(完整版)高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条
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椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)
高三数学备课组
椭 圆
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,
除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.
6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2
的直线方程是00221x x y y
a b
+=.
7. 椭圆22
221x y a b
+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,
则椭圆的焦点角形的面积为122tan
2
F PF S b γ
∆=.
8. 椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的焦半径公式:
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分
别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交
于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
11. AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22OM AB b k k a ⋅=-,
即020
2y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.
13. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径
的圆,除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左
支)
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是
00221x x y y
a b
-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点
为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
7. 双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点
12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122t
2
F PF S b co γ
∆=.
8. 双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结
AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P
和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
11. AB 是双曲线22
221x y a b -=(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,
则0202y a x b K K AB OM =⋅,即020
2y a x b K AB =。
12. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
-=-.
13. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y x y a b a b
-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
高三数学备课组
椭 圆
1. 椭圆22
221x y a b
+=(a >b >o )的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭
圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
2. 过椭圆22
221x y a b
+= (a >0, b >0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆
于B,C 两点,则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =(常数).
3. 若P 为椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,
21PF F β∠=,则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+. 4. 设椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一
点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+.
5. 若椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当0<e 1
时,可在椭圆上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6. P 为椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.