离散非周期信号频域分析

离散信号频域分析、快速傅里叶变换与采样

定理

一、离散信号频域分析

（一）周期离散方波信号频域分析

与周期模拟信号一样，周期离散信号同样可以展开成傅里叶级数形式，并得到离散傅里叶级数（DFS）

上式可以看成周期离散信号x(n)的离散傅里叶级数展开。

上式是DFS的反变换，记作IDFS并且称错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。构成一对离散傅里叶级数变换对。（以上两式中错误！未找到引用源。）在MTALAB中，DFS通过建立周期延拓函数语句实现：

function Xk=DFS(n,x,N)

if N>length(x)

n=0:N-1;

x=[x zeros(1,N-length(x))];

end

k=0:N-1;

WN=exp(-j*2*pi/N);

nk=n'*k;

WNnk=WN.^nk;

Xk=x*WNnk;

end

建立一个离散非周期方波信号

错误！未找到引用源。通过周期延拓后所得的周期序列利用DFS计算实现代码如下：

clear all;close all;clc;

n=0:3;

x=ones(1,4);

X=fft(x,1024);

Xk1=DFS(n,x,4);

Xk2=DFS(n,x,8);

figure(1);

plot((-1023:2048)/2048*8,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;

stem(-4:7,[abs(Xk1) abs(Xk1) abs(Xk1)],'LineWidth',2);grid;

figure(2);

plot((-1023:2048)/2048*16,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;

stem(-8:15,[abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2)],'LineWidth',2);grid;

set(gcf,'color','w');

运行后得到的是分别以4和8为周期延拓后的错误！未找到引用源。频谱：

即第一幅图表示的是周期序列错误！未找到引用源。的频谱，

第二幅图表示的是周期序列错误！未找到引用源。的频谱。

两图中的包络线表示的是通过快速傅里叶变换（FFT）所得到的频谱线。（二）非周期离散方波信号频域分析

对于非周期离散方波信号，可采用离散时间傅里叶变换DTFT进行分析。

上式为离散时间信号x(n)的离散时间傅里叶变换（DTFT）。

上式为错误！未找到引用源。的离散时间傅里叶反变换（IDTFT）。

由于：

所以序列x(n)绝对可和，意味着DTFT存在，而非稳定序列（比如周期序列）不满足绝对可和条件，所以其DTFT不存在。

在MTALAB中，DTFT可以用以下语句实现：

w=-3*pi:0.01:3*pi;

K=length(w);

X=x*exp(-j*n'*w*K);

建立一个离散非周期方波信号

错误！未找到引用源。的离散傅里叶变换错误！未找到引用源。利用DTFT计算实现代码如下：

clear all;close all;clc;

n=0:7;

x=ones(1,8);

w=-3*pi:0.01:3*pi;

X=x*exp(-j*n'*w);

figure(1);

plot(w/pi,abs(X));grid;

figure(2);

plot(w/pi,angle(X));grid;

set(gcf,'color','w');

运行后分别得到该离散非周期方波信号的幅频特性与相频特性：

幅频特性

相频特性

（三）两种变换DFS的DTFT的性质

DFS主要具有如下性质：

1.线性性质

2.周期卷积性质

3.复共轭

4.帕斯瓦尔定理

DTFT同连续时间信号傅里叶变换相似，具有如下性质：

1.线性性质

2.时域频域平移性质

3.时间翻转性质

4.共轭对称性质

5.时域频域卷积性质

6.调制性质

7.频域微分性质

8.帕斯瓦尔定理

从DTFT的推导过程，说明DTFT是DFS当错误！未找到引用源。的极限情况。共同点：在时域都是离散的，在频域都是以错误！未找到引用源。为周期，周而复始。

不同点：离散时间周期信号频谱是离散的，具有谐波性，错误！未找到引用源。是谐波复振幅，适用于计算机计算。而离散时间非周期信号的频谱则是连续的，

不具有谐波性，错误！未找到引用源。表示的是谐波密度，是连续变量Ω的函数，所以不便于计算机进行分析计算。

（四）离散傅里叶变换（DFT）

由于DTFT不便于计算机进行计算，所以需要建立一种时域和频域都是离散的傅里叶变换对，这就是离散傅里叶变换（DFT）

上式为离散时间非周期信号的离散傅里叶变换（DFT）

上式为DFT的反变换，记作IDFT。错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。称为离散傅里叶变换（DFT）对。

在MTALAB中，DFT通过建立函数实现：

function Xk=DFT(n,x,N)

if N>length(x)

n=0:N-1;

x=[x zeros(1,N-length(x))];

end

k=0:N-1;

WN=exp(-j*2*pi/N);

nk=n'*k;

WNnk=WN.^nk;

Xk=x*WNnk;

End

建立一个离散非周期方波信号

错误！未找到引用源。的离散傅里叶变换错误！未找到引用源。利用DFT计算实现代码如下：

clear all;close all;clc;

n=0:7;

x=ones(1,8);