连续时间信号与系统的频域分析

第3章连续时间信号与系统的频域分析3.1 学习要求

1、掌握周期信号的频谱及其特点；

2、了解周期信号的响应问题；

3、掌握非周期信号的频域描述——傅立叶变换；

4、熟练掌握傅立叶变换的性质与应用；

5、掌握系统的频域特性及响应问题；

6、了解系统的无失真传输和理想滤波。

3.2 本章重点

1、频谱的概念及其特性；

2、傅里叶变换及其基本性质；

3、响应的频域分析方法；

4、系统频率响应的概念。

3.3 知识结构

3.4内容摘要

3.4.1信号的正交分解

两个矢量1V 和2V 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：

o 1212cos900⋅=⋅=V V V V

若有一个定义在区间()12,t t 的实函数集{}()(1,2,,)i g t i n =L ，在该集合中所有的函数满足

⎪⎩⎪⎨⎧=≠===⎰⎰2

1

21,,2,1,0)()(,,2,1)(2t t j i t t i i

n j j i dt t g t g n i k dt t g ΛΛ 则称这个函数集为区间()12,t t 上的正交函数集。式中i k 为常数，当1i k =时，称此函数集为归一化正交函数集。

若实函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 是区间()12,t t 内的正交函数集，且除()i g t 之外

{}(),1,2,,i g t i n =L 中不存在()x t 满足下式

2

1

20()t t x t dt <<∞⎰且2

1

()()0t i t x t g t dt =⎰

则称函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 为完备正交函数集。

若在区间()12,t t 上找到了一个完备正交函数集{}(),1,2,,i g t i n =L ，那么，在此区间的信号()x t 可以精确地用它们的线性组合来表示

11221

()()()()()n n i i i x t C g t C g t C g t C g t ∞

==++++=∑L L

各分量的标量系数为

2

1

21

2

()()d ()d t i t i

t i

t x t g t t

C g t t

=

⎰⎰

系数i C 只与()x t 和()i g t 有关，而且可以互相独立求取。 3.4.2周期信号的傅里叶级数

1、三角形式的傅里叶级数

0001

()(cos sin )n n n x t a a n t b n t ωω∞

===++∑

式中， 02T

πω=

⎰+=T

t t dt t f T a 00

)(10 ⎰+=

T

t t n tdt n t x T a 000cos )(2ω ⎰+=T

t t n tdt n t x T b 00

0sin )(2ω

若将同频率项加以合并，又可以写成三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：

∑∞

=++=1

00)cos()(n n n t n c c t x ϕω

式中，00cos sin arctan

n

n n n n n n n n n

b a

c c a c b c a ϕϕϕ==

==-=-，，，。 在信号与系统中，定义：0c 为直流信号，T

π

ω20=

为基数，)cos(101ϕω+t c 为基波，)3,2(),cos(0K =+n t n c n n ϕω为n 次谐波。

各参数n a 、n b 、n c 以及n ϕ都是n （谐波序号）的函数，也可以说是0ωn （谐波频率）的函数。如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴绘出n c 和n ϕ等的变化关系，便可直观地看出各频率分量地相对大小和相位情况，这样的图分别称为信号的幅度频谱图和相位频谱图。

2、指数形式的傅里叶级数

t jn n n t

jn n e X e

n X t x 00)()(0ωωω∑

∑

∞

-∞

=∞

-∞

==

=

式中

)(0ωn X dt e t x T

t

jn T t t 000)(1ω-+⎰=

3、周期信号的功率谱

00222

22222

*

11()()1()T T

jn t T T n n T jn t T n n n n n n

n n n P x t dt x t X e dt

T T X x t e dt T X

X X

X X ωω∞--=-∞∞

-=-∞∞

∞

∞

-=-∞

=-∞

=-∞

⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

=

=

=

∑⎰⎰∑⎰∑∑∑

上式反映了周期信号的平均功率与离散谱之间的关系，称为功率信号的帕塞瓦尔关系式。通常将2

n X 随0n ω分布的特性称为周期信号的功率谱。

4、傅立叶级数系数与函数对称性的关系

对于偶函数，满足)()(t x t x -=，⎰=2

0cos )(4T n tdt n t f T a ω，0=n b ，即偶函数的

傅里叶级数中不含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。复振幅n X 是实数，其初相位n ϕ为零或π。

对于奇函数，满足)()(t x t x --=，⎰=2

0sin )(4T n tdt n t f T b ω，00==n a a ，即偶函

数的傅里叶级数中不含余弦项和直流项，只可能包含余弦项。复振幅n X 是虚数，其初相位

n ϕ为

2

π

或2π-。

对于奇谐函数，满足)()2

(t f T

t f -=±

，当n 为偶数时，00=a ，0,==n n b a ；当n 为奇数时，tdt n t x T a T n 02

/0

cos )(4ω⎰=，⎰=200sin )(4T

n tdt n t f T b ω，即半波像对称函数

的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。

5、周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性

一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即⎰+==T t t N N

N t t T t E 00

d )(1)(2

2

εε。式中，()N N S t x t -=)(ε，

()()[]∑=++=N

n n n N t n b t n a a S 1

000sin cos ωω。研究表明，N 越大，()t N ε越小，当∞

→N 时，()0→t N ε。

6、周期信号频谱的特点

第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。

第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率0ω的整数倍频率上。 第三：收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随0n ω的变化有起伏变化，但总的趋势是随着0n ω的增大而减小，当0n ω→∞时，0||→n X 。 3.4.3非周期信号的傅里叶变换

1、傅里叶变换定义

傅里叶变换： dt e t x j X t j ⎰

∞

∞

--=

ωω)()(

傅里叶逆变换： ωωπ

ωd e j X t x t j ⎰

∞

∞

-=

)(21

)(

)(ωj X 一般为复函数，可写成)()()(ωϕωωj e j X X =，其中，)(ωj X 为幅度频谱，