杭州市“思维数学”夏令营数学竞赛试题卷.doc
2007年杭州市“思维数学”夏令营
数学竞赛试题卷
同学们请注意：
1． 本试题卷共有三大题20个小题，满分120分，考试时间80分钟.
2． 把解答做在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效; 竞赛结束后, 只须上交答题卷, 试
题卷请自己保管.
3. 考试结束后, 同学们可以登录“杭州中学数学网”：https://www.360docs.net/doc/b89192505.html, 查询获奖情况，并下载评分标准.
一. 选择题 (本题有10个小题, 每小题4分, 共40分) 1. 已知代数式b a x +-2
)(的值恒为正，那么b 的值应该为
(A) 负数 (B) 非负数 (C) 非正数 (D) 正数
2. 对于有理数a , 下面的3个说法中: ① a -表示负有理数; ② ||a 表示正有理数; ③
a 与a -中, 必有一个是负有理数. 正确说法的个数有
(A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 3. 如图, Q P ,是ABC ?的边BC 上的两点, 且有
AQ AP QC PQ BP ====, 则BAC ∠的大小为
(A)
90 (B)
100 (C)
120 (D)
150
4. 将如右图所示的圆心角为90的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径
OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是
(A) (B) (C) (D)
5. 要使关于x 的方程1ax x a -=+无解, 则常数a 的值应取
(A) 1 (B) – 1 (C) ±1 (D) 0
(第3题)
6. 右边条形图是从曙光中学800名学生中帮助失学儿童捐款金额的部分抽样调查数据, 扇形图是该校各年级人数比例分布图. 那么该校七年级同学捐款的总数大约为
(A) 870元 (B) 4200元 (C) 5010元 (D) 250560元
7. 足球比赛的记分规则是: 胜一场记3分, 平一场记1分, 负一场记0分. 一支中学生足球队参加了15场比赛, 负了4场, 共得29分, 则这支球队胜了 (A) 5场 (B) 7场 (C) 9场 (D) 11场 8. 如图, 将圆桶中的水倒入一个直径为40cm, 高为55cm 的圆口容器中, 圆桶放置的角度与水平线的夹角为
45. 要使容器中的水面与圆桶相接触,则容器中水的深度至少应为
(A) 30cm (B) 35cm (C) 40cm (D) 45cm 9. 在下列6个图形中, 每个小四边形都是全等的正方形, 那么沿其正方形相邻边折叠, 能够围成正方体的编号是
(A) ① ② ③ ⑥ (B) ① ② ⑥ (C) ① ③ ④ (D) ① ③ ⑥
10. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型, 在某高峰时刻, 单位时间进出路口C B A ,,的机动车辆数如图所示. 图中
321,,x x x 分别表示该时段单位时间通过路段CA BC AB ,,的
机动车辆数(假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等), 则有
(A) 321x x x >> (B) 231x x x >> (C) 132x x x >> (D) 123x x x >>
(第6题)
(第8题)
①③
④ ⑤ ⑥
(第10题)
二. 填空题 (本题有5个小题, 每小题6分, 共30分)
11. 如下图，将一张正方形纸片经过两次对折
．．，最后剪出一个菱形小洞后展开铺平，请你在空格的正方形纸片上画出所应该得到的图形
12.在小时候，我们就用手指练习过数数. 一个小朋友按如图
所示的规则练习数数，数到2007时对应的指头是___________.
(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、
无名指、小指).
13. 已知OC
AOB,
90
=
∠为一射线,ON
OM,分别平分
BOC
∠和AOC
∠, 则MON
∠的大小为 ____________ .
14．三个同学对问题“若二元一次方程组111
222
a x
b y c
a x
b y c
+=
?
?
+=
?
的解是
?
?
?
=
=
4
3
y
x
, 求方程组
111
222
325
325
a x
b y c
a x
b y c
+=
?
?
+=
?
的解. ”提出各自的想法. 甲说:“这个题目好象条件不够, 不能求解”; 乙说: “它们的系数有一定的规律, 可以试试”; 丙说: “能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5, 通过换元替代的方法来解决”. 参考他们的讨论, 你认为这个题目的解应该是 ________ .
15. 有一位客人从一楼进入电梯，再上升到第
九楼后走出来。右图是描述电梯上升时, 楼层与
时间的关系图，时间单位为“秒”，每一层楼高
3m. 现给出下列判断：①电梯由一楼开始上升
直达九楼，若中途不停，只要花40秒; ②电梯
在上升途中共停了2次，并且2次停留时间总计
15秒; ③若电梯以等速上升，则上升的速度为
0.6公尺/秒; ④这位客人搭电梯，从一楼开始上升到达九楼为止，前后共花55秒. 其中正确的判断是 __________ . (把你认为正确判断的序号都填上)
三. 解答题 (本题有5个小题, 每小题10分, 共50分)
(第11题)
(第15题)
16. (本题10分)
找出能使二次三项式26
x ax
+-可以因式分解(在整数范围内)的整数值a, 并且将其进行因式分解.
17. (本题10分)
有5个边长为1的正方形, 我们可以分割后拼接成一个新的如图1的大正方形. 现又有10个边长为1的正方形如图2排列, 请你在图中画出分割线, 并在图2的右边画出拼接成的新的大正方形.
18. (本题10分)
如图, 同学们在操场的一个圆形区域内玩投掷沙包的游戏,
圆形区域由5个过同一点且半径不同的圆组成. 经过多次实验,
发现沙包如果都能落在区域内时, 落在2, 4两个阴影内的概率
分别是0.36和0.21, 设最大的圆的直径是5米, 求1,3,5三个
区域的面积和.
19. (本题10分)
如图, DAC
?和EBC
?都是等边三角形,
BD
AE,分别与CE
CD,交于点N
M,.
(1) 证明: ACE
?≌DCB
?.
(2) 在两组线段: ①CM与CN;
②AC与DN中, 有相等的线段吗?
(只须写出结论, 不须证明)
20. (本题10分)
有50名同学站在操场上玩游戏, 他们彼此间的距离都各不相等. 每人手中有一把水枪, 游戏规则是: 每人都向离自己最近的人打一枪. 试证明: 每一个人至多挨了5枪. (提示: 也就是要证明: 假定有一个人至少挨6枪是不可能的)
(第17题图1)
(第17题图2)
(第18题)
(第19题)