柯西不等式的应用(整理篇)

柯西不等式的证明及相关应用

摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：

()2

2211n n b a b a b a +++Λ()()2

222122221n

n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i

i

Λ2,1,,=∈

等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数

()()()2

2

222

11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ

=()()()

2

222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ

由构造知 ()0≥x f 恒成立

又22120n

n a a a +++≥Q L

()()()

0442

2221222212

2211≤++++++-+++=∆∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ

即()()()

22221222212

2211n

n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12

12n n

a a a

b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法

（1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2

11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 (

)()()()2

2

22

22222212

1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++

()()()2

22

1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立

（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立

即 ()()()

22

221222212

2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ

当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立

设A=22221k a a a +++Λ B=2

2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L

2

C AB ≥∴

则()()

2

12121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A

()2

222

1111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+

()()22222222121121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++++L L ()2

112211k k k k a b

a b a b a b ++≥++++L 当 i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i Λ 或121+===k a a a Λ时等号成立 即 1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的简单应用

柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型：

1、证明相关数学命题

（1）证明不等式

例1 已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223

3

3

3

a b c a b c ++++≥

证明：利用柯西不等式

()

23131312

2

22222222a

b c

a a

b b

c c ⎛⎫

++=++ ⎪⎝⎭[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦

(

)()2

333

a b c

a b c =++++ ()1a b c ++=Q

又因为 2

2

2

a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上2

2

2

a b c ++得：

()

()2

222222c b a 222c b a c b a 3++=+++++≥++ac bc ab Θ

()(

)()()()

2223332

3332222

c b a 3c b a c b a c b a c b a

++⋅++≤++++≤++

故222

3

3

3

3

a b c a b c ++++≥

（2）三角形的相关问题

例2 设p 是ABC V 的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC V 外接圆的半径，

≤

证明：由柯西不等式得：