连续时间信号与系统的频域分析

第3章连续时间信号与系统的频域分析3.1 学习要求1、掌握周期信号的频谱及其特点；2、了解周期信号的响应问题；3、掌握非周期信号的频域描述——傅立叶变换；4、熟练掌握傅立叶变换的性质与应用；5、掌握系统的频域特性及响应问题；6、了解系统的无失真传输和理想滤波。

3.2 本章重点1、频谱的概念及其特性；2、傅里叶变换及其基本性质；3、响应的频域分析方法；4、系统频率响应的概念。

3.3 知识结构3.4内容摘要3.4.1信号的正交分解两个矢量1V 和2V 正交的条件是这两个矢量的点乘为零，即：o 1212cos900⋅=⋅=V V V V若有一个定义在区间()12,t t 的实函数集{}()(1,2,,)i g t i n =L ，在该集合中所有的函数满足⎪⎩⎪⎨⎧=≠===⎰⎰2121,,2,1,0)()(,,2,1)(2t t j i t t i in j j i dt t g t g n i k dt t g ΛΛ 则称这个函数集为区间()12,t t 上的正交函数集。

式中i k 为常数，当1i k =时，称此函数集为归一化正交函数集。

若实函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 是区间()12,t t 内的正交函数集，且除()i g t 之外{}(),1,2,,i g t i n =L 中不存在()x t 满足下式2120()t t x t dt <<∞⎰且21()()0t i t x t g t dt =⎰则称函数集{}(),1,2,,i g t i n =L 为完备正交函数集。

若在区间()12,t t 上找到了一个完备正交函数集{}(),1,2,,i g t i n =L ，那么，在此区间的信号()x t 可以精确地用它们的线性组合来表示11221()()()()()n n i i i x t C g t C g t C g t C g t ∞==++++=∑L L各分量的标量系数为21212()()d ()d t i t it it x t g t tC g t t=⎰⎰系数i C 只与()x t 和()i g t 有关，而且可以互相独立求取。

3.4.2周期信号的傅里叶级数1、三角形式的傅里叶级数0001()(cos sin )n n n x t a a n t b n t ωω∞===++∑式中， 02Tπω=⎰+=Tt t dt t f T a 00)(10 ⎰+=Tt t n tdt n t x T a 000cos )(2ω ⎰+=Tt t n tdt n t x T b 000sin )(2ω若将同频率项加以合并，又可以写成三角函数形式的傅里叶级数的另外一种形式：∑∞=++=100)cos()(n n n t n c c t x ϕω式中，00cos sin arctannn n n n n n n n nb ac c a c b c a ϕϕϕ====-=-，，，。

在信号与系统中，定义：0c 为直流信号，Tπω20=为基数，)cos(101ϕω+t c 为基波，)3,2(),cos(0K =+n t n c n n ϕω为n 次谐波。

各参数n a 、n b 、n c 以及n ϕ都是n （谐波序号）的函数，也可以说是0ωn （谐波频率）的函数。

如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴绘出n c 和n ϕ等的变化关系，便可直观地看出各频率分量地相对大小和相位情况，这样的图分别称为信号的幅度频谱图和相位频谱图。

2、指数形式的傅里叶级数t jn n n tjn n e X en X t x 00)()(0ωωω∑∑∞-∞=∞-∞===式中)(0ωn X dt e t x Ttjn T t t 000)(1ω-+⎰=3、周期信号的功率谱0022222222*11()()1()T Tjn t T T n n T jn t T n n n n n nn n n P x t dt x t X e dtT T X x t e dt T XX XX X ωω∞--=-∞∞-=-∞∞∞∞-=-∞=-∞=-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦===∑⎰⎰∑⎰∑∑∑上式反映了周期信号的平均功率与离散谱之间的关系，称为功率信号的帕塞瓦尔关系式。

通常将2n X 随0n ω分布的特性称为周期信号的功率谱。

4、傅立叶级数系数与函数对称性的关系对于偶函数，满足)()(t x t x -=，⎰=20cos )(4T n tdt n t f T a ω，0=n b ，即偶函数的傅里叶级数中不含正弦项，只可能包含直流项和余弦项。

复振幅n X 是实数，其初相位n ϕ为零或π。

对于奇函数，满足)()(t x t x --=，⎰=20sin )(4T n tdt n t f T b ω，00==n a a ，即偶函数的傅里叶级数中不含余弦项和直流项，只可能包含余弦项。

复振幅n X 是虚数，其初相位n ϕ为2π或2π-。

对于奇谐函数，满足)()2(t f Tt f -=±，当n 为偶数时，00=a ，0,==n n b a ；当n 为奇数时，tdt n t x T a T n 02/0cos )(4ω⎰=，⎰=200sin )(4Tn tdt n t f T b ω，即半波像对称函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波而不含偶次谐波项。

5、周期信号傅里叶级数的近似与傅里叶级数的收敛性一般来说，任意周期函数表示为傅里叶级数时需要无限多项才能完全逼近原函数。

但在实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。

无穷项与有限项误差平方的平均值定义为均方误差，即⎰+==T t t N NN t t T t E 00d )(1)(22εε。

式中，()N N S t x t -=)(ε，()()[]∑=++=Nn n n N t n b t n a a S 1000sin cos ωω。

研究表明，N 越大，()t N ε越小，当∞→N 时，()0→t N ε。

6、周期信号频谱的特点第一：离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此谱称为不连续谱或离散谱。

第二：谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率0ω的整数倍频率上。

第三：收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随0n ω的变化有起伏变化，但总的趋势是随着0n ω的增大而减小，当0n ω→∞时，0||→n X 。

3.4.3非周期信号的傅里叶变换1、傅里叶变换定义傅里叶变换： dt e t x j X t j ⎰∞∞--=ωω)()(傅里叶逆变换： ωωπωd e j X t x t j ⎰∞∞-=)(21)()(ωj X 一般为复函数，可写成)()()(ωϕωωj e j X X =，其中，)(ωj X 为幅度频谱，ϕ为相位频谱。

)(ω2、典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期函数和常用函数的傅里叶变换如表3.4.1所示。

傅里叶变换的性质如表3.4.2所示。

.3.4.5周期信号的傅里叶变换周期信号()x t 的频谱∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n nn nXXj X )(2)(2)(00ωωδπωωπδω3.3.6 调制与解调幅度调制的过程：设载波信号为0cos t ω，调制信号为()g t ，二者的傅里叶变换分别为000cos [()()]t ωπδωωδωω↔++-和()G ω。

已调信号为0()()cos f t g t t ω=，其频谱为[])()(21)(00ωωωωω-++=G G F 这样，信号()g t 的频谱被搬移到载频0ω附近。

解调及解调的过程：由已调信号()f t 恢复原始信号()g t 的过程称为解调。

选用与载波信号相同的本地载波信号0cos t ω与接收到的已调信号()f t 相乘，有t t f t g 020cos )()(ω=，其频谱为[]00011()()(2)(2)24G G G G ωωωωωω=+++-利用一个低通滤波器可以取出)(ωG 。

3.4.7线性时不变系统的频域分析法频域分析是在频域中求解系统的响应，它反映输入信号的频谱(j )X ω通过系统后，输出信号频谱(j )Y ω随频率变化的情况。

1、系统的频率响应函数对于一个线性时不变系统，零状态响应()y t 等于激励()x t 与系统单位冲激响应()h t 的卷积，即()()*()y t x t h t =。

根据卷积定理，有()()()Y j X j H j ωωω=，其中，()H j ω表征的是系统频域特性，称为系统频率响应函数，简称频响函数或系统函数，定义为 ()()()()()j Y j H j H j e X j ϕωωωωω==即系统函数是系统零状态响应的傅里叶变换与激励信号傅里叶变换之比。

式中，()H j ω是系统的幅（模）频特性，()ϕω是系统的相频特性。

2、系统的频域分析用频域分析法求解系统零状态响应的步骤为： 第一步，求激励信号()x t 的傅里叶变换()X j ω； 第二步，求系统的频率响应函数()H j ω；第三步，求零状态响应()y t 的傅里叶变换()()()Y j X j H j ωωω=； 第四步，求()Y j ω的傅立叶逆变换，即可得到()y t 。

3.4.8 无失真传输无失真：响应信号与激励信号相比，只有幅度的大小和出现时间的先后不同，而没有波形上的变化。

无失真传输条件：0()()h t K t t δ=-，其中，K 为常数，0t 为延迟时间。

无失真传输对()H j ω的要求： tj Kej H 0)(ωω-=，即在信号的全部频带内，要求系统频率响应的幅频特性为与频率无关的常数K 。

相频特性与ω成正比，是一条过原点的负斜率直线，或者说，系统的群延时()d d ϕωτω=-为常数。

3.4.9理想低通滤波器理想低通滤波器是将滤波网通的某些特性理想化的结果。

实际上，理想低通滤波器是不能用电路来实现的。

设滤波器的系统函数为)()()(ωϕωωj e H H =。

理想低通滤波器的频率响应⎩⎨⎧<⋅=-其它1)(0ct j e H ωωωω理想低通滤波器的单位冲激响应)]([)(0t t Sa t h c c-=ωπω 理想低通滤波器的单位阶跃响应[]0()00sin ()1111sin ()22cc t t t t xy t d dx j xωωωωπωπ--=+=+⎰⎰其中0sin Si()=d yxy x x⎰为正弦积分函数. 3.4.10佩利-维纳准则和实际滤波器物理可实现系统需满足因果条件：0)(,0=<t h t 时佩利-维纳准则：对于幅度函数为(j )H ω，物理可实现的必要条件为2ln (j )d 1H ωωω∞-∞<∞+⎰且2(j )d H ωω∞-∞<∞⎰不满足此准则的幅度函数，该网络的单位冲激响应就是无因果的，即响应先于冲激出现。