课题学习 镶嵌资料
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收 正n边形 拼图 集 n =3 整
n =4
理
数 n =5
据
n =6
每个内角 使用正多边 的度数 形的个数k
结论
60°
K= 6
能镶嵌
90°
K= 4
能镶嵌
108° 108° 120°
K= 3 不能镶嵌பைடு நூலகம்
K= 4 不能镶嵌
K= 3
能镶嵌
21
分 正n边形 拼图
n=3
析 n=4
55
收获与启示
用一种正多边形镶嵌的规律： 正多边形的内角是360°的约 数（或360°是这个正多边形 的整数倍）！
用多种正多边形镶嵌的规律： 拼接在同一个点的各个角的和 恰好等于360°（周角）
56
课后作业：
1. 用一种正多边形镶嵌，哪些 可以，分别是哪些正多边形？ 2. 你能找到用两种正多边形镶 嵌，还有哪些吗？请你设计一 个用两个正多边形镶嵌的图形。
12
教学目的
1,通过生活中的实例,帮助学生理解镶嵌的数学意义;
2,通过引导从具体.特殊到一般的问题解决,培养学生的观 察能力.探究能力以及把实际问题转化为数学问题的能力;
3,通过学生实验活动,搜集.画.设计一些平面镶嵌图,让学 生体会镶嵌在日常生活中的广泛应用。
重点与难点
重点：镶嵌的含义以及它在实际生活中的广泛应用
难点：如何正确理解镶嵌
13
(一)提出问题
1)回想你家里地板的铺设情况,并说说是用什么 形状的地砖.地板铺成的? 2)观看下面地板的拼合图案
1）它们是何种正多边形拼成的？ 2）围绕图中某一点的所有角的和是多少？ 3）由此你能想到：为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙 的地板呢?
14
探究问题（一）
仅用一种正多边形镶嵌，哪几种 正 多边形能镶嵌成一个平面？
42
探究问题（三）
用三种正多边形镶嵌,哪些能 镶嵌成一个平面？
43
44
45
思考:
现在用三种正多边形： 正三角形、正方形、正 六边形能否进行平面镶 嵌？如果不能镶嵌，为 什么？如果能，你能把 它画出来吗（草图）？
46
探究新知(四)
思考同一种任意三角形可否镶 嵌成一个平面？
同一种任意四边形可否镶嵌成一 个平面？
47
想一想 1）用一种普通的三角形形状的地砖 能镶嵌成一个平面图案吗?
48
能，因为三角形三个内角 的和为180°将三角形三个 不同的内角绕一点可围成 一个平角，六个内角可围 成一个360°周角，因此， 任意一种三角形能铺满平 面。
49
2）用一种普通的四边形地砖能镶嵌 成一个平面图案吗？
能，因为四边形四个内角和为360°将四边形四个内角 绕一点可围成一个周角，
23
探究问题（二）
用两种正多边形镶嵌,哪些能 镶嵌成一个平面?
24
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设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方边形的角 则有
m·60。+n·90
。
=360
。
2m+3n=12
∵ m,n 为正整数
m=3
∴解为
n=2
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32
设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六边形的角 则有
每个内角的度数 与360°的关系
结论
6×60°= 360° 能镶嵌
4×90°= 360° 能镶嵌
数 n=5
3×108°＜ 360° 不能镶嵌
据 n=6
4×108°＞ 360°不能镶嵌
3×120°= 360° 能镶嵌
22
得出结论：
如果一个正多边形可以进行镶嵌， 那么内角一定是360°的约数（或 360°一定是这个多边形内角的整数 倍）！
因此，任意一种四边形能铺满平面。
50
51
小颖家正在为新房子 装修，在他的房间里， 他想用正三角形和另 一种正多边形镶嵌成 地板，他有哪些选择？ 你能帮他出出注意吗？
如果用两种 正多边形进 行镶嵌需要 满足什么条 件？
52
正多边形
拼
和 它们的内角度 和360°的关系：
和
它们的内角度
和360°的关系：
图
53
正多边形
拼
图
正三角形
和
正四边形
正三和角形
3×60°+ 2 ×90°= 360°
正六角形 3×60°+2 ×90°=360° 4×60°+1 ×120°=360°
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?
想一想
有你 什能 么归 规纳 律出 吗其
中
正三角形和正六 边形能否镶嵌?
正三角形和正五 边形能否镶嵌?
正方形和正八边 形能否镶嵌?
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信心源自于努力
1
课题学习
镶嵌
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埃舍尔的作品——鸟分割的平面
11
通过观察上面的图片，你发现 它们有哪些共同特征？
【1】不重叠 【2】完全覆 从数学角度看，用一盖些不重
叠摆放的图形把平面的一部分 完全覆盖，通常把这类问题叫 做覆盖平面（或平面镶嵌）的 问题
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。
。。
m·90 +n·135 =360
2 m+3 n=8
∵ m,n 为正整数
m=1
∴解为
n=2
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设在一个顶点周围有 m 个正五边形的角,n 个正十边形 的角，则有
。
。。
m·108 +n·144 =360
3 m+4 n=10
∵ m,n 为正整数
m=2
∴解为
n=1
41
得出结论：
• 用两种正多边形镶嵌的 规律：拼接在同一个点 的各个角的和恰好等于 360°（周角）。
m·60。+n·120。=360。
m+2 n=6
∵ m,n 为正整数
m=2
m=4
∴解为
n=2
n=1
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设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正十二边形 的角，则有
。
。。
m·60 +n·150 =360
2 m+5 n=12
∵ m,n 为正整数
m=1
∴解 为
n=2
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设在一个顶点周围有个 m 正四边形的角,n 个正八边形 的角，则有
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收 正n边形 拼图 集 n =3 整
n =4
理
数 n =5
据
n =6
每个内角 使用正多边 的度数 形的个数k
结论
60°
K= 6
能镶嵌
90°
K= 4
能镶嵌
108° 108° 120°
K= 3 不能镶嵌பைடு நூலகம்
K= 4 不能镶嵌
K= 3
能镶嵌
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分 正n边形 拼图
n=3
析 n=4
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收获与启示
用一种正多边形镶嵌的规律： 正多边形的内角是360°的约 数（或360°是这个正多边形 的整数倍）！
用多种正多边形镶嵌的规律： 拼接在同一个点的各个角的和 恰好等于360°（周角）
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课后作业：
1. 用一种正多边形镶嵌，哪些 可以，分别是哪些正多边形？ 2. 你能找到用两种正多边形镶 嵌，还有哪些吗？请你设计一 个用两个正多边形镶嵌的图形。
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教学目的
1,通过生活中的实例,帮助学生理解镶嵌的数学意义;
2,通过引导从具体.特殊到一般的问题解决,培养学生的观 察能力.探究能力以及把实际问题转化为数学问题的能力;
3,通过学生实验活动,搜集.画.设计一些平面镶嵌图,让学 生体会镶嵌在日常生活中的广泛应用。
重点与难点
重点：镶嵌的含义以及它在实际生活中的广泛应用
难点：如何正确理解镶嵌
13
(一)提出问题
1)回想你家里地板的铺设情况,并说说是用什么 形状的地砖.地板铺成的? 2)观看下面地板的拼合图案
1）它们是何种正多边形拼成的？ 2）围绕图中某一点的所有角的和是多少？ 3）由此你能想到：为什么这些形状的地砖能铺成无缝隙 的地板呢?
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探究问题（一）
仅用一种正多边形镶嵌，哪几种 正 多边形能镶嵌成一个平面？
42
探究问题（三）
用三种正多边形镶嵌,哪些能 镶嵌成一个平面？
43
44
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思考:
现在用三种正多边形： 正三角形、正方形、正 六边形能否进行平面镶 嵌？如果不能镶嵌，为 什么？如果能，你能把 它画出来吗（草图）？
46
探究新知(四)
思考同一种任意三角形可否镶 嵌成一个平面？
同一种任意四边形可否镶嵌成一 个平面？
47
想一想 1）用一种普通的三角形形状的地砖 能镶嵌成一个平面图案吗?
48
能，因为三角形三个内角 的和为180°将三角形三个 不同的内角绕一点可围成 一个平角，六个内角可围 成一个360°周角，因此， 任意一种三角形能铺满平 面。
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2）用一种普通的四边形地砖能镶嵌 成一个平面图案吗？
能，因为四边形四个内角和为360°将四边形四个内角 绕一点可围成一个周角，
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探究问题（二）
用两种正多边形镶嵌,哪些能 镶嵌成一个平面?
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设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正方边形的角 则有
m·60。+n·90
。
=360
。
2m+3n=12
∵ m,n 为正整数
m=3
∴解为
n=2
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设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正六边形的角 则有
每个内角的度数 与360°的关系
结论
6×60°= 360° 能镶嵌
4×90°= 360° 能镶嵌
数 n=5
3×108°＜ 360° 不能镶嵌
据 n=6
4×108°＞ 360°不能镶嵌
3×120°= 360° 能镶嵌
22
得出结论：
如果一个正多边形可以进行镶嵌， 那么内角一定是360°的约数（或 360°一定是这个多边形内角的整数 倍）！
因此，任意一种四边形能铺满平面。
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51
小颖家正在为新房子 装修，在他的房间里， 他想用正三角形和另 一种正多边形镶嵌成 地板，他有哪些选择？ 你能帮他出出注意吗？
如果用两种 正多边形进 行镶嵌需要 满足什么条 件？
52
正多边形
拼
和 它们的内角度 和360°的关系：
和
它们的内角度
和360°的关系：
图
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正多边形
拼
图
正三角形
和
正四边形
正三和角形
3×60°+ 2 ×90°= 360°
正六角形 3×60°+2 ×90°=360° 4×60°+1 ×120°=360°
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?
想一想
有你 什能 么归 规纳 律出 吗其
中
正三角形和正六 边形能否镶嵌?
正三角形和正五 边形能否镶嵌?
正方形和正八边 形能否镶嵌?
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课题学习
镶嵌
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埃舍尔的作品——鸟分割的平面
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通过观察上面的图片，你发现 它们有哪些共同特征？
【1】不重叠 【2】完全覆 从数学角度看，用一盖些不重
叠摆放的图形把平面的一部分 完全覆盖，通常把这类问题叫 做覆盖平面（或平面镶嵌）的 问题
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。
。。
m·90 +n·135 =360
2 m+3 n=8
∵ m,n 为正整数
m=1
∴解为
n=2
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设在一个顶点周围有 m 个正五边形的角,n 个正十边形 的角，则有
。
。。
m·108 +n·144 =360
3 m+4 n=10
∵ m,n 为正整数
m=2
∴解为
n=1
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得出结论：
• 用两种正多边形镶嵌的 规律：拼接在同一个点 的各个角的和恰好等于 360°（周角）。
m·60。+n·120。=360。
m+2 n=6
∵ m,n 为正整数
m=2
m=4
∴解为
n=2
n=1
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设在一个顶点周围有 m 个正三角形的角,n 个正十二边形 的角，则有
。
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m·60 +n·150 =360
2 m+5 n=12
∵ m,n 为正整数
m=1
∴解 为
n=2
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设在一个顶点周围有个 m 正四边形的角,n 个正八边形 的角，则有