基于MATLAB的高次多项式凸轮型线优化设计

机械装备优化设计三级项目基于MATLAB的高次多项式凸轮型线优化设计

班级：12级机械装备-2班

设计人员（按贡献大小排序）：

唐俊杰（12011010093）

卫健行（120101010092）

王荟博（120101010095）

摘要

动力凸轮型线的设计十分重要,以高次多项式凸轮型线为例,在基于丰满系数和磨损设计多目标函数情况下,利用MATLAB及其优化工具箱(optimizationtoolbox)对目标函数数学模型进行优化求解。应用MATLAB的优化函数提供的强大计算功能,确定了凸轮型线高次五项式函数中的系数,并能快速找到目标函数的优化值。显著提高了型线优化设计的速度和精度,还可根据实际情况灵活地调整权重系数W1和W2的值的大小,计算方便快捷。在与传统设计方法比较结果表明,经优化设计,提高了动力凸轮的丰满系数,降低了凸轮型线的磨损。

关键词:优化设计; MATLAB; 高次多项式; 凸轮型线

前言

随着工程技术的发展和最优化技术的广泛应用,科学技术领域中需要求解很多优化问题。而工程中的最优化问题,绝大多数是有约束的,且多属于非线性规划问题[1]。内燃机配气系统中凸轮型线的设计就是这一种有约束非线性规划问题。由于各种限制条件的复杂性,传统凸轮曲线设计方法难以找到合适的曲线参数,本文讨论此类情况下,利用MATLAB优化工具箱(optimizationtoolbox)解决多目标函数情况下凸轮型线优化设计问题。通过MAT-LAB强大的计算功能,确定了凸轮型线高次五项式函数中的系数,利用其优化工具箱寻找了以丰满系数和磨损设计为数学模型的最优值。

小组分工：

唐俊杰负责MATLAB编程和WORD的制作

王荟博负责WORD的制作和PPT的制作

卫健行负责WORD的制作，查阅资料

一、高次五项式凸轮型线

凸轮曲线采用高次多项式型线,多项式项位向右影响渐弱,通常高次多项式取五项至七项。第六项以后对动力性能指标的影响力已很小,随着高次多项式项数的增加,凸轮丰满系数减小,加速度的绝对值变大,凸轮机构工作性能下降。而对于磨损设计的关键位置桃尖而言,因α=αB,β=(1-α/αB)= 0,高次多项式项数的增加不起作用,磨损与h″α有关,h″α=pCpω2/α2B[2]。故对一般内燃机配气机构的凸轮,在以丰满系数和磨损为目标函数来说,为设计计算方便,取五项即可满足设计要求。高次五项式作为气门升程曲线可表达为

h(α)= C0+Cpβp+Cqβq+Crβr+Csβs

式中:h(α)表示气门升程,简写为hα;α表示凸轮转角,将基本段始点取作α= 0;β=(1-α/αB),αB为基本段半包角;C0,Cp,Cq,Cr,Cs表示待定系数;p,q,r,s表示幂指数;取p= 2,q= 2n,r= 2n+ 2m,s=2n+ 4m,式中一般取n为3至20之间的实数;m 为1至20之间的实数。

二、凸轮型线优化设计目标函数

凸轮型线对系统的工作质量有着重要的影响,所以配气凸轮的优化设计,在很大程度上能提高内燃机的工作性能[4]。为使配气机构具备良好的充、排气性能要求凸轮型线具有较大的丰满系数。

ξ=∫2αB0h(α)dα2αBhmax

式中:hmax为凸轮的最大升程;ξ表示凸轮型线的丰满系数,其物理意义为高次曲线和基本工作段包角所围的面积与最大升程和基本工作段包角所围面积之比。它反映配气机构的气体通过能力,丰满系数大,进排气效率高,动力性能好。第一目标函数是建立以丰满系数为最大目标的函数。对高次五项式方程推导,得丰满系数为[5]

ξ=1C0C0+Cp1+p+Cq1+q+Cr1+r+Cs1+s(2)

第二目标函数的建立要求凸轮型线磨损量为最小,对第二目标函数磨损设计的求解,实际上演化为对高次五项式2阶求导,h″α=pCpω2/α

2B,其物理含义为:表示与高次曲线形状、初始条件等因素相关的在

桃尖处的垂直加速度大小。第二目标函数是建立以磨损量为最小目标的函数。

凸轮型线多目标函数合成为

minF(x)= W1(-ξ)+W2(h″α)

minF(x)=W1-1C0C0+Cp1+p+Cq1+q+Cr1+r+Cs1+s+W2(pCpω2α2B)

式中:W1、W2分别为第一、第二目标函数权重;系数C0、Cp、Cq、Cr、Cs为含有n、m变量的系数。所以x=[x1,x2]T=[n,m]T,目标函数F(x)为含有n、m变量的函数。

C0= hmax(最大升程) (5)

Cp=-C0qrs+v(qr+qs+rs-q-r-s+ 1)(q-p)(r-p)(s-p) (6)

Cq=-C0prs+v(pr+ps+rs-p-r-s+ 1)(p-q)(r-q)(s-q) (7)

Cr=-C0pqs+v(pq+ps+qs-p-q-s+ 1)(p-r)(q-r)(s-r) (8)

Cs=-C0pqr+v(pq+pr+qr-p-q-r+ 1)(p-s)(q-s)(r-s) (9)

式中:v=vgαBω,vg为阀门落座速度;αB为工作段半包角;ω为凸轮角速度。

三、优化函数约束条件

a)边界约束

s.t.g1(X)= [3-x1]≤0

g2(X)= [x1- 20]≤0

g3(X)= [1-x2]≤0

g4(X)= [x2- 20]≤0

b)最小曲率半径约束

g5(X)= [rmin]-rmin

[rmin]-r0-C0-amin(ω/57.3)2≤0

式中:amin= pCpω2/α2B;rmin为凸轮外形最小曲率半径,mm;[rmin]

许用最小曲率半径。

c)最大加速度约束

本应对最大加速度进行约束,但由于在以磨损设计作为第二目标函数时,其数学推导结果,实际上是对加速度进行间接限制,故不再在约束条件中对加速度重复约束。经分析以上式(4)的数学模型,可知是一个多目标约束非线性的最小化问题,应用MATLABOpti-mizationToolbox中fmincon函数[1],编写m代码,实现上述优化数学模型的求解,通过给定条件参数,由MATLAB 计算出幂指数p、q、r、s,及相应的系数Cp、Cq、Cr、Cs,从而