定积分求面积
定积分求平面图形面积在实际生活中的应用
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定积分求平面图形面积在实际生活中的应用定积分是数学中重要的概念,定积分可以用来计算函数在一定范围(定义域)内的积分值。
它是一种可以用来计算面积或计算曲线积分问题的一种技术。
在实际生活中,定积分用于求解平面图形面积的问题,广泛应用于水利、建筑、航空航天等各个领域。
首先,定积分可以用于求解椭圆面积的问题。
椭圆面积可以用定积分来计算,其计算公式为:S=[π/2*(a2-b2)],其中a是椭圆的长轴,b是椭圆的短轴。
这个公式能够准确地计算出椭圆的面积,在水利等领域中,椭圆管道的运用非常广泛,可以用定积分计算出椭圆管道的面积,从而帮助水利设计者准确地计算水利结构的尺寸。
其次,定积分可以用于求解三角形面积的问题。
三角形的面积也可以通过定积分进行计算,其计算公式为:S=*a*b*sin(C),其中a 和b是三角形的底边,C是三角形的内角。
这个公式可以准确的计算出三角形的面积,在建筑设计等领域中,三角形结构的运用非常广泛,可以用定积分计算出三角形结构的面积,从而帮助设计者准确地计算建筑结构的尺寸。
此外,定积分还可以用于求解复杂图形的面积。
复杂图形的面积可以用定积分来计算,例如可以用定积分计算圆柱体的表面积、圆柱管的表面积以及球的表面积等。
在航空航天等领域中,复杂图形的运用也非常广泛,例如飞机机身的设计、航天器的设计等,可以用定积分计算出复杂图形的面积,从而帮助设计者准确地计算机构的尺寸。
综上所述,定积分在实际生活中极具价值,它可以用于求解椭圆
面积、三角形面积以及复杂图形的面积等问题,在水利、建筑、航空航天等各个领域都有很广泛的应用,其准确的计算方法可以为实际生活中的设计者提供帮助。
定积分求面积
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找一个函数来描述要求解的曲面一侧的高度,然后描述无穷小单元的面积。
其实,不管是什么样的坐标,思路都是一样的。
事实上,最原始的方法可以用方格子图纸来计算面积。
用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和平面曲线的弧长。
Mbth是一种积分,它是函数f(X)在区间[a,b]上的积分和的极限。
这里要注意定积分和不定积分的关系:如果有定积分,就是一个具体的数值,而不定积分是一个函数表达式,只有一个数学计算关系(牛顿-莱布尼兹公式)。
定积分定义:设函数f(X)在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…。
,(xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。
可以知道,每个区间的长度依次为x1=x1-x0,并且每个子区间(xi-1,xi]中的任意点ξi(1,2,…,n)被用作求和公式。
这个求和公式称为积分和。
设λ=max{x1,x2,…,xn}(即,λ是最大间隔长度)。
如果当λ→为0时存在积分和极限,则这个极限称为函数f(X)在区间[a,b]上的定积分,记为,函数f(X)在区间[1]内,其中:a称为积分下限,b称为积分上限,区间[a,b]称为积分区间,函数f(X)称为被积函数,x称为积分变量,f(X)dx称为被积函数表达式,∫称为整数。
之所以叫定积分,是因为积分后得到的值是定的,是常数,不是函数。
根据上述定义,如果函数f(X)可以在区间[a,b]内积分,则存在n等分的特殊除法:特别地,根据上述表达式,当区间[a,b]恰好是区间[0,1]时,区间[0,1]的积分表达式如下:1.当a=b时,2.当a>b时,3.在整数前可以提到常量。
4.代数和的积分等于积分的代数和。
5.定积分的可加性:如果将积分区间[a,b]分成两个子区间[a,c]和[c,b],则有由于性质2,如果f(X)在区间d上可积,则区间d(可能不在区间[a,b]上)中的任何c都满足条件。
6.如果f(X)在区间[a,b]内≥0。
定积分求面积
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计算由曲线 y 2 = 2 x 和直线 y = x − 4 所围
成的图形的面积. 成的图形的面积
解 两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
y ∈ [−2, 4] −
A = ∫ dA = 18.
−2 4
y2 dA = y + 4 − dy 2
0 x
x
x
两边同时对 x 求导
3 f ( x ) = 2 y + 2 xy ′ ⇒ 2 x y ′ = y
积分得 y = cx ,
2
9 因为曲线 y = f ( x ) 过点 ( 2 , 3 ) ⇒ c = 2
9 ∴ y = x, 2
2
因为 f ( x ) 为单调函数
3 所以所求曲线为 y = 2x. 2
a
b
例:曲线 y = x ( x − 1)( 2 − x )与 x轴所围图形的面积可表 为: A) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 2
B ) ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
0 1
1
2
C ) − ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx + ∫ x ( x − 1)( 2 − x )dx ;
6 曲线 y = x 2 与它两条相互垂直的切线所围成平面图 形的面积 S ,其中一条切线与曲线相切于点 A( a , a 2 ) , a > 0 ,则当 a = __时,面积 S 最小 . __时
二、求由下列各曲线所围成的图形的面积: 求由下列各曲线所围成的图形的面积: 1 1、 y = 与直线 y = x 及 x = 2 ; x 2、 y = x 2 与直线 y = x 及 y = 2 x ; 3、 r = 2a ( 2 + cosθ ) ; 4 、 摆线 x = a( t − sin t ) , y = a (1 − cos t ) (0 ≤ t ≤ 2π ) 及 x 轴; 的公共部分; 5、 r = 3 cosθ 及 r = 1 + cosθ 的公共部分; 6、笛卡尔叶形线 x 3 + y 3 + 3axy .
利用定积分求曲线围成的面积
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12.9 利用定积分求曲线围成的面积武汉外国语学校汪家硕一.复习回顾:当f(x )0时,由y = f ( x) 、x = a、x = b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方。
2.牛顿—莱布尼茨公式定理(微积分基本定理)如果f (x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F'(x) = f (x),则.曲线围成的面积1.设f和g是区间[a,b]上的连续函数且对任意的x[a,b]有f(x )g(x),则直线x=a和直线x=b以及曲线间围成的面积可以表示为:b b bf (x)dx -g(x)dx =f (x)-g(x)dx a a a例1.求抛物线y=x2和直线y=2x所围成的区域面积。
解:先求出P点坐标。
y= x2x = 0解方程组y = x x=0y= 2x x = 2P点的坐标是(2,4) 。
2所求的面积= 2x - x2dx = x20=4-8=4b1.定积分的几何意义:当f(x )0时,积分f(x)dx在几何上表示由y= f(x)、x=a、a3 33例3 例2.计算曲线y = x 2 +1和y = 4 - x 2 ,以及直线x =1和x = -1所围成的区域面积。
f (x )-g (x )dx + g (x )- f (x )dx + f (x )-g (x )dx + g (x )-f (x )dx ac1 c2 c 3例3:求 f (x )= x 3和g (x )= x 所围成的封闭区域面积。
解:当 f (x )= g (x )时图像的交点,即 x 3 = x x 3 - x = 0 x ( x 2 -1) = 0x = 0或 1解:所求面积=-11 (x2 +1)dx = 3-2x 2dx =-1 3x -2x 3 3-1 14 32.前面的例题都是一个曲线总在另外一个曲线的上方,如果它们交叉会是什么结考虑区间[a ,c 1],[c 1,c 2],[c 2,c 3],[c 3,b ],阴影部分面积可以表示为:例 4 :求阴影部分的面积。
定积分求面积专升本练习题
![定积分求面积专升本练习题](https://img.taocdn.com/s3/m/887eda4711a6f524ccbff121dd36a32d7375c7a5.png)
定积分求面积专升本练习题### 定积分求面积专升本练习题#### 练习题一:计算曲线下的面积设函数 \( f(x) = 2x - x^2 \),求该函数在区间 \([0, 2]\) 上的面积。
解题步骤:1. 确定积分区间:\([0, 2]\)。
2. 写出积分表达式:\(\int_{0}^{2} (2x - x^2) dx\)。
3. 计算积分:\(\int (2x - x^2) dx = x^2 - \frac{1}{3}x^3 +C\)。
4. 代入积分区间的上下限:\(\left[ x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} = (4 - \frac{8}{3}) - (0 - 0) = \frac{4}{3}\)。
5. 得出结果:面积为 \(\frac{4}{3}\) 平方单位。
#### 练习题二:计算曲线与x轴围成的面积设函数 \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \),求该函数在区间 \([0, 3]\) 上与x轴围成的面积。
解题步骤:1. 确定积分区间:\([0, 3]\)。
2. 写出积分表达式:\(\int_{0}^{3} (x^3 - 3x^2 + 2) dx\)。
3. 计算积分:\(\int (x^3 - 3x^2 + 2) dx = \frac{1}{4}x^4 -x^3 + 2x + C\)。
4. 代入积分区间的上下限:\(\left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 2x\right]_{0}^{3} = (20.25 - 27 + 6) - (0 - 0 + 0) = 1.25\)。
5. 得出结果:面积为 \(1.25\) 平方单位。
#### 练习题三:计算曲线与y轴围成的面积设函数 \( h(x) = \sqrt{4 - x^2} \),求该函数在区间 \([-2, 2]\) 上与y轴围成的面积。
解题步骤:1. 确定积分区间:\([-2, 2]\)。
定积分求曲线所围面积
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定积分求曲线所围面积
求曲线所围面积是一类常见的高数问题,主要分为定积分法和曲线积分法。
定积分法:
定积分法是一种基于定积分的方法,即把目标曲线与X轴或Y轴之间的闭合图形拆分
成N片矩形,利用定积分累加各片形积,从而计算出闭合图形的总面积。
定积分法求解曲
线面积的具体步骤如下:
(1)设置确定积分区间,把目标曲线与X轴或Y轴之间的闭合图形分割成N片矩形。
(2)求每片矩形的面积,可以根据不同的曲线而采用不同的方法,例如把抛物线的
面积拆分为两个三角形的总面积,把正弦曲线的面积拆分为两个一半三角形的总面积。
(3)叠加所有矩形的面积,计算出曲线所围的面积。
曲线积分法:
曲线积分法也称为极限法,是一种以曲线的方程式为基础的方法,是用来计算曲线在
某个区间内的积分值。
此方法可以用来精确计算曲线围成的面积。
曲线积分法求解曲线面
积的具体步骤如下:
(1)根据曲线的方程式,把曲线切割成N片矩形,利用定积分计算出每片矩形的积
分值。
(2)叠加所有矩形的积分值,计算出曲线所围的面积。
(3)除此之外,还可以根据曲线的特殊形状,将曲线分割成若干个更小的形状,再
用曲线积分法计算每块小形状的积分值,最后叠加所有积分值求得曲线所围的面积。
以上便是定积分法与曲线积分法求曲线所围面积的基本流程,不过具体的数学推导过
程还需要考虑曲线的函数形式以及积分的具体应用,此外,还可以采用数值积分的方法来
解决这一问题。
通过以上两种方法,可以较为精准的求出曲线所围的面积。
定积分求面积体积的推导公式
![定积分求面积体积的推导公式](https://img.taocdn.com/s3/m/1a25c0d7d1d233d4b14e852458fb770bf68a3b41.png)
定积分求面积体积的推导公式定积分这个东西啊,在数学里可真是个厉害的角色!特别是在求面积和体积的时候,那作用可大了。
咱们先来说说定积分求面积的推导公式。
想象一下,有一块不规则的土地,咱们想知道它的面积,可这形状弯弯扭扭的,咋整?这时候定积分就派上用场啦!比如说,有一条曲线 y = f(x) ,它在 x 轴上方,咱们要找从 a 到 b 这段区间里,曲线和 x 轴围成的面积。
咱们把这个区间分成很多很小很小的小段,每一小段的宽度用Δx 表示。
那在每一小段上,咱们可以近似地把这一小部分看成一个矩形。
这个矩形的高度就是 f(x) 在这一点的值,宽度就是Δx 。
然后呢,把这些小矩形的面积都加起来,就越来越接近真正的面积啦。
当Δx 变得越来越小,一直小到趋近于 0 的时候,这些小矩形面积的和就变成了定积分。
我给您举个例子啊,就说咱们有个函数 y = x^2 ,要算从 0 到 2 这段和 x 轴围成的面积。
咱们先把区间 [0, 2] 分成 n 个小段,每个小段的宽度就是 2 / n 。
那第 i 个小段的横坐标就是 2i / n 。
这一小段的面积近似为 (2i / n)^2 × (2 / n) 。
把所有小段的面积加起来,得到一个式子:S ≈ ∑[(2i / n)^2 × (2 / n)] (i 从 1 到 n)然后对这个式子进行化简,当 n 趋向于无穷大的时候,就得到了定积分:∫(0 到 2) x^2 dx = [x^3 / 3] |(0 到 2) = 8 / 3您看,通过这样一步步的推导,就能算出这个不规则图形的面积啦!再来说说定积分求体积。
体积的推导和面积有点类似,但又有一些小差别。
假设咱们有一个旋转体,就像一个花瓶,是由曲线 y = f(x) 绕着 x轴旋转得到的。
咱们还是把 x 轴上的区间 [a, b] 分成很多小段。
在每一小段上,把曲线绕 x 轴旋转一圈,就得到了一个很薄的圆盘。
这个圆盘的体积可以近似看作一个圆柱体的体积,圆柱体的底面半径就是f(x) ,高度就是Δx 。
定积分求面积
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定积分求面积
将不规则图形的的边界线用曲线方程表示出来,定积分的上下限就是曲线的端点.用上边界曲线的定积分减去下边界曲线的定积分就是面积!
平面图形的面积有两点需要注意,一个是选择用极坐标计算面积还是选择用极坐标系计算面积,一个是在计算面积是应该注意正负,定积分是有正负的,但是面积都是正的,在理解了定积分的含义之后,要明白计算面积时要加绝对值,或者在负的定积分前加负号,保证计算出来的面积是正的。
今天定积分的几何应用分为两个部分,平面图形的面积和曲边扇形面积,前者是直角坐标系下的,后者是极坐标系下的,所以考专升本的小伙伴们只需要学会前者就可以,考研的小伙伴们两个都要很熟练。
其实,秘诀就是两个字——画图,把图画出来,根据定积分的求面积公式就可以了,注意交点,注意范围,注意被积函数。
今天其实就6道例题,但是我写了很久,因为……图太难画了,图像很简单,但是涂色有点麻烦,想了许久,终于成功得涂成了灰灰的样子,哈哈哈哈~~~相当于又复习了一遍原先学的软件,果然,还是熟能生巧(其实完全可以保存好了之后用画图软件打开,直接填充颜色就可以,但是为了彰显我这个小白的软件技术⁄(⁄ ⁄•⁄ω⁄•⁄ ⁄)⁄~~哈哈哈哈~)预告一下明天的内容,明天有出题率很高的旋转体体积,还有考研数学一和数学二要学会的求弧长以及旋转体的侧面积或表
面积。
定积分的应用:平面图形面积
![定积分的应用:平面图形面积](https://img.taocdn.com/s3/m/2b6744b96bec0975f465e257.png)
r ( )
d
o 1 面积元素 dA [ ( )]2 d 2 1 曲边扇形的面积 A [ ( )]2 d .
x
2
例 4
求双纽线 a cos 2 所围平面图形
2 2
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
y x
A 4 A1
在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.
B M
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
得[ 0 , 1] 上的唯一驻点
B M
A
且为最小点 . 故所求切线为
x (t ) 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y (t )
曲边梯形的面积
A ( t ) ( t )dt .
练习题答案
32 一、1、1; 2、 ; 3、2; 3 1 1 y e 2 4、 ; 5、 ; 6、 . e 2 3 7 2 a 二、1、 ln 2 ; 2、 ; 3、 ; 2 6 5 3 2 2 3 a 4、 ; 5、 ; 6、 a . 2 4 9 e 8 2 三、 . 四、 . 五、 a . 4 2 3
定积分应用求曲线下的面积与旋转体体积
![定积分应用求曲线下的面积与旋转体体积](https://img.taocdn.com/s3/m/2d68ae7742323968011ca300a6c30c225901f0b5.png)
定积分应用求曲线下的面积与旋转体体积定积分是微积分的重要概念之一,它在数学中有着广泛的应用。
其中,求解曲线下的面积以及旋转体的体积是定积分应用的两个常见问题。
本文将详细介绍这两个问题的计算方法和应用场景。
一、曲线下的面积在平面直角坐标系中,给定一条曲线y=f(x),我们希望计算该曲线与平行于x轴的两条直线x=a和x=b所围成的图形的面积。
假设曲线与x轴之间没有发生交叉,则该面积可以利用定积分来计算。
设该曲线下的面积为A,根据定积分的定义,我们可以将曲线下的面积划分为无数个无穷小的矩形,再将这些矩形的面积相加即可得到整个图形的面积。
具体而言,假设分割区间为[a, b],将该区间划分成n个小区间,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
然后,选择每个小区间内的一个随机点(xi, yi),计算该小矩形的面积ΔAi=yiΔx。
最后,对所有的小矩形面积求和,即可得到曲线下的面积A的近似值。
利用极限的思想,当n趋向于无穷大时,这个近似值将趋近于曲线下的面积A。
因此,我们可以通过定积分的方式精确地计算曲线下的面积。
二、旋转体的体积除了计算曲线下的面积,定积分还可以应用于求解旋转体的体积。
在平面直角坐标系中,给定一个曲线y=f(x),我们可以围绕某一轴线(一般为x轴或y轴)进行旋转,形成一个旋转体。
那么,我们希望计算该旋转体的体积。
设旋转体的体积为V,根据定积分的定义,我们可以将旋转体划分为无数个无穷小的圆盘,再将这些圆盘的体积相加即可得到整个旋转体的体积。
具体而言,假设分割区间为[a, b],将该区间划分成n个小区间,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
然后,选择每个小区间内的一个随机点(xi, yi),计算该小圆盘的面积ΔVi=πy^2iΔx。
最后,对所有的小圆盘体积求和,即可得到旋转体的体积V的近似值。
同样地,当n趋向于无穷大时,这个近似值将趋近于旋转体的体积V。
因此,我们可以通过定积分的方式精确地计算旋转体的体积。
定积分应用求面积
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y2 2
4
y3
4
4y 2
6
2
18
8
注:如果取x为积分变量
X型 在 0,8 上任取小区间x, x dx,
则 dA 2 x1xdx
A
8
0
2 x
y穿出
1 x
y穿入
dx
y
dA
o (2,2)
(8,4)
以 f ( x)dx作为 A的近似值。
即: A f ( x)dx
f ( x)dx 叫做面积元素, 记为
dA f ( x)dx
Oa
y f (x)
A
dx
x x dx
b
x
b
(3)写出A的积分表达式,即:A f ( x)dx a
3
一般地,如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件:
以极点O为圆心,以 a为半径的的圆的极坐标方程: r a.
P(r, )
P(r, )
r
O
(a,0) x O (a,0)
x
P(r, )
3
3
O
x
以点(a,0) 为圆心,以 a 为半径的的圆的极坐标方程 r 2a cos
过极点O,且与极轴的夹角为 的直线方程 .
(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量; (2)U对于区间[a,b]具有可加性;
(3)部分量
U
的近似值可表为
i
f i xi
那么这个量就
可以用积分来表示。
具体步骤是:
(1)确定积分变量,和它的变化区间[a,b]; (2)写出积分元素
利用积分求面积问题
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利用积分求面积问题在数学中,积分是一种重要的数学工具,可以用来求解各种问题,包括求面积问题。
利用积分求面积问题是一种常见的应用,它可以帮助我们计算曲线与坐标轴之间的面积。
本文将介绍如何利用积分来解决这类问题。
首先,我们来看一个简单的例子。
假设有一条曲线y=f(x),我们想要求解该曲线与x轴之间的面积。
为了方便计算,我们将曲线分成无数个小矩形,每个小矩形的宽度为Δx,高度为f(x)。
那么每个小矩形的面积可以表示为ΔA=f(x)Δx。
为了求解整个曲线与x轴之间的面积,我们需要将所有小矩形的面积相加。
由于曲线是连续的,我们可以将Δx无限地趋近于0,这样就可以得到一个无穷小的矩形。
我们可以用积分来表示这个过程,即∫f(x)dx。
利用积分的性质,我们可以将上述积分转化为一个定积分,即∫a^b f(x)dx,其中a和b分别表示曲线与x轴的交点。
这样,我们就可以通过求解定积分来得到曲线与x轴之间的面积。
接下来,我们来看一个具体的例子。
假设有一条曲线y=x^2,我们想要求解该曲线与x轴之间的面积。
首先,我们需要找到曲线与x轴的交点。
当y=0时,即x^2=0,解得x=0。
因此,曲线与x轴的交点为(0,0)。
然后,我们可以利用定积分来求解面积。
根据上述公式,我们有∫0^1 x^2dx。
通过求解这个定积分,我们可以得到曲线与x轴之间的面积。
利用积分的性质,我们可以将上述定积分转化为一个不定积分,即∫x^2dx。
通过求解这个不定积分,我们可以得到曲线与x轴之间的面积。
对于这个不定积分,我们可以使用积分的基本公式来求解。
根据积分的基本公式,我们有∫x^2dx=(1/3)x^3+C,其中C为常数。
将上述结果代入定积分的公式,我们有∫0^1 x^2dx=(1/3)(1^3-0^3)=1/3。
因此,曲线y=x^2与x轴之间的面积为1/3。
通过这个例子,我们可以看到利用积分求解面积问题的基本思路。
首先,我们需要找到曲线与x轴的交点。
定积分求平面图形的面积
![定积分求平面图形的面积](https://img.taocdn.com/s3/m/7d5f645100f69e3143323968011ca300a6c3f628.png)
解: 由
得交点
为简便计算, 选取 y 作积分变量,
则有
计算抛物线
与直线
的面积 .
所围图形
例2
训练
1.求曲线 与x 轴所围成的图形面积。 2.求曲线 与直线 x=-1,x =1及x轴所围成的图形面积. 3.求曲线 与 所围成的图形面积。 4.求曲线 与直线y=x,x=2所围成的图形面积。
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定积分求平面图形的面积
定积分的应用-----求平面图形面积
引入
1.复习定积分的定义及其几何意义 2.如何用定积分求平面图形的面积
一、微元法
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
其中 为面积元素,
y
x
a
b
o
若曲线 与 及x=a,x=b 所围成的图形为如图:
面积A,
设曲线
与直线
及 x 轴所围曲
则
边梯形面积为 A ,
计算两条抛物线
在第一象限
所围图形的面积 .
解: 由
得交点
例1
分析,归纳解题步骤: 1.画草图,求出曲线的交点坐标. 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积. 3.根据图形特点选择适当的积分变量 4.确定被积函数和积分区间,计算定积分,求出面积。
定积分表面积的计算公式
![定积分表面积的计算公式](https://img.taocdn.com/s3/m/fc02ea9629ea81c758f5f61fb7360b4c2e3f2a98.png)
定积分表面积的计算公式定积分是微积分中的重要概念之一,它在几何学和物理学中有着广泛的应用。
在本文中,我们将探讨定积分的计算公式以及它与表面积的关系。
定积分的计算公式可以表示为:∫(a-b) f(x) dx其中,∫表示积分符号,a和b是积分区间的上下限,f(x)是被积函数。
不同的函数对应不同的定积分值,通过计算定积分,我们可以求得函数在给定区间上的面积。
定积分的计算可以通过多种方法进行,其中最常用的方法是换元法和分部积分法。
通过这些方法,我们可以将复杂的定积分转化为简单的形式,从而更容易进行计算。
换元法是一种常用的计算定积分的方法。
它通过引入一个新的变量来简化被积函数的形式。
我们可以根据需要选择合适的变量替换,使得被积函数的形式更加简单。
通过适当的变量替换,我们可以将原来的积分转化为一个更简单的形式,从而更容易进行计算。
分部积分法是另一种常用的计算定积分的方法。
它通过将积分运算符应用于被积函数的乘积,从而将原来的积分转化为一个更容易计算的形式。
通过适当选择函数进行分部积分,我们可以将原来的积分转化为一个或多个简单的积分,从而更容易进行计算。
通过使用这些方法,我们可以计算各种类型的定积分,包括多项式、三角函数、指数函数等。
这些计算方法在实际应用中非常有用,可以帮助我们求解各种问题,如曲线的弧长、平面图形的面积等。
定积分与表面积之间有着密切的关系。
在几何学中,我们可以使用定积分来计算曲线的弧长和平面图形的面积。
对于一条曲线来说,我们可以将其分割成无数小段,然后计算每一小段的长度,最后将所有小段的长度加起来,得到整条曲线的长度。
同样地,对于一个平面图形来说,我们可以将其分割成无数小块,然后计算每一小块的面积,最后将所有小块的面积加起来,得到整个图形的面积。
通过使用定积分,我们可以计算各种复杂图形的面积,如圆的面积、椭圆的面积、三角形的面积等。
这些计算在几何学和物理学中有着广泛的应用,可以帮助我们解决各种实际问题。
定积分求曲线所围面积公式
![定积分求曲线所围面积公式](https://img.taocdn.com/s3/m/577faf526d85ec3a87c24028915f804d2b1687fc.png)
定积分求曲线所围面积公式定积分在数学中可是个相当重要的工具,尤其是在求曲线所围面积的时候,那简直就是一把“利器”。
咱先来说说定积分的概念。
想象一下,你在一条长长的跑道上跑步,每跑一段距离,就记录一下跑过的路程。
把这些小段路程加起来,就能知道总的跑过的距离。
定积分就有点像这个,把无数个小的部分加起来,得到一个总的结果。
那定积分怎么用来求曲线所围的面积呢?这就得好好说道说道了。
比如说,有一条曲线 y = f(x) ,它在 x 轴上方和下方都有部分。
咱们要找它和 x 轴之间围起来的面积。
这时候,咱就把 x 轴上的区间 [a, b] 分成很多很多小的区间,每个小区间的宽度是Δx 。
在每个小区间里,咱可以近似地认为曲线是一条直线段。
然后呢,就用这个小直线段的长度乘以Δx ,这就得到了一个小矩形的面积。
把所有这些小矩形的面积加起来,当Δx 越来越小,一直小到趋近于 0 的时候,这个累加的结果就越来越接近曲线所围的真正面积啦。
举个例子吧,有个曲线是 y = x^2 ,咱们要算它在区间 [0, 2] 内和 x 轴围成的面积。
咱先把区间 [0, 2] 分成 n 个小的区间,每个区间的宽度就是Δx = 2 / n 。
然后呢,对于第 i 个区间,它的左端点是xi = i * Δx ,右端点是 xi+ Δx 。
在这个小区间里,曲线的高度可以近似地看成 f(xi) ,也就是 (xi)^2 。
所以这个小矩形的面积就是f(xi) * Δx = (xi)^2 * Δx 。
把所有这些小矩形的面积加起来,就得到了一个近似的总面积:Sn = Σ(i = 1 到n) (xi)^2 * Δx 。
接下来,咱们把xi = i * Δx 代入,就得到:Sn = Σ(i = 1 到n) (i * Δx)^2 * Δx = Σ(i = 1 到n) i^2 * (Δx)^3再利用求和公式,就能算出 Sn 啦。
当 n 趋向于无穷大的时候,Sn 的极限就是定积分的值,也就是曲线所围的真正面积。
定积分求面积
![定积分求面积](https://img.taocdn.com/s3/m/b49d802a6d85ec3a87c24028915f804d2b168785.png)
定积分可以用来求面积,但定积分不等于面积,因为定积分可以是负数但面积是正的,因此,当所求积分的曲线跨越x轴时,需分段,分大于零和小于零分别计算,然后正的积分加上负的积分的绝对值,就等于面积。
面积是表示平面中二维图形或形状或平面层的程度的数量。
表面积是三维物体的二维表面上的模拟物。
面积可以理解为具有给定厚度的材料的量,面积是形成形状的模型所必需的。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。
一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。
即由y=0,x=a,x =b,y=f(X)所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形。
定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份,用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。
定积分与不定积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。
把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分。
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变化过程中, 每两个零点曲线封闭一次.
18
故有 0 2 或 2 2 3 ,
进而得 0 或 3 ,
2
2
由于周期性的变化,你会发现封闭图形将重
复出现在第一、三象限,且图形关于原点对
称,又关于 y x (即 ) 对称,因为
12 3 1 5 3 1
3
0
42 642 2 8
例4 用微元法推导由极坐标给出的曲线C:
r r( ) ( ) 所围的面积,并求心脏
线r a(1 cos ), (a 0) 所围图形的面积.
用微元法先推导—
亦即
b
b
a f ( x)dx a dF ( x)
3
第二个问题:用定积分解决问题的关键 ——在找出整体量的微元:d F( x).
微元法解决问题的步骤
1. 写出实际问题整体改变量的微元表达式:
d F( x) f ( x)dx (通常f ( x) F( x))
2. 用定积分求出整体改变量:
10
例 2 再求由
y 1x和 2
y2 8 x
所围图形的 面积.(如图)
2 (8, 0) 4
11
解 dA f ( y) g( y)dx [(8 y2 ) 2 y]dy
A 2 [8 y2 2 y]dy 4
那 种
8 y 1 y3 y2 2
用定积分解决实际问题,应先明确 两个问题:
第一,定积分能解决哪类问题?(共性) 第二,用定积分解决这类问题方法的关
键是什么?
1
一、微元法
第一个问题:用定积分所解决问题的共性: 1. 都是求在[a,b]非均匀分布的一个整体量,
如:面积、体积、曲线弧长;作功、引 力、总成本、总利润等等;
2. 这个在[a,b]上分布的整体量等于其所有
d
极坐标系下求面积
d
的表达式
dA
r( )
r r( )
o
r
dA 1 (弧长) (半径) 1 [r( )d ] r( )
2
2
A dA 1 r 2( )d
2
解 心脏线的对称 性是明显的,因
此
2
1
y 2(1 cos )
例5 求双纽线: 2 4sin2 所围封闭
图形的面积。
17
解 (当你不会作封闭曲线的图形时,如何通过
分析求出面积?)
分析
使用公式:A
1
dA
r 2( )d
2
解这个问题的难点在确定积分限。注意到
4sin2 2 0, 又是周期函数,对于X 2 ,
4
19
s in 2(
)
sin(
2
)
cos 2
,
4
2
因此只要在0 至 上积分,就得到 1 面积,
4
4
全面积
A 4
4
1 2d
02
2 4 4sin2 d 0
4cos 2
4 0
4
见图
20
所围图形的
面积.(如图)
dA1
4
dA2
思考:求面积前需要做那些准备工作?
6
解 从图中可以明显看出所求面积分为两部
分: R1和R2 ,两块面积的微元分别为:
dA1
f
(
x)
g(
x)dx
[1 2
x
(
8 x )]dx
dA2 f ( x) g( x)dx [ 8 x ( 8 x )]dx
b
b
F (b) F (a) a dF( x) a f ( x)dx.
4
二、定积分的几何应用
1. 平面图形的面积(Area)
用微元法求面积
d A f (x) g( x)dx
b
A a d A
b
a
f
(
x)
g(
x)dx
5
例 1 求由 y 1x和
2 y2 8 x 8
方 法
3
4
好
16 8 4 32 64 16
3
3
36
?
12
1
例3
求星形线所围面积,
x y
cos3 sin3
t t
0.5
它的参数方程为:
y
x cos3 t
y
sin3
t
-1
(0 t 2 )
-0.5
dx 0.5
-0.5
1
7
A
41 [ x
8 x ]dx
8
2
8 xdx
8 2
4
1 4
x2
2 (8 3
3
x)2
4
8
2
2 (8 3
3
x)2
8 4
4 16 16 128 4 0 8 36
3
3 3
8
用微元法求面积
1
2
3
4
-1
-2
16
A 2 1 r 2( )d a2 (1 cos )2d
20
0
a2 (2cos2 )2d 令t / 2
0
2
4a2 2 / 2 cos 4td t 8a2 3 1 3 a2
0
42 2 2
2
子区间局部量的总和(可和),具体地讲:
n
记作 n
[ xk1 , xk ]F ( x)
kF(x)
k 1
k 1
因 k F ( x) F ( x)xk o(xk )
f ( x)dx d F( x) 设F(x)可微
2
2
直角坐标方程 ( x 3 y 3 1)
-1
13
解 由对称性只需求出(1/4 )面积即可。
dA ydx sin3 t d(cos 3 t)
A 4
1 0
ydx
4
0
sin3
t
d
cos3
t
2
4
0
sin3
t
3cos2
t
( sint)d t
12
2
2 sin4 t(1 sin2 t)d t
d A f ( y) g( y)dy
d
dA
A c d A
d
c
f
(
y)
g(
y)dy
求面积前需要做的准备工作有:
9
(1) 最好能作出草图,弄清边界曲线的方程; (2) 根据所选方法确定积分变量及总量微元; (3) 确定积分区间,为此常需要求出边界曲线
交点的坐标. (如图)