定积分的背景——面积和路程问题
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说教材
教材前后联系、地位和作用
微分研究的是局部的、动态的和瞬时的事物, 是发生在“0”时刻的事件;而数学家则希望借此 来“以暂定久”、“以常制变”、“以局部驭整 体”,这就需要用到定积分了!
本节课是定积分的第一节课.课程标准要求我 们通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功 等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借 助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定 积分的概念.
S>S1+S2
DE
说教学设想
例题:求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0 所围成的平面图形的面积.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解:1°分割:将区间[0,1]分成n等份:
2代0°,替近1n 小似, 曲代1n ,边替n2 梯:, 形用,小 n矩n1形,1
3S°i 求记和Sni个: 小f (iS曲nn1)边x梯n (形iSni1的)2 x
定积分
定积分的背景——面积和 路程问题
说教材
教材前后联系、地位和作用
众所周知,微积分是数学发展史上继欧氏几何后 的又一个具有划时代意义的伟大创造,被誉为数 学史上的里程碑、“人类精神的最高胜利” .
在前面的课程中,我们通过学习导数,并利用导 数研究函数的单调性、变化快慢、极值及生活中 的优化问题等,渗透了微分思想.
解: Sn 如函in果数1 1n取值f ([fni(()iξ-i)113作)(/1为n,1n小i/)(n1矩]内形21n任的) 意高点,ξ以i的此
S
近lnim似 S,n 情lnim况 13又(1怎 1n样)(1呢?21n)
1 3
说教学设想
求曲边梯形面积的“四步曲”:
1°分割 2°近似代替 3°求和 4°取极限
说教学设想
建构主义要求在课堂上体现思想方法的自主 建构过程,让学生去尝试,经历挫折,讨论、 调整、选择更合理的解题思路.
合作探究:
①线段OB近似曲边OB;
②分割,矩形近似; ③分割越多,小矩形的 面积之和越接近曲边梯 形的面积;
说教学设想
解题思想 “细分割、近似和、渐逼近”
图象放大
S1 C
F S2
说教材
教学目标
Ⅰ、知识与技能目标:
[1]通过探求曲边梯形的面积,使学生了解定积 分的实际背景,了解“以直代曲”“逼近”的思 想方法,建构定积分的认知基础;
[2]通过这部分内容的教学,逐步培养学生分析 问题、解决问题的能力和辨证思维能力,能求简 单的曲边梯形的面积.
说教材
教学目标
Ⅱ、过程与方法目标:
面积分别 (为i 1:)2
1i
1
(i
1,
2,
, n)
4°取△极S1限, △:nS2,…n , △Sn
S
则 lniSm=S△n S l1ni+m△13S(12+1n…)(1+△21Sn)n
1 3
说教学设想
例题:求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0 所围成的平面图形的面积.
练习:试以区间右端点的函数值作高,近 似、求和、取极限,计算此时曲边梯形的 面积.
说教学设想
教学基本流程
创设情境、引出课题 联系史实、提出问题
例题分析、思想奠基
课堂小结、布置作业
师生合作、共同探究
练习巩固、思想提升
步骤板演、解决问题
说教学设想
这些图形的面积 该怎样计算?
说教学设想
曲边梯形的概念:如图所示,我们 把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线 y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.
y
f(b)
y=f(x)
如何求曲边
f(a)
梯形的面积?
Oa
bx
说教学设想
例题(阿基米德问题):求由抛物线 y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形 的面积.
问题1:我们是怎样计 算圆的面积的?圆周率 是如何确定的?
问题2:“割圆术”是 怎样操作的?对我们有 何启示?
Archimedes,约公元前 287年—约公元前212年
[1]通过类比“割圆术”,引导学生萌发“分 割”、“近似”、“以直代曲”的想法,变曲为 直;
[2]通过对比分割后图象面积差的变化特点,突 出“细分割、近似和、渐逼近”的数学过程;
[3]通过数学软件的演示,观察数据特征,让学 生经历“刨光磨平”的逼近过程,从直观上理解 极限思想,接受极限值即准确值的数学事实.
Ⅱ、教学难点:
[1]掌握“以直代曲”“逼近”思想的形 成过程,尤其是“刨光磨平”的极限过程;
[2]求和符号∑.
鉴于定积分思想的高度抽象性,并针对本节课 的特点,我采用以教师引导为主,学生自主探索、 积极思考为辅的探究式教学方法;在教学手段上采 用黑板和多媒体相结合的灵活的教学手段,利用几 何画板等数学工具直观的展现面积的逼近过程,激 发学生的学习兴趣,并加深其对“分割、近似、求 和、取极限”的理解;在教学思想上则以建构主义 的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决 问题——验证解题方法”为主,强调思想方法的建 构过程,把主动权交给学生,与同学们共享成长.
化整为零 以直代曲 积零为整 刨光磨平
说教学设想
作业:求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围 成的曲边梯形的面积.
课后探究:以区间内任意点ξi的函数值f(ξi)作 高,求此时曲边梯形的面积.
研究性课题:利用所学知识,编写计算曲边梯 形面积的QBASIC程序.
说教材
教学目标
Ⅲ、情态与价值目标:
[1]从生产生活实践中创设情境引出课题,培养 学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神, 鼓励同学们勤于思考、刻苦学习;
[2]帮助学生建立“分割、近似、求和、取极限” 的定积分思想,渗透“化整为零零积整”的辨证 唯物观.
说教材
教学重点、难点
Ⅰ、教学重点:
了解定积分的基本思想方法(以直代曲、逼 近的思想),初步掌握求曲边梯形面积的“四 步曲”——“分割、近似、求和、取极限”.