陕西省汉中市汉中中学2019届高三数学(文)第三次月考(解析版)

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【详解】（1）证明：取 中点 ，连 ， ．由
， 为中点，故
．
由
有
，又
，
，则
，故
，
∴ 平面 ， 在平面 内，∴
．
（2）∵
，∴
，∴
，
∵
，由（1）知 平面 ，
∴
，
∴
为等腰三角形，
，
∵
，
11
∴
．
【点睛】证明线线垂直常用的两种思路（1）在三角形中通过计算证明线线垂直；（2）通过面面垂直或者线
面垂直的性质来证明线线垂直；通过等体积法变换锥体顶点是求锥体体积常用的方法之一.
13.已知直线 与圆
相交于两点 、 ，则
________．
【答案】 【解析】 【分析】
由
( 为圆的半径， 为圆心到直线的距离)直接求解即可.
【详解】圆
，则
.
圆心到直线 的距离
,
.
【点睛】直线与圆的相交弦问题，常在弦三角中利用勾股定理直接求解.
14.若直线
与曲线
相切于点
，则
【答案】5 【解析】 【分析】
5.设 ，
，
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】 【分析】
2
由
,
,
可得解.
【详解】
,
,
,故
.选 .
【点睛】几个数或者式子之间没法直接比较大小时，常常利用中间值来比较大小.
6.已知“ ”是“
”的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】 【分析】 由充分不必要条件的含义由
22.平面直角坐标系中，直线 的参数方程为
( 为参数)，以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极
14
坐标系，曲线 的极坐标方程为
．
（1）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程;
（2）已知与直线 平行的直线 过点
，且与曲线 交于 ， 两点，试求
即可得 的取值范围.
在
上恒成立. 令
，讨论
【详解】（1）函数 的定义域为
，
，
令
，则有
，
令
，解得 ，
∴在 上，
， 单调递增，在
上，
， 单调递减．
13
又
，∴
在定义域上恒成立，即
在定义域上恒成立，
∴ 在 上单调递减，在
上单调递减．
（2）由
在
上恒成立得：
在
上恒成立．
整理得： 令 ∴，
在
上恒成立．
，易知，当 时，
函数比较大小的基本方法，解题中要注意偶函数中
的应用.
12.设抛物线
的焦点为 ，过点
斜率 （ ）
A.
B.
C.
D.
的直线在第一象限交抛物线于 、 ，使
，则直线 的
【答案】B 【解析】 本题考查直线和抛物线的综合应用。设直线 AB 方程为
，A
，B
，由
借助
根与系数关系得： =1，
，又
所以
=0，得斜率
6
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
，可得
，利用基本不等式即可求得
,由图可知 均为正数.
又 三点共线，则
，则
.
【点睛】（1）平面向量中三点共线：若
,则 三点共线的充要条件是
.（2）“1”
的代换是基本不等式中构造的基本方法.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在
中,角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，角 、 、 的度数成等差数列，
.
又
.
由正弦定理，得
,即 .
由余弦定理，得
,即
，解得 .
(2) 由正弦定理，得
.
由
，得
.
所以当
，即 时，
.
考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦公式． 【方法点睛】解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步 化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒
8.设变量 ， 满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 据约束条件画出不等式组所表示的平面区域，然后画出 【详解】在平面直角坐标系中画出可行域，如图：
，通过平移得到最值.
易得 即为所求可行域，通过平移直线
，可知直线点 时，目标函数取最小值。联立直线方程
2019 届陕西汉中中学高三数学（文）第三次月考
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
1.设集合
,则
=
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
试题分析：因为
，
，故 D 选项正确.
考点：集合交并补的简单运算.
2.复数
的共轭复数 （ ）
A.
B.
体积最大值为（ ）
A.
B. 256 C.
D. 64
【答案】A
【解析】 【分析】
由题意要使四棱锥
体积最大，则 到正方形
的距离最大.则 为球心与正方形中心所在直线与
球的交点中距离正方形较远的点即为所求的.
【详解】正方形
对角线长为
.则球心到正方形中心的的距离
.则 到正方
形
的最大距离为
.
5
则
.选 .
【点睛】本题考查球的内接四棱锥的体积，底面确定的情况下，若球心到底面距离为 ，球半径为 ，四棱锥
可得
的取值范围.
成立；
成立， 不一定成立.故 得 的范围，进而得到
【详解】由题意“ ”是“
”的充分不必要条件，则由 可知 ，要使得 成立，则
.选 .
【点睛】本题解题关键在于理解充分不必要条件的含义.
7. 一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（ ）
3
【答案】D． 【解析】 试题分析：根据几何体三视图的规则““长对正、宽相等、高平齐”的原则”，则该三棱锥的侧视图可能 为选项 D，故选 D. 考点：空间几何体的三视图.
所有可能结果有： 考点：概率问题 19.如图，在四面体
中，已知
，共 5 种。所以
，
，
， 为线段 上的动点(不
10
包含端点) ．
（1）证明：
；
（2）若
，求三棱锥
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
的体积．
（1）取 中点 ，由
及
可得
，又
可得
.得到线面垂直，进而得
到线线垂直.（2）由题意
，结合第一问利用等体积法求
【答案】 【解析】 【分析】
7
先由
求出 ，再代入
，用裂项相消求 .
【详解】
,
.则
,
【点睛】本题考查数列的通项公式及前 项和,分别利用了
和.
16.如图所示，在
中，
， 在线段 ，设
，
__________．
. 和裂项相消求通项公式和前 项
，
，则 的最小值为
【答案】 【解析】 【分析】 由 三点共线以及 的最小值. 【详解】
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 先求 z,再由共轭复数的定义求 .
【详解】
,
.选 .
【点睛】熟练掌握复数的运算法则及共轭复数的定义是解决本题的基本要求.
3.如下所示，茎叶图记录了甲，乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的平均数为 17，乙组数据的中位数为 17，则 ， 的值分别为（ ）
20.已知椭圆
，直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 交于 、 两点，线段 的中
点为 ． （1）证明:直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；
（2）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若能，求 的斜率；若不能，
说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）四边形 四边形． 【解析】 【分析】
.
（1）若
，求 的值；
（2）求 的最大值.
【答案】(1) ；(2) ．
8
【解析】 试题分析：(1)首先利用等差数列的性质求得角 的大小，然后由正弦定理得到 的关系式，最后利用余弦
定理求得 的值；(2)首先由正弦定理得到 与角 间的关系式，然后利用两角和的正弦公式求得 的最
大值．
试题解析：(1) 由角 的度数成等差数列，得
能为平行四边形，当 的斜率为 或
时，四边形
为平行
（1）设直线
，将 的斜率用 表示出来，两者乘积即为定值.（2）四边形
为平行
四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，即
．联立直线方程与椭圆方程求出
，代入求解即
可.
【详解】（1）设直线
，
，
，
，
将
代入
，得
，
故
，
，于是直线 的斜率
，
即
，所是命题得证．
（2）四边形
结果；第二小问主要考察的是概率的问题，在所有情况中找出题中所给要求的情况，再与总数进行比较， 得出结果即为概率。
试题解析：（Ⅰ）解：4，6，6
（Ⅱ）（i）解：得分在区间
内的运动员编号为
取结果有： ，
从中随机抽取 2 人，所有可能的抽 ，共 15 种。
（ii）解：“从得分在区间
内的运动员中随机抽取 2 人，这 2 人得分之和大于 50”（记为事件 B）的
得 ,则
为最小值.选 .
【点睛】本题考查线性规划知识，解题关键在画图找可行域.
9.已知直线 是函数
的图像的一个对称轴，其中
，且
，则 的单调递增
区间是（ ）
A.
B.
4
C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 将 代入
求得
，再根据
求得 ，得函数的解析式，即可求函数的
单调区间.
【详解】直线 是函数
的对称轴，则
在
上恒成立不可能，
又
，
百度文库
，
（i）当 时，
，
又
在
上单调递减，
∴
在
上恒成立，则 在
上单调递减，
又
，∴
在
上恒成立．
（ii）当
时，
，
，
又
在
上单调递减，
∴存在
，使得
，
∴在 上
，在
上
，
∴ 在 上单调递增，在
上单调递减，
又
，∴
在 上恒成立，
∴
在
上恒成立不可能．
综上所述， ． 【点睛】本题主要考查导数在研究函数单调性及最值中的应用，综合性较强.第一问通过求导判断导函数的 符号以及第二问恒成立问题转化为最值问题后分类讨论思想运用是本题解题的难点.
的高的最大值为 ,最小值为 .
11.若
，则
的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】 由
，可将
变为
.再利用
的单调性和奇偶性求解.
【详解】
，
，则
，故 为偶函数.
当 时，
,在
单调递增.
又
，
.
,
,
,
.选 .
【点睛】将具体函数问题转化为抽象函数比较大小，是本题解题的关键.通过函数的单调性和奇偶性是抽象
,解得
，因为
，
或
.
又
即
,
,
,
.
由
解得
.
的单调递增区间为
.选
【点睛】本题主要考查正弦函数的性质及应用，通过代入法求 要注意题目中对 的限制；函数的单调区间
是根据复合函数单调性“同增异减”的性质利用整体代换的思想来求解.
10.点 ， ， ， ， 是半径为 5 的球面上五点， ， ， ， 四点组成边长为 的正方形，则四棱锥
等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等．
18.编号分别为 ， ， ， 的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：
运动员编号
得分
15
35
21
28
25
36
18
34
运动员编号
9
得分
17
26
25
33
22
12
31
38
（1）将得分在对应区间内的人数填入相应的空格： 区间 人数
（2）从得分在区间
A. 3，6 B. 3，7 C. 2，6 D. 2，7
1
【答案】B 【解析】 【分析】 根据平均数计算公式计算求 ，由乙组数据的中位数为 17 得 .
【详解】
,解得 .乙组数据的中位数为 17，则 .选 .
【点睛】考查茎叶图中平均数和中位数.求平均数很容易漏加 10，求中位数要注意将数据按从小到大（从大
内的运动员中随机抽取 2 人．
①用运动员编号列出所有可能的抽取结果；
②求这 2 人得分之和大于 50 的概率．
【答案】（1）4，6，6；（2）①见解析；② ．
【解析】 试题分析：本题主要考察概率分布的问题，第一问只要根据题中给出表格进行数据对应查询，总结，即可
填充表格；找出分数在 20 到 30 中的所有人，在将所有人编号两两进行排列组合，列出所有的情况即抽取
能为平行四边形．
∵直线 过点 ，∴ 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 且 ．
由（1）得 的方程为
．设点 的横坐标为 ．
由
，得
，即
．
12
将点 的坐标代入直线 的方程得
，
因此
，四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，
即
．于是
．解得
，
．
∵ ， ， ，2，
∴当 的斜率为 或 时，四边形 为平行四边形． 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线综合问题.设而不求是此类问题的常规解法，本题第二问求解关键在于将
先将点
代入直线方程和曲线方程求得 ，
,再根据曲线
__________．
在
处的切线的斜
率为 ，可求出 ，进而求出 即可.
【详解】直线
与曲线
相切于点
，
则
，
，故 ，
.
又
， 时，
,
.则 .
.
【点睛】理解导数的几何意义，弄清楚曲线、切线及切点三者之间的关系是解决本题的基本要求，
15.已知 的前 项和
，数列
的前 5 项和 _________．
到小）顺序排列后找中间项或中间两项的平均值.
4.设 为等比数列 的前 项和，
，则 （ ）
A.
B.
【答案】A 【解析】 【分析】
C. 5 D. 11
由
可求出数列公比
,再利用等比数列前 项和公式求 .
【详解】数列 为等比数列，设公比为 ,由
有
,解得
.
.选 .
【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前 N 项和.计算过程中先化简后代值可大大简化计算过程.
四边形 为平行四边形转化为
.
21.已知函数
．
（1）确定函数 在定义域上的单调性；
（2）若
在
上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） 在 上单调递增，在
上单调递减；（2） ．
【解析】 【分析】
（1）先求出函数的定义域，再求导得
，通过二次求导讨论导函数在定义域内的符号进而得
出单调性.
（2）
在
上恒成立，即