这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 0001, 10 000-1，所以它的一个通项公式为
(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴 含着“从特殊到一般”的思想．
6.已知数列{an}的通项公式 an＝(2(n－－11)n)((n2＋n＋1)1).
(1)写出它的第 10 项； (2)判断 2 是不是该数列中的项．
33
【解析】 (1) a10＝(－119)×10×2111＝31919.
解:（1）视察知，这个数列的前4项都是序号的 2倍加1，所以它的一个通项公式为
（2）这个数列的前4项可以写成20,21,22,23， 所以它的一个通项公式为
三、典例解析 例 1 根据下列数列 { an }的通项公式，写出数列的前 5 项， 并画出它们的图象．
1 an
n2 2
n；2 anຫໍສະໝຸດ ncos1 ．
3,4,5,6,7,8,9.
①
（2）GDP为国内生产总值.分析各年GDP数据，找出
增长规律，是国家制定国民经济发展计划的重要根
据.根据中华人民共和国2002年国民经济和社会发
展统计公报，我国（1998～2002年)这五年GDP值
（亿元）依次排列如下：
78 345,82 067,89 442,95 933,102 398.
【解析】(1)各数都是偶数，且最小为 4，所以通项公式 an＝2(n＋1)(n∈N＋)． (2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 1.2.2 等差数列与一次函数
2.若数列{an}的图象上的点(n,an)都在直线y=3x-1上,则以下关系成立的是
( C )
A.a5≤a6
B.a6>a7
C.a6<a8
D.a5≥a6
解析 由数列{an}的图象上的点(n,an)都在直线y=3x-1上,可知an=3n-1,因此
数列{an}是递增数列,所以a8>a6,故选C.
3.若(3,6),(5,-3)是等差数列{an}的图象上的两点,则该数列的公差d满足
解得 1 = -1,
1 + 2 = 3,
= 2.
因此an=a1+(n-1)d=-1+2(n-1)=2n-3.
(2)由于d=2>0,因此数列{an}是递增数列.
证明如下:设数列{an}的任意相邻两项为an与an-1(n≥2),
则an-an-1=2n-3-[2(n-1)-3]=2>0.
即an>an-1(n≥2),因此数列{an}是递增数列.
规律方法 由数列通项公式证明数列为等差数列的方法
由 an 求 an-1(n≥2)—an-an-1—
与无关的常数 — { }是等差数列
与有关 — { }不是等差数列
变式训练1
已知点(n,an)在直线y=3x+1上,证明数列{an}是等差数列,并求其公差.
证明∵点(n,an)在直线y=3x+1上,
这不是关于n的一次函数的标准形式
对于一般的等差数列{an},其通项公式为an=a1+(n-1)d,将其中的正整数自
变量n换成实数自变量x,得到y=a1+(x-1)d=dx+(a1-d).
名师点睛
等差数列的图象由通项公式对应的关于n的函数的图象上的孤立点(n,an)
4.1第一课时 数列的概念(课件(人教版))
A．第 127 项
B．第 128 项
C．第 129 项
D．第 130 项
解析：把该数列的第一项 1 写成11，再将该数列分组，第一组 一项：11；第二组两项：12，21；第三组三项：13，22，31；第四 组四项：14，23，32，41；…容易发现：每组中每个分数的分子、 分母之和均为该组序号加 1，且每组的分子从 1 开始逐一增加， 因此89应位于第十六组中第八位．由 1＋2＋…＋15＋8＝128， 得89是该数列的第 128 项.
＝n2－1.
(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数
列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an＝(－
1)n＋1(2n－1)．
(3)此数列的整数部分 1,2,3,4，…恰好是序号 n，分数部分与序号
n
的关系为 n ，故所求的数列的一个通项公式为 n＋1
an＝n＋n＋n 1
由数列的前几项求通项公式
[例 1] (链接教材第 5 页例 2)(1)数列35，12，151，37，…的一个 通项公式是________；
(2)根据以下数列的前 4 项写出数列的一个通项公式： ①2×1 4，3×1 5，4×1 6，5×1 7，…； ②－3,7，－15,31，…； ③2,6,2,6，….
由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还 要考虑分子、分母的关系； (2)若 n 和 n＋1 项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n＋1 或(－1)n－1 来调控； (3)熟悉一些常见数列的通项公式； (4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容 易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分 解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后 再进行归纳．
第七章 第一节 数列的概念与简单表示法 课件(共48张PPT)
1．(多选)(2020·山东“百师联盟”)对于数列{an}，令 bn＝an－a1n ，则下 列说法正确的是( )
A．若数列{an}是单调递增数列，则数列{bn}也是单调递增数列 B．若数列{an}是单调递减数列，则数列{bn}也是单调递减数列 C．若 an＝3n－1，则数列{bn}有最小值 D．若 an＝1－－12 n ，则数列{bn}有最大值
3．已知 an＝nn－ ＋11 ，那么数列{an}是(
)
A．递减数列
B．递增数列
C．常数列
D．摆动数列
A [因 an＋1－an＝nn－ ＋11 －n＋n 2 ＝（n＋1）－（2 n＋2） <0，则 an＋1<an，
∴数列{an}是递减数列．]
4．(必修 5P67T2 改编)数列{an}的前几项为12 ，3，121 ，8，221 ，…， 则此数列的通项公式为________．
当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3， 所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝1＋2＋1＝4，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
经检验 a1＝4 不适合 an＝2n＋1，
故 an＝42n＋1
由递推关系式求数列的通项公式
(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n＋1，则 a5＝________； (2)若 a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式 an＝________； (3)已知数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式 an＝________．
解析： (1)依题意得 an＋1－an＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2
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【例1】已知数列{an}的通项公式为an= 1 n 2 -8n，判断数列
2
{an}的单调性.
【审题指导】解决本题的关键是正确采取比较的方式，比
较an+1与an的大小，也可用函数的观点判断.
【规范解答】方法一：根据题意可知
an
1 n2则8n，
2
an+1-an=12
(n+1)2-8(n+1)-1 (
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确定数列的增减性
确定数列的增减性的方法 判断数列是递增数列还是递减数列,关键是比较相邻两项an+1 与an的大小,常见的比较方法有两种： 一是作差比较法. (1)an+1-an>0⇔an+1>an⇔数列{an}是递增数列. (2)an+1-an<0⇔an+1<an⇔数列{an}是递减数列. (3)an+1-an=0⇔an+1=an⇔数列{an}是常数列.
丰城九中高一数学组
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2
从数列表示的角度理解数列的函数特性 数列是一种特殊函数,其定义域是正整数集N+(或它的有限子 集{ 1, 2, 3，…, n}) ,值域是当自变量顺次从小到大依次取值 时的对应值.
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二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式,用作商法
比作差法更简便一些.
an＞0
a n1 ＞ 1 an
递增数列
0＜ a n 1 ＜1 an
递减数列
a n1 1 an
常数列
an＜0 递减数列 递增数列
常数列
PPT学习交流8源自在利用作商比较法时，要确保数列的每一项都不是 零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较.
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【规范解答】(1)f( 2)a＝n log2 -2loa n g 2=2 aa n n－
an－
1 a
＝2n⇒
n
a－2n 2nan－1＝0，
所以an＝n n2.1
，1 所以
an
因为x∈(0,1)，所以 2 ∈a n (0,1)，所以an<0.
所以an＝n－ n2.1
(2)方法一：an＋1－an
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Thank you!
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可知：对称轴是x=8，所以当0<n<8时数列是递减数列；
当n≥8时，数列是递增数列.
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数列的函数性质的应用 数列的函数性质的应用 数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函 数关系可知：数列的通项an与n的关系公式就是函数f(x)的 解析式,所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途 径.
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
常见 错误
错误原因
第二问 n=-5
解出了n的值后，没有考虑n的定义域，直 接下结论导致错误，事实上，解决这类问题 需要特别注意n的取值范围.
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在利用二次函数的性质进行配方求解数列的
第三问 n= 1
2
最值时，忽略了n只能取正整数这一问题， 导致错误，一般地借助函数解决数列问题时， 都需要认真考虑定义域.
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【规范解答】(1)令30＋n－n2＝－60，
即n2－n－90＝0，
∴n＝10或n＝－9(舍)，…………………………………2分
∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60. …………4分 (2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.
∴n＝6或n＝－5(舍)，即当n＝6时，an＝0. …………6分
2
n2-8n)
n 由125数， 列的定义域为正整数集可知，当0<n<8时，an+1-
an<0，数列是递减数列；当n≥8时，an+1-an>0，数列是
递增数列.
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方法二：由于本题数列的通项公式为an=12 n2-8n对应的函
数
1
2
是f(x)= x2-8x，定义域为正整数集，根据函数的单调性
结合数列{an}的图像可知
当n等于1,2,3,4,5时，an>0.
当n>6且n∈N+时，an<0. …………………………………8
分
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(3)an＝30＋n－n2＝－(n－12)2＋1241， 又∵n∈N+，
故当n＝1时，an有最大值，其最大值为30. ………… 12分
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＝(n＋1)－ n121(n＝n21) 1－ ( n121n21)
＝1 － 2n1
1 － 2n1＝ 0.
n121n21 n1n
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所以 an＋1 ，a即n 数列{an}是递增数列.
方法二：∵
an1
n1
n12 1
an
n n2 1
n n2 1 1，
n1 n12 1
又∵an<0，∴an＋1>an， ∴数列{an}是递增数列.
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【例2】设函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足 f( 2 a n )=2n(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【审题指导】解决本题的关键是把函数的解析式通过关系 式转化求解得到数列的通项公式，然后再根据通项公式进 行作差，判断与零的大小或者作商判断与1的大小，从而判 断数列的单调性.
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【典例】(12分)一个数列的通项公式为an＝30＋n－n2. (1)问－60是否为这个数列中的项？ (2)当n分别为何值时，an＝0，an>0，an<0； (3)当n为何值时，an有最大值，并求出最大值. 【审题指导】本题的解决关键是用函数的观点思考解决数 列问题，三问逐步深入递进，首先第一问判断是否是数列 的项，代入验证判断求出的n是否为正整数即可，第二问和 第三问，结合二次函数进行判断求解.