高中数学必修三讲义 第3章 3.3.1~3.3.2 几何概型

§3.3几何概型

3.3.1几何概型

3.3.2均匀随机数的产生

学习目标 1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.2.会求一些简单的几何概型的概率.3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率.

知识点一几何概型的概念

思考往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上.这个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？

答案出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的.

梳理(1)几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.

(2)几何概型的特点

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.

②每个基本事件出现的可能性相等.

知识点二几何概型的概率公式

思考既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数与总的基本事件数之比？

答案可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的几何量之比来表示.

梳理事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成比例，故可用区域的测度代替基本事件数.

P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). 知识点三均匀随机数

1.均匀随机数的定义

如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数.

2.均匀随机数的特征

(1)随机数是在一定范围内产生的.

(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等.

3.均匀随机数的产生

(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是RAND.

(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand ( )”.

(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；

③由计算器或计算机产生.

1.在一个正方形区域内任取一点的概率是零.(√)

2.与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.（×）

3.随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.（√）

类型一几何概型的识别

例1下列关于几何概型的说法错误的是()

A.几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性

B.几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关

C.几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个

D.几何概型中每个结果的发生都具有等可能性

考点几何概型定义

题点几何概型的判断

答案 A

解析几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个.

反思与感悟几何概型特点的理解

(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；

(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的.

跟踪训练1判断下列概率模型是古典概型还是几何概型.

(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；

(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率.

考点古典、几何概型定义

题点古典、几何概型的判断

解(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型.

(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型.

类型二几何概型的计算

命题角度1与长度有关的几何概型

例2取一根长为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m的概率为多少？

考点几何概型计算公式

题点与长度有关的几何概型

解如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.

把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A发生，因为中间一段的长度为1 m，

所以事件A发生的概率为P(A)＝1

3.

反思与感悟在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d，在找区

域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率. 跟踪训练2 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径为r (r ＜a )的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率. 考点 几何概型计算公式 题点 与长度有关的几何概型

解 记“硬币不与任何一条平行线相碰”为事件A ，如图，由图可知：硬币圆心在线段AB 上的任意一点的出现是等可能的.圆心在线段CD (不含点C ，D )上出现时硬币不与平行线相碰，所以P (A )＝线段CD 的长度线段AB 的长度

＝2a －2r 2a ＝a －r a .

命题角度2 与面积有关的几何概型

例3 设点M (x ，y )在区域{(x ，y )||x |≤1，|y |≤1}上均匀分布出现，求： (1)x ＋y ≥0的概率； (2)x ＋y ＜1的概率； (3)x 2＋y 2≥1的概率. 考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型

解 如图，满足|x |≤1，|y |≤1的点(x ，y )组成一个边长为2的正方形(ABCD )区域(含边界)， S 正方形ABCD ＝4.

(1)x ＋y ＝0的图象是直线AC ，满足x ＋y ≥0的点在AC 的右上方(含AC )，即在△ACD 内(含边界)，而S △ACD ＝12·S 正方形ABCD ＝2，所以P (x ＋y ≥0)＝24＝1

2

.

(2)设E (0,1)，F (1,0)，则x ＋y ＝1的图象是EF 所在的直线，满足x ＋y ＜1的点在直线EF 的左下方，即在五边形ABCFE 内(不含边界EF )，而S 五边形ABCFE ＝S 正方形ABCD －S △EDF ＝4－12＝7

2

，

所以P (x ＋y ＜1)＝S 五边形ABCFE S 正方形ABCD ＝7

24＝7

8

.

(3)满足x 2＋y 2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O ，S ⊙O ＝π，所以P (x 2＋y 2≥1)＝S 正方形ABCD －S ⊙O

S 正方形ABCD

＝4－π

4

. 反思与感悟 如果每个基本事件可以理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，某个随机事件的发生理解为恰好取到上述区域的某个指定区域内的点，且该区域中的每一个点被取到的机会都一样，这样的概率模型就可以视为几何概型，并且这里的区域可以用面积表示，利用几何概型的概率公式求解.

跟踪训练3 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率. 考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型

解 如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形.

图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.

由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2). 所以P (A )＝184600＝23

75

≈0.31.

即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 命题角度3 与体积有关的几何概型

例4 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h

2的概率.

考点 几何概型计算公式 题点 与体积有关的几何概型

解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中

点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h

2

.

设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S

4.

由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为1

3Sh ，

区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·7

8.

所以点M 到底面的距离小于h 2的概率为P ＝7

8

.

反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积.其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积

试验的全部结果构成的区域体积

.

跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.3

2π C.3π

D.233π

考点 几何概型计算公式 题点 与体积有关的几何概型 答案 D

解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×????3

23＝32

π，则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝23

3π

.

类型三 均匀随机数及随机模拟方法

例5 在如图所示的正方形中随机撒一把豆子，计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆子数之比并以此估计圆周率的值.

考点 均匀随机数的运用 题点 均匀随机数的运用

解 随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比， 即

圆的面积

正方形的面积≈落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数.

设正方形的边长为2，则圆的半径为1，则圆的面积正方形的面积＝π2×2＝π

4，由于落在每个区域的豆

子数是可以数出来的，所以π≈落在圆中的豆子数

落在正方形中的豆子数×4.所以就得到了π的近似值.

反思与感悟 用随机模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围.用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大.

用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内进行多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识. 跟踪训练5 利用随机模拟方法计算由y ＝1和y ＝x 2所围成的图形的面积. 考点 均匀随机数的运用 题点 均匀随机数的运用

解 以直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0，y ＝1为边界作矩形，

(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a 1＝RAND ，b ＝RAND ； (2)进行平移和伸缩变换，a ＝2(a 1－0.5)；

(3)数出落在阴影内的样本点数N 1，用几何概型公式计算阴影部分的面积.

例如做1 000次试验，即N ＝1 000，模拟得到N 1＝698， 所以P ＝N 1N ＝阴影面积矩形面积＝698

1 000

，

即阴影部分的面积S ＝矩形面积×6981 000＝2×698

1 000

＝1.396.

1.在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.1

2 考点 几何概型计算公式 题点 与体积有关的几何概型 答案 A

解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，

所以P ＝43π×23－4

3π×1343

π×23＝7

8.

2.如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域.在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是1

3

，则阴影区域的面积是( )

A.13

B.23

C.4

3 D.无法计算 考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案 C

解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型.设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分.设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面

积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝4

3

.

3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.5

6 考点 几何概型计算公式 题点 与长度有关的几何概型 答案 C

解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件.事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，由几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116

.

4.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 .

考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案 π8

解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝

12

S 圆＝

π

2

，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π

8

.

5.在区间[0,3]内任意取一个数，则此数大于2的概率为 . 答案 13

解析 由于区间[0,3]的长度为3，区间(2,3]的长度为1，故所求概率为P ＝1

3

.

1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型.

2.几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题.

3.注意理解几何概型与古典概型的区别.

4.理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

.

一、选择题

1.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( ) A.925 B.1625 C.310 D.15 考点 几何概型计算公式 题点 与长度有关的几何概型 答案 D

解析 以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图). ∴所求概率P ＝210＝15

.

2.如图所示，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )

A.15

B.14

C.13

D.12

考点 几何概型计算公式 题点 与角度有关的几何概型

答案 D

解析 当MN ＝2R 时，∠NOM ＝90°，若MN 的长度超过2R ，则∠NOM 在90°与180°之间，所以概率为180°360°＝12

.

3.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( ) A.16 B.13 C.23 D.45 考点 几何概型计算公式 题点 与长度有关的几何概型 答案 C

解析 设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm(0＜x ＜12)， ∴矩形面积为x (12－x )cm 2，

由x (12－x )＜32，解得x ＞8或x ＜4，

∴0＜x ＜4或8＜x ＜12.∴所求概率为4＋412＝23，

故选C.

4.如图，在一个边长分别为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边长分别为a 3，a

2

，且高为b .现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是( )

A.710

B.57

C.512

D.58 考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案 C

解析 S 梯形＝12????a 3＋a 2b ＝5

12ab ，S 矩形＝ab . 所以P ＝S 梯形S 矩形＝5

12

.

5.在[0,5]之间随机取一个数作为x 的值，则使1

解析 由1

故选B.

6.如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )

A.1－π4

B.π2－1

C.2－π2

D.π4

考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案 A

解析 由题意得，无信号的区域面积为2×1－2×14π×12＝2－π

2，由几何概型的概率公式，

得无信号的概率为P ＝2－π

22＝1－π

4

.

7.如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <

3

3AC 的概率为( )

A.33

B.34

C.

32 D.14

考点 几何概型计算公式 题点 与角度有关的几何概型 答案 D

解析 由题意，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，则AC ＝3AD ，即AD ＝

3

3

AC ，AB ＝3AC ＝3AD ，所以要使过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <3

3AC ，只要AM

以AM <

33AC 的概率为30°120°＝14

.故选D. 8.函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0使f (x 0)＞0的概率为( ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 考点 几何概型计算公式 题点 与长度有关的几何概型 答案 C

解析 如图，在[－5,5]上函数的图象和x 轴分别交于两点(－1,0)，(2,0)，只有x 0∈[－5，－1)∪(2,5]时，f (x 0)＞0，由题意，知本题是几何概型问题.记事件A 为“任取一点x 0，使f (x 0)＞0”，事件A 的区域长度是区间[－5，－1)与(2,5]的长度和，全体基本事件的长度是[－5,5]的区间长度.由几何概型的概率计算公式，得P (A )＝4＋3

10

＝0.7.故选C.

9.在闭区间[－4,6]上随机取出一个数x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于39的概率为( )

A.15

B.25

C.35

D.45

考点 概率问题的综合题型 题点 概率与程序框图的综合 答案 A

解析 由程序框图知，第一次循环，n ＝1，满足条件n ≤3，x ＝2x ＋1，n ＝2， 第二次循环，n ＝2，满足条件n ≤3，x ＝2(2x ＋1)＋1＝4x ＋3，n ＝3， 第三次循环，n ＝3，满足条件n ≤3，x ＝2(4x ＋3)＋1＝8x ＋7，n ＝4， 此时不满足条件n ≤3，输出8x ＋7， 由8x ＋7≥39得x ≥4，

又因为x ∈[－4,6]，所以4≤x ≤6，

则输出的x 不小于39的概率P ＝6－46－(－4)＝210＝1

5.

故选A. 二、填空题

10.有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为 . 考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案

33

4π

解析 设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·1

2AC ·OD ＝3·CD ·OD

＝3·R sin 60°·R cos 60°＝33R 2

4

，

∴P ＝S △ABC πR 2＝33R 24πR 2＝334π

.

11.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm ，黄心直径是12.2 cm ，运动员在距离靶面70 m 外射箭.假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么射中黄心的概率是 .

考点 几何概型计算公式 题点 与面积有关的几何概型 答案 0.01

解析 由于中靶点随机地落在面积为1

4×π×1222 cm 2的大圆内，

黄心的面积为1

4

π×(12.2)2 cm 2，

所以射中黄心的概率为＝1

4

×π×(12.2)21

4

×π×1222＝0.01.

12.在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为5

6，则m ＝ .

考点 几何概型的综合应用 题点 几何概型与不等式的综合应用 答案 3

解析 当m ≤2时，2m 6＝5

6无解.当2＜m ≤4时，由m ＋26＝56

得m ＝3，综上m ＝3.

三、解答题

13.两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率. 考点 几何概型的综合应用

题点 几何概型与线性规划的综合应用

解 设两人分别于(20＋x )时和(20＋y )时到达约定地点(0≤x ，y ≤1)，要使两人能在约定时间范围内相见，则有－23≤x －y ≤2

3.(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表

示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示.

因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即

P ＝S 阴影S 单位正方形

＝1－????132

12＝8

9.

四、探究与拓展

14.分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为( ) A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.8 考点 概率问题的综合题型 题点 几何概型与不等式的综合应用 答案 C

解析 画出图形(如图所示)，m ，n 所满足的区域为矩形ABCD ，而m >n 所满足的区域为梯形ABCE ，所以m >n 的概率P ＝S 梯形ABCE S 矩形ABCD

＝15－9

2

15＝0.7.故选C.

15.某校早8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(用数字作答)

考点几何概型的综合应用

题点几何概型与线性规划的综合应用

答案

9

32

解析设小张和小王到校的时间分别为y和x，则

??

?

??30≤x≤50，

30≤y≤50，

y－x≥5，

则满足条件的区域如图中阴影部分所示.

故所求概率P＝

1

2×15×15

20×20

＝9

32.