数列的函数特征课件

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【例2】设函数f(x)＝log2x－logx2(0<x<1)，数列{an}满足 f( 2 a n )=2n(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列的单调性. 【审题指导】解决本题的关键是把函数的解析式通过关系 式转化求解得到数列的通项公式，然后再根据通项公式进 行作差，判断与零的大小或者作商判断与1的大小，从而判 断数列的单调性.
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【规范解答】(1)f( 2)a＝n log2 -2loa n g 2=2 aa n n－
an－
1 a
＝2n⇒
n
a－2n 2nan－1＝0，
所以an＝n n2.1
，1 所以
an
因为x∈(0,1)，所以 2 ∈a n (0,1)，所以an<0.
所以an＝n－ n2.1
(2)方法一：an＋1－an
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【典例】(12分)一个数列的通项公式为an＝30＋n－n2. (1)问－60是否为这个数列中的项？ (2)当n分别为何值时，an＝0，an>0，an<0； (3)当n为何值时，an有最大值，并求出最大值. 【审题指导】本题的解决关键是用函数的观点思考解决数 列问题，三问逐步深入递进，首先第一问判断是否是数列 的项，代入验证判断求出的n是否为正整数即可，第二问和 第三问，结合二次函数进行判断求解.
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确定数列的增减性
确定数列的增减性的方法 判断数列是递增数列还是递减数列,关键是比较相邻两项an+1 与an的大小,常见的比较方法有两种： 一是作差比较法. (1)an+1-an>0⇔an+1>an⇔数列{an}是递增数列. (2)an+1-an<0⇔an+1<an⇔数列{an}是递减数列. (3)an+1-an=0⇔an+1=an⇔数列{an}是常数列.
＝(n＋1)－ n121(n＝n21) 1－ ( n121n21)
＝1 － 2n1
1 － 2n1＝ 0.
n121n21 n1n
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所以 an＋1 ，a即n 数列{an}是递增数列.
方法二：∵
an1
n1
n12 1
an
n n2 1
n n2 1 1，
n1 n12 1
又∵an<0，∴an＋1>an， ∴数列{an}是递增数列.
可知：对称轴是x=8，所以当0<n<8时数列是递减数列；
当n≥8时，数列是递增数列.
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数列的函数性质的应用 数列的函数性质的应用 数列是特殊的函数，由数列的项与项数之间构成特殊的函 数关系可知：数列的通项an与n的关系公式就是函数f(x)的 解析式,所以根据函数解析式得出数列的通项公式是重要途 径.
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二是作商比较法，若数列的通项公式为根式形式,用作商法
比作差法更简便一些.
an＞0
a n1 ＞ 1 an
递增数列
0＜ a n 1 ＜1 an
递减数列
a n1 1 an
常数列
an＜0 递减数列 递增数列
常数列
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在利用作商比较法时，要确保数列的每一项都不是 零，再确认相邻两项的正负，然后进行比较.
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【规范解答】(1)令30＋n－n2＝－60，
即n2－n－90＝0，
∴n＝10或n＝－9(舍)，…………………………………2分
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∴－60是这个数列的第10项，即a10＝－60. …………4分 (2)令30＋n－n2＝0，即n2－n－30＝0.
∴n＝6或n＝－5(舍)，即当n＝6时，an＝0. …………6分
丰城九中高一数学组
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从数列表示的角度理解数列的函数特性 数列是一种特殊函数,其定义域是正整数集N+(或它的有限子 集{ 1, 2, 3，…, n}) ,值域是当自变量顺次从小到大依次取值 时的对应值.
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0000
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0000
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结合数列{an}的图像可知
当n等于1,2,3,4,5时，an>0.
当n>6且n∈N+时，an<0. …………………………………8
分
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(3)an＝30＋n－n2＝－(n－12)2＋1241， 又∵n∈N+，
故当n＝1时，an有最大值，其最大值为30. ………… 12分
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【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
常见 错误
错误原因
第二问 n=-5
解出了n的值后，没有考虑n的定义域，直 接下结论导致错误，事实上，解决这类问题 需要特别注意n的取值范围.
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在利用二次函数的性质进行配方求解数列的
第三问 n= 1
2
最值时，忽略了n只能取正整数这一问题， 导致错误，一般地借助函数解决数列问题时， 都需要认真考虑定义域.
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【例1】已知数列{an}的通项公式为an= 1 n 2 -8n，判断数列
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{an}的单调性.
【审题指导】解决本题的关键是正确采取比较的方式，比
较an+1与an的大小，也可用函数的观点判断.
【规范解答】方法一：根据题意可知
an
1 n2则8n，
2
an+1-an=12
(n+1)2-8(n+1)-1 (
2
n2-8n)
n 由125数， 列的定义域为正整数集可知，当0<n<8时，an+1-
an<0，数列是递减数列；当n≥8时，an+1-an>0，数列是
递增数列.
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方法二：由于本题数列的通项公式为an=12 n2-8n对应的函
数
1
2
是f(x)= x2-8x，定义域为正整数集，根据函数的单调性