相关关系与统计案例

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第九章·第四节
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③若从统计量中求出有99%的把握认为吃零食与性别 有关系，是指有1%的可能性使得出的判断出现错误．
解析：由独立性检验的基本思想可得，只有③正确． 答案：③
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合作学习·速通关
抓重点·破疑难
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^
④y与x正相关且y＝－4.326x－4.578.
其中一定不正确的结论的序号是( )
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
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解析：(1)因为所有的点都在直线上，所以它就是确定 的函数关系，所以相关系数为1.
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必考部分
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第九章 算法初步、统计与统计案例
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第四节 相关关系与统计案例
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考纲解读 1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相 关关系. 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立 线性回归方程. 3.了解独立性检验只要求2×2列联表的基本思想、方法及其简 单应用. 4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
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3．样本相关系数
n
xi－ x yi－ y
i＝1
r＝
，用它来衡量两个变量
n
n
xi－ x 2 yi－ y 2
i＝1
i＝1
间的线性相关关系． (1)当r>0时，表明两个变量 正相关； (2)当r<0时，表明两个变量负相关 ；
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n
^
yi－y i2
i＝1
(2)相关指数R2＝1－
n
yi－ y 2
i＝1
R2越大，意味着残差平方和 越小，即模型的拟合效果 越好 ．R2越小，残差平方和 越大 ，即模型的拟合效果 越差．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量 变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．
(2)①中y与x负相关而斜率为正，不正确；④中y与x正 相关而斜率为负，不正确．故选D.
答案：(1)D (2)D
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线性回归方程的应用
【例2】 (2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个 家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄
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5．独立性检验 (1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的 不同类型 ，像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的 频数表 ，称为列联 表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为 {x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表) 为
＝
1 n
n
x
i＝1
i＝
80 10
＝8，
y
＝1ni＝n1yi＝2100＝2，又i＝n1xi2－n
x
n
2＝720－10×82＝80， xiyi－
i＝1
n
xiyi－n x y
i＝1
n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b＝
＝
n
x2i －n x 2
i＝1
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温馨提示：1.通常认为k≤2.706时，样本数据就没有充 分的证据显示“X与Y有关系”．
2．独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说 结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此 才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可 对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果 作出错误的解释．
A．身高一定是145.83 cm B．身高在145.83 cm以上 C．身高在145.83 cm左右 D．身高在145.83 cm以下
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解析：用回归模型 y^ ＝7.19x＋73.93，只能作预测，其 结果不一定是一个确定值．
答案：C
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(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月
储蓄．
(1)由线性回归方程的求法，先求出 x ， y ，再
^^
^
^
求a，b可得结论；(2)由y＝b x＋a的系数b 可得相关性；(3)
将x＝7代入即可．
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Байду номын сангаас
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【解析】
(1)由题意知n＝10，
x
C．2.2
D．0
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解析： x ＝2， y ＝4.5，因为回归方程经过点( x ， y )，所以a＝4.5－0.95×2＝2.6.
答案：B
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3．一位母亲记录了自己儿子3～9岁的身高数据(略)， 由此建立的身高与年龄的回归模型为 y^ ＝7.19x＋73.93，用 这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是 ()
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相关关系的判断
【例1】 某棉业公司的科研人员在7块并排且形状 大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对 产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位： kg).
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施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45 棉花产量y 330 345 365 405 445 450 455 (1)画出散点图； (2)判断是否具有相关关系．
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5．在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，下列说 法正确的是________．
①若K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吃 零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是 女性；
②从独立性检验可知有99%的把握认为吃零食与性别 有关系时，我们说某人吃零食，那么此人是女性的可能性 为99%；
10
10
yi(单位：千元)的数据资料，算得 x i＝80， y i＝20，
i＝1
i＝1
10
10
xiyi＝184， xi2＝720.
i＝1
i＝1
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(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋
a；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
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(3)线性相关关系、回归直线． 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 ， 就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直 线．
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相关关系与函数关系有何异同点？ 提示：共同点：二者都是指两个变量间的关系． 不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果 关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是 因果关系，可能是伴随关系．
^^
a ，b 是待定参数．
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n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
^ b
i＝1
＝
i＝1
＝
，

n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2

i＝1
i＝1
^
^
a ＝ y －b x
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2×2列联表
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
K2＝
nad－bc2 a＋ba＋cb＋dc＋d
(其中n＝
a＋b＋c＋d
为
样本容量)，则利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关
系”．
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4．下面是一个2×2列联表
y1
y2
合计
x1
a 21
73
x2
2 25
27
合计 b 46
则表中a、b处的值分别为__________．
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解析：∵a＋21＝73，∴a＝52. 又∵a＋2＝b，∴b＝54.
答案：52、54
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考情剖析 高考对本节内容的考查主要是线性回归分析和独立性检验的统计 分析方法，三种题型都有可能出现，难度中档.
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自主回顾·打基础
合作学习·速通关
提升素养·破难点
课时作业
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2．回归方程
(1)最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到它的 距离的平方和最小
的方法叫做最小二乘法．
(2)回归方程
^
^
^
方程y ＝b x＋a 是两个具有线性相关关系的变量的一
组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中
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【解析】 (1)散点图如图所示．
(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附 近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．
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散点图是由大量数据点分布构成的，是定义在具有相关关 系的两个变量基础之上的，对于性质不明确的两组数据可 先作散点图，直观地分析它们有无关系及关系的密切程度.
B．0
1 C.2
D．1
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(2)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的
相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结
论：
^
①y与x负相关且y＝2.347x－6.423；
^
②y与x负相关且y＝－3.476x＋5.648；
^
③y与x正相关且y＝5.437x＋8.493；
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(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性 越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存 在线性相关关系．通常当|r|>0.75时，认为两个变量有很强 的线性相关关系．
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1．下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系； ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分 析的一种方法；
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④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分
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4．残差分析
(1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，
yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其
^
^
^
^
^
估计值为e i＝yi－y i＝yi－b xi－a ，i＝1,2，…，n.e i称为
相应于点(xi，yi)的残差．
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(1)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn， yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样 本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样
本数据的样本相关系数为( )
A．－1
析的一种常用方法．
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
解析：由回归分析的方法及概念判断．
答案：C
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2．已知x，y的取值如下表，从散点图可看出y与x线性
相关，且回归方程为y＝0.95x＋a，则a＝( )
x0 1 3 4
A.3.25
y 2.2 4.3 4.8 6.7 B．2.6
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自主回顾·打基础
强根基·固本源
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1．两个变量的线性相关 (1)正相关． 在散点图中，点散布在从左下角到右上角 的区域，对 于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关． (2)负相关． 在散点图中，点散布在从 左上角到右下角 的区域，两 个变量的这种相关关系称为负相关．