通用版2020版高考数学大二轮复习专题突破练20统计与统计案例理
2020年高考数学二轮限时训练计数原理、概率、随机变量及其分步、统计、统计案例2理
第七部分：计数原理、概率、随机变量及其分步、统计、 统计案例（2）（限时：时间45分钟，满分100分）、选择题1 31 •已知（X 2—二）"的展开式中第三项与第五项的系数之比为 帀，则展开式中常数项是（）A •— 1B • 1 C.— 45 D • 45r当 20 — 2r — = 0,即当 r = 8 时， 常数项为 C 108( — 1)8= C o 2= 45，选 D.【答案】 D1 n2 •若(x + -)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )XA . 10B • 20 C. 30 D • 120【解析】•.•2n = 64,「. n = 6, 1•••T k +1= C 6kx 6— k(-)k= C 6kx6— 2k,•••当k = 3时，T 4为常数项，3• -T 4= C o = 20.【答案】 B3 • (2020年献县二模)(1 — ,x) 6(1 + ,x)4的展开式中x 的系数是()A • — 4B • — 3C . 3D • 4【解析】 方法一 ：(1 — . x) 6(1 + . x)4的展开式中x 的一次项为：C 60•C 42( x)2+ G 2( — x) 2•C 40+ C 61( — x)・C 41( .x)【解析】 由题知第三项的系数为 G 2（ — 1）2= G 2,第五项的系数为G 2G 4( — 1)4= G 4,则有吕C n£解得n =10,由 T r + 1= C r 20— 2r oXr rx — 2( —=6x + 15x — 24x = — 3x ,所以(1 — x) 6(1 + x)4的展开式中x 的系数是一3.方法二：由于(1 — x) 6(1 + x) 4= (1 — x) 4(1 — x) 1 2的展开式中x 的一次项为: 。
3( — x) •C 2 + C 4°•C 22( — J x) 2=— 4x + x =— 3x , 所以(1 —■ x) 6(1 + x)4的展开式中x 的系数是一3.【答案】 B8 84 .设(1 + x) = a o + a 1x +…+ a $x ，则 a o , a 1,…，a 8中奇数的个数 为() A . 2 B . 3 C. 4 D . 58 2 8_,【解析】 由(1 + x) = a o + a 1x + a 2x +…+ a $x 可以知道，a o 、a” a 2、…、a 8均为二项式系数，依次是 C 0、Q 4、C 2…、C 8,0 8 1 7 2 6 3 5C 8 = C 8 = 1, C 8 = C 8 = 8, C 8 = C 8 = 28, C = C 8 = 56 ,Q = 70,.・a o , a-1，…，a 8中奇数只有a o 和a s 两个. 【答案】 A1 n 1 15 .若(2x —-)展开式中含 广项的系数与含项的系数之比为一5，则n 等于()入 入 入A . 4B . 6 C. 8 D . 1o 【解析】1kn —kk• T =C (2x) (—x )kk 亠 n —k n — 2k=G ( — 1)・2 x ,n + 2•••令 n — 2k = — 2 得 k = -; n + 4令 n — 2k =— 4 得 k =〒,n +4n +4C2n(— 1)22n—解得n = 6. 【答案】 B 二、填空题6. 1 + 3 + 32+…+ 399被4除所得的余数是 ___________2 991 — 3100【解析】•/ 1+ 3+ 3 +…+ 3 =1 — 34则（1 + x + x 2）（x + p n 的展开式中无常数项.n+2 n+2 C〒n( —1)〒2 n-n+ 2 2 n+ 4 21100 1 99 8 2 9 =—(4 — C 100 4 +…+ C 1009 ・4 — C oo9 4)=8（4 98— C o 。
2020高考数学二轮复习概率与统计.docx
2020 高考数学二轮复习 概率与统计概率内容的新概念 多，相近概念容易混淆，本 就学生易犯 作如下 ：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同 例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出 的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事 上， 两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）A ． 立事件B ．不可能事件C ．互斥但不 立事件D ．以上均不解A剖析 本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在 ：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生．事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件，两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 C ．型三 例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投 命中率 O ．8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ， 两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ， 将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次 事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。
2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版 课件：6.2.1 统计与统计案例
������
∑ xi2
������=1− Nhomakorabeax2.
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2.变量间的相关关系
(1)如果散点图中的点从整体上看大致分布在一条直线的附近,那
么我们说变量x和y具有线性相关关系.
(2)线性回归方程:若变量x与y具有线性相关关系,有n个样本数据
(xi,yi)(i=1,2,…,n),则回归方程为
^ ^ ^ ^ ^ ^ ������
之和为0.5处的横坐标;
(3)平均数������ = ���1���(x1+x2+…+xn).体现在频率分布直方图中是由各小
矩形的宽的中点的横坐标乘以相应小矩形的面积,然后求和得到;
(4)方差
s2=���1���[(x1-������)2+(x2-������)2+…+(xn-������)2]=���1���
由公式:���^���=(2×250+3×30(04++49+×14600++255+×43560)-+5×6×16600)-5×4×400
=85,
a^ =400-85×4=60,∴���^���=85x+60.
(2)由题意:w=-5x2+85x-80,
所以,年平均利润������������
=-5x+85-80=85-5
的平均值
频率、频数分 布表,平均数、 方差
样本估 计总体
分析、计算
频率,频率分布 样本估 直方图;平均数 计总体
观察、分析、 计算,方程思 想
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1.样本的数字特征
(1)众数:是指出现次数最多的数,体现在频率分布直方图中,是指
高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例(含解析)
高考数学二轮复习专题突破—统计与统计案例1.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 附:√74≈8.602.2.(2021·江西赣州二模改编)遵守交通规则,人人有责.“礼让行人”是我国《道路交通安全法》的明文规定,也是全国文明城市测评中的重要内容.《道路交通安全法》第47条明确规定:“机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过道路,应当避让.否则扣3分罚200元”.下表是2021年1至4月份我市某主干路口监控设备抓拍到的驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:(1)请利用所给数据求不“礼让行人”驾驶员人数y 与月份x 之间的经验回归方程y ^=b ^x+a ^,并预测该路口2021年10月不“礼让行人”驾驶员的大约人数(四舍五入);(2)交警从这4个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查50人,调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系,得到下表:依据小概率值α=0.10的独立性检验,分析“礼让行人”行为是否与驾龄有关.参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -nx y ∑i=1nx i 2-nx2=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2.χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.3.(2021·河北石家庄二模改编)某地区在2020年底全面建成小康社会,随着实施乡村振兴战略规划,该地区农村居民的收入逐渐增加,可支配消费支出也逐年增加.该地区统计了2016~2020年农村居民人均消费支出情况,对有关数据处理后,制作如图1的折线图[其中变量y (单位:万元)表示该地区农村居民人均年消费支出,年份用变量t 表示,其取值依次为1,2,3,…].(1)由图1可知,变量y与t具有很强的线性相关关系,求y关于t的经验回归方程,并预测2021年该地区农村居民人均消费支出;2016~2020年该地区农村居民人均消费支出图1(2)在国际上,常用恩格尔系数(其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织的标准:恩格尔系数在40%~50%为小康,30%~40%为富裕.已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示,预测2021年该地区农村居民食品类支出比2020年增长3%,从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准.2020年该地区农村居民人均消费支出构成图2参考公式:经验回归方程y ^=b ^x+a ^中斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2=∑i=1nx i y i -nx y∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y −b ^x .4.(2021·山东潍坊一模)在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中,科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,20,25<x i <65),其中x i 表示年龄,y i 表示脂肪含量,并计算得到∑i=120x i 2=48 280,∑i=120y i 2=15 480,∑i=120x i y i =27 220,x =48,y =27,√22≈4.7.(1)请用样本相关系数说明该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合,并求y 关于x的经验回归方程y ^=a ^+b ^x (a ^,b ^的计算结果保留两位小数);(2)科学健身能降低人体脂肪含量,下表是甲、乙两款健身器材的使用年限(整年)统计表:某健身机构准备购进其中一款健身器材,以使用年限的频率估计概率,请根据以上数据估计,该机构选择购买哪一款健身器材,才能使用更长久?参考公式:样本相关系数r=∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1n (x i -x)2√∑i=1n(y i -y)2=∑i=1nx i y i -nx y√∑i=1nx i 2-nx 2√∑i=1ny i 2-ny 2;对于一组具有线性相关关系的数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n ),其经验回归直线y ^=b ^x+a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b ^=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n(x i -x)2,a ^=y −b ^x .答案及解析1.解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14+7100=0.21.产值负增长的企业频率为2100=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)y =1100(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30, s 2=1100[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6, s=√0.029 6=0.02×√74≈0.17.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17. 2.解 (1)由表中数据易知:x =1+2+3+44=52,y =125+105+100+904=105,则b ^=∑i=14x i y i -4x y∑i=14x i 2-4x2=995−1 05030−25=-11,a ^=y −b ^ x =105-(-11)×52=132.5,故所求经验回归方程为y ^=-11x+132.5.令x=10,则y ^=-11×10+132.5=22.5≈23(人),预测该路口10月份不“礼让行人”的驾驶员大约人数为23. (2)零假设为H 0:“礼让行人”行为与驾龄无关.由表中数据可得χ2=50×(10×12−20×8)218×32×30×20≈0.23<2.706=x 0.10,依据小概率值α=0.10的独立性检验,没有充分证据推断H 0不成立,可以认为H 0成立,即认为“礼让行人”行为与驾龄无关.3.解 (1)由已知数据可求t =1+2+3+4+55=3, y =1.01+1.10+1.21+1.33+1.405=1.21,∑i=15t i 2=12+22+32+42+52=55,∑i=15t i y i =1×1.01+2×1.10+3×1.21+4×1.33+5×1.40=19.16,b ^=19.16−5×3×1.2155−5×32=1.0110=0.101,a ^=1.21-0.101×3=0.907,所求经验回归方程为y ^=0.101t+0.907. 当t=6时,y ^=0.101×6+0.907=1.513(万元),故2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元.(2)已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元,由图2可知,2020年该地区农村居民食品类支出为4 451元,则预测2021年该地区食品类支出为4 451×(1+3%)=4 584.53元,恩格尔系数=4 584.5315 130×100%≈30.3%∈(30%,40%),所以,2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准.4.解 (1)x 2=2 304,y2=729,∑i=120x i y i -20x y =1 300,∑i=120x i 2-20x 2=2 200,∑i=1ny i 2-20y 2=900,r=∑i=120x i y i -20x y√∑i=120x i 2-20x 2√∑i=1ny i 2-20y2≈0.92,因为y 与x 的样本相关系数接近1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系,可用线性回归模型进行拟合.由题可得,b ^=∑i=120(x i -x)(y i -y)∑i=120(x i -x)2=∑i=120x i y i -20x y∑i=120x i 2-20x2=1322≈0.591,a ^=y −b ^ x =27-0.591×48≈-1.37,所以y ^=0.59x-1.37.(2)以频率估计概率,设甲款健身器材使用年限为X (单位:年).E (X )=5×0.1+6×0.4+7×0.3+8×0.2=6.6. 设乙款健身器材使用年限为Y (单位:年).E (Y )=5×0.3+6×0.4+7×0.2+8×0.1=6.1.因为E (X )>E (Y ),所以该健身机构购买甲款健身器材更划算.。
2020版高考数学大二轮复习7.3统计与统计案例学案理
第3讲统计与统计案例考点1 抽样方法1．简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．2．系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．3．分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．[例1] (1)[2019·福州市高中毕业班质量检测]为了解某地区的“微信健步走”活动情况，拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异，而男女“微信健步走”活动情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样C．按年龄段分层抽样 D．系统抽样(2)[2019·全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8【解析】(1)根据分层抽样的特点，应选C.(2)本题主要考查韦恩图的应用与概率问题，考查考生的阅读理解能力，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数据分析．根据题意阅读过《红楼梦》《西游记》的人数用韦恩图表示如下：所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7. 【答案】(1)C (2)C(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的； (2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；(3)分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例.『对接训练』1．[2019·河北枣强中学期末]总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始向右读(每两个连续数字组成一个编号)，则选出来的第5个个体的编号为( )21 16 65 08 90 34 20 76 43 81 26 34 91 64 17 50 71 59 45 06 91 27 35 36 80 72 74 67 21 33 50 25 83 12 02 76 11 87 05 26 A ．12 B ．07 C ．15 D ．16解析：从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为03,07,12,16,07,15，其中第二个和第五个都是07，重复，所以选出的5个个体的编号为03,07,12,16,15，则第5个个体的编号为15.故选C.答案：C2．[2019·惠州市高三第二次调研]某班共有56人，学号依次为1,2,3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2,30,44的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为________．解析：由题意得，需要将56人按学号从小到大分成4组，每组抽取第2个学号对应的同学，所以还有一位同学的学号为1×14＋2＝16.答案：16考点2 用样本估计总体1．频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示频率组距，频率＝组距×频率组距.2．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1. 3．利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．[例2] (1)[2018·江苏卷]已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________；(2)[2017·全国卷Ⅰ]为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，xn ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A ．x 1，x 2，…，xn 的平均数B ．x 1，x 2，…，xn 的标准差C ．x 1，x 2，…，xn 的最大值D ．x 1，x 2，…，xn 的中位数【解析】 (1)这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91，因此这5位裁判打出的分数的平均数为89＋89＋90＋91＋915＝90.(2)因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．故选B.【答案】 (1)90 (2)B众数、中位数、平均数与直方图的关系(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． (3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之积的和.『对接训练』3．[2019·河北石家庄模拟]已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组投中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是( )A ．甲投中个数的极差是29B ．乙投中个数的众数是21C ．甲的投中率比乙高D ．甲投中个数的中位数是25解析：由茎叶图可知甲投中个数的极差为37－8＝29，故A 正确；易知乙投中个数的众数是21，故B 正确；甲的投中率为8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋3740×10＝0.535，乙的投中率为9＋11＋13＋14＋18＋19＋20＋21＋21＋2340×10＝0.422 5，所以甲的投中率比乙高，C 正确；甲投中个数的中位数为22＋242＝23，D 不正确．故选D.答案：D4．[2019·河北衡水中学五调]某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )A ．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数B ．月跑步平均里程逐月增加C ．月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月D ．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 解析：由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A 错；月跑步平均里程不是逐月增加的，B 错；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C 错．故选D.答案：D考点3 变量的相关性与统计案例1．线性回归方程方程y ^＝b ^x ＋a ^称为线性回归方程，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x－2，a ^＝y －－b ^x －；(x －，y －)称为样本中心点．2．随机变量K 2(χ2)＝(a ＋b ＋c ＋d )(ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，若K 2(χ2)>3.841，则有95%的把握说两个事件有关； 若K 2(χ2)>6.635，则有99%的把握说两个事件有关．[例3] [2019·全国卷Ⅰ]某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：(1)(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).【解析】 象概括能力与数据处理能力，重点考查数学抽象、数据分析、数学运算的核心素养；倡导学生关注生活，提高数学应用意识．(1)由调查数据知，男顾客中对该商场服务满意的比率为4050＝0.8，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3050＝0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)K 2＝100×(40×20－30×10)250×50×70×30≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.(1)求回归直线方程的关键①正确理解计算b ^，a ^的公式和准确的计算．②在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．(2)独立性检验的关键①根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．②K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大.『对接训练』5．[2019·福建福州二检]中国房地产业协会主办的中国房价行情网调查的一份数据显示，2018年7月，大部分一线城市的房租租金同比涨幅都在10%以上．某部门研究认为，房租支出超过月收入13的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入13的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两个小区的租户的“幸福指数”的高低，随机抽取甲、乙两个小区租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入(单位：千元)以[0,3)，[3,6)，[6,9)，[9,12)，[12,15]分组的频率分布直方图如图．乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下．(2)若甲、乙两个小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件，完成下面的2×2列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“‘幸福指数’高低与租住的小区有关”．附：K 2＝n (ad －(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解析：(1)设甲小区所抽取的100户租户的月收入的中位数为t ， 则0.060×3＋(t －3)×0.160＝0.5，解得t ＝5. (2)完成2×2列联表如下．根据2×2可得K 2的观测值k ＝200×(66×62－38×34)2104×96×100×100≈15.705>10.828，所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“‘幸福指数’高低与租住的小区有关”．课时作业19 统计与统计案例1．[2019·湖南五市十校联考]在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[17,18]．其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13,15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为( )A．39 B．35C．15 D．11解析：由频率分布直方图知成绩在[15,18]内的频率为(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78，所以成绩在[13,15)内的频率为1－0.78＝0.22，则成绩在[13,15)内的选手有50×0.22＝11(人)，即这50名选手中获奖的人数为11，故选D.答案：D2．[2019·湖北黄冈期末]为了调查学生对某项新政策的了解情况，准备从某校高一A，B，C三个班级中抽取10名学生进行调查．已知A，B，C三个班级的学生人数分别为40,30,30.考虑使用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按A，B，C三个班级依次统一编号为1,2，…，100；使用系统抽样时，将学生按A，B，C三个班级依次统一编号为1,2，…，100，并将所有编号依次平均分为10组．如果抽得的号码有下列四种情况：①7,17,27,37,47,57,67,77,87,97；②3,9,15,33,43,53,65,75,85,95；③9,19,29,39,49,59,69,79,89,99；④2,12,22,32,42,52,62,73,83,96.关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A．①③都可能为分层抽样 B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样 D．②③都不能为系统抽样解析：对于①，既满足系统抽样的数据特征，又满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样或系统抽样；对于②，只满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样；对于③，既满足系统抽样的数据特征，又满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样或系统抽样；对于④，只满足分层抽样的数据特征，所以可能是分层抽样．故选A.答案：A3．[2019·广东惠州一调]已知数据x1，x2，…，x10,2的平均值为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据( )A．一样稳定 B．变得稳定C．变得不稳定 D．稳定性不可以判断解析：数据x 1，x 2，…，x 10,2的平均值为2，方差为1，故111[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋…＋(x 10－2)2＋(2－2)2]＝1，数据x 1，x 2，…x 10的方差s 2＝110[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋…＋(x 10－2)2]>1，故相对于原数据变得不稳定，故选C.答案：C4．[2019·陕西商洛质检]在一次53.5千米的自行车个人赛中，25名参赛选手成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为1～25号，再用系统抽样的方法从中选取5人，已知选手甲的成绩为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平均数为( )A.95 B ．96 C ．97 D ．98解析：由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他4人的成绩分别是88,94,99,107，故平均数为88＋94＋99＋1074＝97，故选C.答案：C5．[2019·湖北重点高中协作体联考]某镇有A ，B ，C 三个村，它们的人口数量之比为，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 村有15人，则样本容量为( )A ．50B ．60C ．70D ．80解析：设A ，B ，C 三个村的人口数量分别为3x,4x,7x ，则由题意可得3x 15＝3x ＋4x ＋7xn ，解得n ＝70，故选C.答案：C6．[2019·云南昆明诊断]某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：A ．利润率与人均销售额成正相关关系B ．利润率与人均销售额成负相关关系C ．利润率与人均销售额成正比例函数关系D ．利润率与人均销售额成反比例函数关系解析：画出利润率与人均销售额的散点图，如图．由图可知利润率与人均销售额成正相关关系．故选A.答案：A7．[2019·河南濮阳摸底]根据如表数据，得到的回归方程为y ^＝b ^x ＋9，则b ^＝( )A.2 B ．1 C ．0 D ．－1解析：由题意可得x －＝15×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y －＝15×(5＋4＋3＋2＋1)＝3，因为回归方程为y ^＝b ^x ＋9且回归直线过点(6,3)，所以3＝6b ^＋9，解得b ^＝－1，故选D.答案：D8．[2019·宁夏银川一中月考]利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好该项运动，得到2×2列联表，并计算可得K 2≈8.806.A ．有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别无关”B ．有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.05%的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关” 解析：由于8.806>7.879，所以根据独立性检验的知识可知有99.5%以上的把握认为“是否爱好该项运动与性别有关”，故选B.答案：B9．[2019·安徽六安毛坦厂中学月考]某位教师2017年的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4 750元，则该教师2018年的家庭总收入为( )A ．100 000元B ．95 000元C ．90 000元D ．85 000元解析：由已知得，2017年的就医费用为80 000×10%＝8 000(元)，故2018年的就医费用为8 000＋4 750＝12 750(元)，所以该教师2018年的家庭总收入为12 75015%＝85 000(元)．故选D.答案：D10．[2019·华中师范大学第一附属中学期末]给出下列结论：①某学校从编号依次为001,002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053,098，则样本中最大的编号为862；②甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中甲组数据比较稳定； ③两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1； ④对A ，B ，C 三种个体按 ：：2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30.则正确的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：①中，样本中相邻的两个编号为053,098，则样本组距为98－53＝45，所以样本容量为90045＝20，则样本中最大的编号为53＋45×(20－2)＝863，故①错误；②中，乙组数据的平均数为5＋6＋9＋10＋55＝7，所以乙组数据的方差为15×[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝4.4<5，那么这两组数据中乙组数据比较稳定，故②错误；③中，两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故③错误；④中，易知样本容量为15÷33＋1＋2＝30，故④正确．综上，选C.答案：C11．[2019·福建三明质检]某校为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从高一、高二、高三年级的学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为k ：：4，抽取的样本中高一年级的学生有120人，则实数k的值为________．解析：由题意可得，120300＝kk ＋5＋4，解得k ＝6.答案：612．[2019·河北六校联考]在一次53.5千米的自行车个人赛中，25名参赛选手的成绩(单位：分)的茎叶图如图所示，若用简单随机抽样的方法从中选取2人，则这2人成绩的平均数恰为100的概率为________．解析：根据题意知，从25人中选取2人，基本事件的总数为C 225＝300，其中这2人成绩的平均数恰为100的基本事件为(100,100)，(95,105)，(95,105)，(95,105)，(94,106)，(93,107)，共6个，所以所求的概率P ＝6300＝150.答案：15013．某炼钢厂废品率x (%)与成本y (元/t)的线性回归方程为y ^＝105.492＋42.569x .当成本控制在176.5元/t 时，可以预计生产的1 000 t 钢中，约有________t 钢是废品．解析：因为176.5＝105.492＋42.569x ，所以x ≈1.668，即成本控制在176.5元/t 时，废品率为1.668%.所以生产的1 000 t 钢中，约有1 000×1.668%＝16.68 t 钢是废品． 答案：16.6814．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H 0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K 2≈3.918，经查临界值表知P (K 2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.解析：K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，不是同一个问题，不要混淆．答案：①15．[2019·湖南四校摸底调研]某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有 1 400万元的年度销售任务．已知这200名销售员去年的销售额都在区间[2,22](单位：百万元)内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18)，[18,22]，并绘制出如下的频率分布直方图．(1)求a的值，并计算完成年度任务的人数；(2)用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；(3)现从(2)中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率．解析：(1)∵(0.02＋0.08＋0.09＋2a)×4＝1，∴a＝0.03，∴完成年度任务的人数为2×0.03×4×200＝48.(2)第1组应抽取的人数为0.02×4×25＝2，第2组应抽取的人数为0.08×4×25＝8，第3组应抽取的人数为0.09×4×25＝9，第4组应抽取的人数为0.03×4×25＝3，第5组应抽取的人数为0.03×4×25＝3，(3)在(2)中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为A1，A2，A3；第5组有3人，记这3人分别为B1，B2，B3.从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共有15个基本事件，获得此奖励的2名销售员在同一组所包含的基本事件有6个， 故所求概率P ＝615＝25.16．[2019·河南封一调]近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2018年双十一期间，某购物平台的成交额为两千亿元人民币之多．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，商品的好评率为60%，服务的好评率为75%，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为商品好评与服务好评有关．(2)的次数为随机变量X ，求X 的数学期望和方差．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .K 2＝200×(150×50×120×80≈11.111>6.635，故有99%的把握认为商品好评与服务好评有关．(2)∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25， ∴E (X )＝3×25＝65，D (X )＝3×25×35＝1825.17．[2019·重庆九校联盟一模]某社区为了解该社区退休老人每天的平均户外活动时间，从该社区退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外活动时间(单位：时)，活动时间按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．(1)求图中a 的值；(2)估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数；(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一个组的概率．解析：(1)由频率分布直方图，可知平均户外活动时间在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，平均户外活动时间在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02，由1－(0.04＋0.08＋0.20＋0.25＋0.07＋0.04＋0.02)＝0.5a ＋0.5a ， 解得a ＝0.30. (2)设中位数为m 时．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.25＝0.72>0.5， 而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＝0.47<0.5，所以2≤m <2.5. 所以0.50×(m －2)＝0.5－0.47，解得m ＝2.06.故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为2.06时． (3)由题意得平均户外活动时间在[1,1.5)，[1.5,2)内的人数分别为15,20，按分层抽样的方法在[1,1.5)，[1.5,2)内分别抽取3人、4人，从7人中随机抽取2人，共有C 27＝21种方法，抽取的两人恰好都在同一个组有C 24＋C 23＝9种方法，故抽取的2人恰好在同一个组的概率P ＝921＝37.18．[2019·福建三明月考]统计学中经常用环比、同比来进行数据比较．环比是指本期统计数据与上期比较，如2017年7月与2017年6月相比．环比增长率＝本期数－上期数上期数×100%，同比增长率＝本期数－同期数同期数×100%.下表是某地区近17个月来的消费者信心指数的统计数据：②除2017年1月外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？ (2)由以上数据可判断，序号x 与该地区消费者信心指数y 具有线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^(a ^，b ^保留2位小数)，并依此预测该地区2018年6月的消费者信心指数(结果保留1位小数)．参考数据与公式：∑i ＝117x i y i ＝18 068.5，∑i ＝117x 2i＝1 785，x －＝9，y －≈115，b ^＝，a ^＝y －－b ^x －.解析：(1)①该地区2018年5月消费者信心指数的同比增长率为124－112.6112.6×100%≈10%.②若月环比增长率为负数，则本期数<上期数，从表中可以看出，2017年3月、2017年6月、2017年8月、2018年2月、2018年4月共5个月的月环比增长率为负数．(2)由已知，得，a ^＝y －－b ^x －＝104.56，∴线性回归方程为y ^＝1.16x ＋104.56.当x ＝18时，y ^＝125.4，故该地区2018年6月的消费者信心指数约为125.4.。
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题七第一讲统计与统计案例
(1)在频率分布直方图中：
①各小矩形的面积表示相应各组的频率.各小矩形的高＝ ；②各小矩形面积之和等于1；③中位数左右两侧的直方图面积相等.因此可以估计其近似值．
(2)茎叶图
3．样本的数字特征
(1)众数：在样本数据中.出现次数最多的那个数据．
中位数：样本数据中.将数据按大小排列.位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数.就取中间两个数据的平均数作为中位数；
[0.4.0．5)
[0.5.0．6)
频数
1
5
13
10
16
5
(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．
(2)估计该家庭使用节水龙头后.日用水量小于0.35 m3的概率．
(3)估计该家庭使用节水龙头后.一年能节省多少水？(一年按365天计算.同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．)
P
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
[解析](1)第二种生产方式的效率更高．
理由如下：
方法一：由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中.有75%的工人完成生产任务所需时间至少80 min.用第二种生产方式的工人中.有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 min.因此第二种生产方式的效率更高．
『规律总结』
系统抽样与分层抽样的求解方法
(1)系统抽样的最基本特征是“等距性”.每组内所抽取的号码需要依据第一组抽取的号码和组距唯一确定．每组抽取样本的号码依次构成一个以第一组抽取的号码m为首项.组距d为公差的等差数列{an}.第k组抽取样本的号码ak＝m＋(k－1)d.
(2)分层抽样的关键是根据样本特征差异进行分层.实质是等比例抽样.求解此类问题需先求出抽样比——样本容量与总体容量的比.则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与抽样比的乘积．在每层抽样时.应采用简单随机抽样或系统抽样进行．
2020版高考数学大二轮培优理科通用版能力升级练：(十二) 统计与统计案例
能力升级练(十二) 统计与统计案例一、选择题1.某班对八校联考成绩进行分析,利用随机数法抽取样本时,先将60个同学按01,02,03,…,60进行编号,然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个个体的编号是( )(注:下表为随机数表的第8行和第9行)6301 6378 5916 9555 6719 9810 5071 7512 8673 5807 4439 5238 793321 1234 2978 6456 0782 5242 0744 3815 5100 1342 9966 0279 54A.07B.25C.42D.52,依次选出的个体分别是12,34,29,56,07,52,因此选出的第6个个体的编号是52.2.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )A.x1,x2,…,x n的平均数B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数.3.(2019云南昆明模拟)AQI(空气质量指数)是报告每日空气质量的参数,描述了空气清洁或污染的程度. AQI共分六级,从一级优(0~50);二级良(51~100);三级轻度污染(101~150);四级中度污染(151~200);直至五级重度污染(201~300);六级严重污染(大于300).如图是昆明市2017年4月份随机抽取10天的AQI 茎叶图,利用该样本估计昆明市2019年4月份空气质量优的天数为( )A.3B.4C.12D.2110天中有4天空气质量为优,所以空气质量为优的频率为,所以估计昆明市410=252019年4月份空气质量为优的天数为30×=12,故选C .254.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为200,如图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则该样本中三等品的件数为( )A.5B.7C.10D.50,三等品的频率为1-(0.050 0+0.062 5+0.037 5)×5=0.25,因此该样本中三等品的件数为200×0.25=50.5.(2019广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考)如图是2017年第一季度A,B,C,D,E 五省GDP 情况图,则下列陈述正确的是( )①2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省只有1个;②与去年同期相比,2017年第一季度五个省的GDP 总量均实现了增长;③去年同期的GDP 总量前三位是D 省、B 省、A 省;④2016年同期A 省的GDP 总量也是第三位.A.①② B.②③④C.②④D.①③④2017年第一季度GDP 总量和增速均居同一位的省有2个,B 省和C 省的GDP 总量和增速分别居第一位和第四位,故①错误;由图知②正确;由图计算2016年同期五省的GDP 总量,可知前三位为D 省、B 省、A 省,故③正确;由③知2016年同期A 省的GDP 总量是第三位,故④正确.故选B .6.某企业开展职工技能比赛,并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛.经过6轮选拔,甲、乙两人成绩突出,得分情况如茎叶图所示.若甲、乙两人的平均成绩分别是,则下列说法正确的是( )x 甲,x 乙A .,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛x 甲>x 乙B .,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛x 甲>x 乙C .,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛x 甲<x 乙D .,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛x 甲<x 乙=82,≈87,所以=72+78+79+85+86+926x 乙=78+86+88+88+91+936(100+16+9+9+16+100)≈41.67,(81+1+1+1+16+36)≈22.67,因为,所x 甲<x 乙.s 2甲=16s 2乙=16s 2乙<s 2甲以乙成绩比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛.7.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B 的人数为( )A.7B.9C.10D.15=30,从而区间[451,750]包含的段数为=10,则编号落入区间9603275030‒45030[451,750]的人数为10人,即做问卷B 的人数为10.8.(2019北京燕博园质检)某超市从2018年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,并按(0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,得到频率分布直方图如下:记甲种酸奶与乙种酸奶的日销售量(单位:箱)的方差分别为,则频率分布直方图中的a 的值及s 21,s 22的大小关系分别是( )s 21与s 22A.a=0.015, B.a=0.15,s 21<s 22s 21>s 22C.a=0.015, D.a=0.15,s 21>s 22s 21<s 22(0.020+0.010+0.030+a+0.025)×10=1,得a=0.015.根据频率分布直方图,图2中的数据较稳定,则.s 21>s 229.某省二线城市地铁正式开工建设,地铁时代的到来能否缓解该市的交通拥堵状况呢?某社团进行社会调查,得到的数据如下表:男性市民女性市民总计认为能缓解交通拥堵483078认为不能缓解交通拥堵122032总计6050110则下列结论正确的是( )附:K 2=n (ad -bc )2(a +b )(a +c )(b +d )(c +d )P (K 2≥k 0)0.050.0100.0050.001k 03.8416.6357.87910.828A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关”2×2列联表,可求K 2的观测值k=≈5.288>3.841.110(20×48-12×30)260×50×78×32由统计表P (K 2≥3.841)=0.05,∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”.二、填空题10.(2018福建泉州模拟)某厂在生产甲产品的过程中,产量x (吨)与生产能耗y (吨)的对应数据如表:x 30405060y25354045根据最小二乘法求得回归方程为=0.65x+,当产量为80吨时,预计需要生产能耗为 吨.^y ^a,=45,=36.25,代入=0.65x+,可得=7,∴当产量为80吨时,预计需要生产能耗为x y ^y ^a ^a 0.65×80+7=59(吨).11.某同学在高三学年的五次阶段性考试中,数学成绩依次为110,114,121,119,126,则这组数据的方差是 .,方差不变,所以本题中可先对这5个数据同时减去110,得到新的数据分别为0,4,11,9,16,其平均数为8,根据方差公式可得s 2=[(0-8)2+(4-8)2+(11-8)2+(9-158)2+(16-8)2]=30.8..812.从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本,若编号为28的产品在样本中,则该样本中产品的最大编号为 .,共有80个产品,抽取5个样品,则可得组距为=16,又其中有1个为28,则805与之相邻的为12和44,故所取5个依次为12,28,44,60,76,即最大的为76.13.给出下列四个命题:①某班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中另一位同学的编号为23;②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同;③若一组数据a ,0,1,2,3的平均数为1,则其标准差为2;④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为x ,其中^y =^a +^b =2,=1,=3,则=1.^a x y ^b 其中真命题有 (填序号).①中,由系统抽样知抽样的分段间隔为52÷4=13,故抽取的样本的编号分别为7号、20号、33号、46号,故①是假命题;在②中,数据1,2,3,3,4,5的平均数为(1+2+3+3+4+5)=3,中位数为3,众数16为3,都相同,故②是真命题;在③中,因为样本的平均数为1,所以a+0+1+2+3=5,解得a=-1,故样本的方差为[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2,标准差为,故③是假命题;在④中,回归直线方程为152x+2,又回归直线过点(),把(1,3)代入回归直线方程+2,得=1,故④是真命题.^y =^b x ,y ^y =^bx ^b三、解答题14.某校为了解高一学生周末的“阅读时间”,从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查,获得了每人的周末“阅读时间”(单位:小时),按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成样本的频率分布直方图如图所示:(1)求图中a 的值;(2)估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数;(3)用样本频率代替概率.现从全校高一年级随机抽取20名学生,其中有k 名学生“阅读时间”在[1,2.5)内的概率为P (X=k ),其中k=0,1,2,…,20.当P (X=k )最大时,求k 的值.由频率分布直方图可知,周末“阅读时间”在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5=0.04.同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.20,0.25,0.07,0.04,0.02,所以1-(0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02)=0.5a+0.5a ,解得a=0.30.(2)设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为m 小时.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72>0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47<0.5,所以2≤m<2.5.由0.5×(m-2)=0.5-0.47,解得m=2.06.故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时.(3)设在取出的20名学生中,周末“阅读时间”在[1,2.5)内的有X 人,则X 服从二项分布,即X~B (20,0.6),所以恰好有k 名学生周末“阅读时间”在[1,2.5)内的概率为P (X=k )=(0.6)k (0.4)20-k ,C k20其中k=0,1,2, (20)设t=,k=1,2, (20)P (X =k )P (X =k -1)=C k 20(0.6)k(0.4)20-k C k -120(0.6)k -1(0.4)21-k=3(21-k )2k若t>1,则k<12.6,P (X=k-1)<P (X=k );若t<1,则k>12.6,P (X=k-1)>P (X=k ).又<1,P (X =13)P (X =12)=3×(21-13)2×13=1213所以当k=12时,P (X=k )最大.所以k 的值为12.15.(2018陕西西安八校联考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产件数是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.25周岁以上(含25周岁)组25周岁以下组(1)根据“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图,求25岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值(四舍五入保留整数);(2)规定日平均生产件数不少于80的工人为生产能手,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.生产能手非生产能手合计25周岁以上(含25周岁)组25周岁以下组合计附:K 2=.n (a d -bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )P (K 2≥k 0)0.1000.0500.0100.001k 02.7063.8416.63510.828,“25周岁以上(含25周岁)组”应抽取工人100×=60(名),“25周岁以下组”300300+200应抽取工人100×=40(名).200300+200(1)由“25周岁以上(含25周岁)组”的频率分布直方图可知,其中位数为70+10×=70+≈73(件).0.5-0.05-0.350.35207综上,25周岁以上(含25周岁)组工人日平均生产件数的中位数的估计值为73件.(2)由频率分布直方图可知,25周岁以上(含25周岁)的生产能手共有60×[(0.020 0+0.005 0)×10]=15(名),25周岁以下的生产能手共有40×[(0.032 5+0.005 0)×10]=15(名),则2×2列联表如下:生产能手非生产能手合计25周岁以上(含25周岁)组15456025周岁以下组152540合计3070100 K 2的观测值k=≈1.786<2.706,所以没有90%的把握认为“生产能手100×(15×25-15×45)260×40×30×70=2514与工人所在的年龄组有关”.。
(典型题)高考数学二轮复习知识点总结统计与统计案例.docx
统计与统计案例1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等; 有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题, 都属于屮低档题.1.随机抽样(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少.(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多.(3)分层抽样特点是将总体分成儿层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的儿部分组成.2.常用的统计图表(1)频率分布直方图、频率①小长方形的面积=组距X 忒=频率；②各小长方形的面积之和等于1;—频率1③小长方形的高=猛，所有小长方形的高的和为丽.(2)茎叶图在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好.3.用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数、中位数、平均数一一一(2)方差：『=_[(/]—X )2+(A2—x )2------ (乙一x}2}.n标准崔X\— X 2+ X2— X 2 F X n — X 2]. 4. 变量的相关性与最小二乘法（1） 相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数.（2） 最小二乘法：对于给定的一组样本数据（xi, yi ）,（丸，乃），…，（尢，％）,通过求0=工（yi —a —bx ）'最小时，得到线性回归方程尸=加+日的方法叫做最小二乘法. /=15. 独立性检验对于取值分别是3,屈和5, y 』的分类变量尤和『，其样本频数列联表是:71Y2 总计ab a+b X2C d c+d 总计a+cb+dn则心宀 U+c W （•其中心++十为样本容量）•考点一抽样方法.例1. （2012・山东）采用系统抽样方法从960人屮抽取32人做问卷调查，为此将他们随机 编号为1,2,…，960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到 的32人中，编号落入区间［1,450］的人做问卷编号落入区间［451, 750］的人做问卷B, 英余的人做问卷C 则抽到的人中，做问卷〃的人数为（）9,39,69, 939.落入区间［451,750］的有459,489,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列，设有刀项，显然有729 = 459+（/7—1）X30,解得刀=10.所以做 问卷〃的有10人.I 冋=f ■在系统抽样的过程屮,要注意分段间隔，需要抽取儿个个体，样本就需要分 成儿个组，则分段间隔即点N 为样本容量），首先确定在第一组中抽取的个体的号码 n数，再从后面的每组屮按规则抽取每个个体.解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样 方法的特点和适用范围.但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的, 都等于样本容量和总体容量的比值.A. 7B. 9 答案CC. 10D. 15解析由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96032= 30,抽取的号码依次为因(1) (2013 •江西)总体由编号为01,02, 19,20的20个个体组成，利用下而的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()A. 08(2)某单位200名职工的年龄分布悄况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本.用系统抽样法，将全体职工随机按1〜200编号，并按编号顺序平均分为40组仃〜5号，6〜10号，196〜200号).若第5组抽出的号码为22,则第8组抽出的号码应是.若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽収人.答案(1)D (2)37 20解析(1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08, 02, 14,07,01,所以第5个个体编号为01.(2)由分组可「知，抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22,即第〃组抽取的号码为5/7—3,所以第8组抽出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为200X0. 5 = 100,40则应抽取的人数为丽X 100 = 20人.考点二用样本估计总体.例2. (1) (2013・四川)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为「5将数据分组成[0, 5), [5, 10)，…，[30, 35), [35, 40] 时，所作的频率分布直方图是()(2) (2013 •江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：坏)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_________ .答案(1)A (2)2解析(1)由于频率分布直方图的组距为5,去掉C、D,又[0, 5), [5,10)两组各一人,去掉B,应选A.— 1(2) 一卩==(87 + 91+90 + 89+93)=90,□—— 1x乙==(89 + 90 + 91+88 + 92) =90,b品=占［(87 — 90)?+(91-90)1 2+ (90-90)2+ (89-90)2+ (93-.90)2］ =4,5s2=g［(89 —90尸+ (90-90)2+ (91-90)2+ (88-90)2+ (92-90)2］ =2.5(1)反映样本数据分布的主要方式有：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图.关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小, 高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等.(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小.在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图，据此回答以下问题：(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3,5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6),共15 个，其中至少有一个在1 求参赛总人数和频率分布直方图中［80, 90)之间的矩形的高，并完成直方图；2 若要从分数在［80,100］之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在［90, 100］之间的概率.解(1)由茎叶图知，分数在［50, 60)之间的频数为2.由频率分布直方图知，分数在［50, 60)之间的频率为0. 008X10 = 0.0&2所以参赛总人数为両=25 (人).分数在［80, 90)之间的人数为25 — 2 — 7—10 — 2=4(人)，4分数在［80,90)Z间的频率为亦=0・16，得频率分布直方图中［80, 90)间矩形的高为晋=0. 016.完成直方图，如图.(2)将［80, 90)之间的4个分数编号为1, 2, 3,4；［90, 100］之间的2个分数编号为5和6.则在［80,100］之间任取两份的基本事件为(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2, 3),［90,100］之间的基本事件为(1,5), (1,6), (2,5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6),共9 个.9 3故至少有一份分数在［90, 100］ Z间的概率考点三统计案例.例3. (2013 •重庆)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第，个家庭的月收入农(单位：千10 10 10 10元)与月储蓄匕(单位：千元)的数据资料，算得为上=80,为y,=20,为乂匕=1.84,为¥ /=1 /=12=1 2=1 7=720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入/的线性回归方程y=bx+a,(2)判断变量龙与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.n _ _^XiYi—n x yi= I _ _____ _______ ___ 附：线性回归方程y= bx+ a中，b= ----------------- , a= y ~b x ,其中x , y为n __匸2 22^x~n x7=1样本平均值，线性回归方程也可写为y=bx+a.__ | n80解⑴由题意知〃=io, / =-yx=—=8, 刀「10又人=工£一〃^ 2=720-10X82 = 80,2 = 1厶》・=1＞必一刀x y =184-10X8X2 = 24, /=i由此得力3,a=~-b T=2-0. 3X8=-0. 4,故所求线性回归方程为y=0. 3^-0. 4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(方=0. 3>0),故/与F 之间是正相关.（3）将x=l 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0. 3X7-0. 4 = 1. 7（千元）. （1）对具有线性相关关系的两个变量.可以用最小二乘法求线性回归方程，求方是关键,X XL X //— y ^Xiy —n x y■ /=1 J=1 其中b= ----------------------- = ---------------n __ n _ V 1 2 P 2 2 , Xi — x 2^Xi —n x /= i /= i⑵在利用统计•变量航进行独立性检验时，应该注意数值的准确代入和正确汁算, 最后把计算的结杲与有关临界值相比较.（1）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表:附表:参照附表，得到的正确结论是（）A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性別有关”D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”⑵已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y=0. 95^+a,则日等于（）A. 1.30B. 1.45C. 1.65 0. 1.80EX60X50X60X50〜7.&答案（1）C （2）B解析（1）根据独立性检验的定义，由斤（塔）~7.8>6.635可知我们有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.—1(2)依题意得，x =^*X (0+1+4 + 5 + 6+8) =4,6—— 1y =-(1. 3 + 1. 8+5. 6 + 6. 1+7. 4 + 9. 3) =5. 25；又直线y=0.95/+自必过样本点中心(匸，~),即点(4, 5. 25),于是有5. 25 = 0. 95X4+日，由此解得曰=1.45.1.用样本估计总体（1）在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.（2）众数、屮位数及平均数的异同众数、屮位数及平均数都是描述一组数据集屮趋势的量，平均数是最重要的量.（3）当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布.—1 “①总体期望的估计，计算样本平均值X②总体方差（标准差）的估计：方差=2若］（尢一% ）2,标准差=7方差,方差（标准差）较小者较稳定.2.线性回归方程y =b x+a过样本点中心（匚，丁），这为求线性回归方程带来很多方便.3.独立性检验⑴作出2X2列联表.（2）计算随机变量#（疋）的值.（3）查临界值，检验作答.1.经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多12人，按分层抽样的方法（抽样过程中不需要剔除个体）从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈.若抽样得出的9位同学屮有5位持“喜欢”态度的同学，1位持“不喜欢”态度的同学和3位持“一般”态度的同学，则全班持“喜欢”态度的同学人数为 ()A. 6B. 18C. 30D. 54答案C解析 由题意设全班学生为/人，持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”态度的学生分别 占全班人数的害、*、所以%(|-|)=12,解得%=54,所以全班持“喜欢”态度的人 数为54X ：=30.故选C.2. 某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数) 分成六段［40,50), ［50,60),…，［90,100］后得到如图的频率分布直方图，请你根据频 率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为 _______________ .答案71解析 由频率分布直方图得每一组的频率依次为0. 1, 0. 15, 0. 15, 0. 3, 0. 25, 0. 05,又由 频率分布直方图，得每一组数据的中点值依次为45, 55, 65, 75, 85, 95.所以本次考试数学成绩的平均分为匚=45X0. 1 +55X0. 15 + 65X0. 15 + 75X0.3 +85X0. 25+95X0. 05 = 71.故填71.随机抽取某川学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm),获得身高数据的茎叶图如图.(1) 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2) 计算甲班的样本方差；(3) 现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高为176 cm 的同学被抽屮的概率.解(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm 〜179 cm 之间，而乙班身高集中于170cm 〜180 cm 之间，因此乙班平均身高高于甲班，其中 — 158+162 + 163+168+168+170+171 + 179+179+182 x 甲== 170, —159+162 + 165+168 + 170+173 + 176+178+179+18110= 171. 1.(2)甲班的样本方差为±[(158 — 170)2+(]62_i70)2+ (163- 170)2+ (168~170)2 + (168-170)2+ (170-170)2+(171-170)2+ (179-170)2+ (179-170)2+ (182-170)2]甲班2 18 9 9 10 17 8 83 216 815 3. 10 乙班10 3 6 8 9 2 5 8 9= 57. 2.(3)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为/L从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)、(181,176)、(181,178)、(181,179)、(179,173)、(179,176)、(179,178)、(178, 173)、(178,176)、 (176,173),共10个基本事件，而事件含有4个基本事件，(推荐时间：60分钟)一、选择题1. 要完成下列两项调查：①从某肉联厂的火腿肠生产线上抽取L 000根火腿肠进行“瘦 肉精”检测；②从某屮学的15名艺术特长生屮选出3人调查学习负担情况.适合采用 的抽样方法依次为()A. ①用分层抽样，②用简单随机抽样B. ①用系统抽样，②用简单随机抽样C. ①②都用系统抽样D. ①②都用简单随机抽样答案B解析 ①屮总体容量较大，且火腿肠Z 间没有明显差异，故适合采用系统抽样；②屮总 体容量偏小，故适合采用简单随机抽样.2. (2012・四川)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况, 对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为M 其屮 甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12, 21,25, 43,则这四个社区驾驶员的总人数艸为()A. 101B. 808C. 1 212D. 2 012答案B12解析由题意知抽样比为花，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12 + 21+25+43 = 101,故有||=¥，解得/V=808.3. (2013 •福建)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生.，将他们的模块测试成绩分成6 组：[40,50), [50, 60), [60,70), [70, 80), [80, 90), [90,100]加以统计，得到如图 所示的频率分布直・・・P(A)=£2方图.已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为()A. 588B. 480C. 450D. 120答案B解析少于60分的学生人数600X (0. 05 + 0. 15) = 120(人),・・・不少于60分的学生人数为480人.4.甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为匚甲,匚乙，则下列判断正确的是()A.匚甲＞7乙；甲比乙成绩稳定甲〉匚乙；乙比甲成绩稳定C. "7甲＜7乙；甲比乙成绩稳定乙比甲成绩稳定答案D解析由茎叶图可知—17+16 + 28 + 30 + 34*，1，= 5 斗5,—15 + 28+26 + 28 + 33x乙= z =26,oX甲〈X乙.又昴=g[「(17—25尸+ (16-25)2+ (28-25)2+ (30-25)2+ (34-25)2] =52,s：=£[(15-26)2+ (28-26)2+ (26~26)2+ (28-26)2+ (33-26)2] =35. 6,・・・乙比甲成绩稳定.5.一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{/},若心=8,且越，彷成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A. 13, 12B. 13, 13C. 12, 13D. 13, 14答案B解析设等差数列｛/｝的公差为〃（件0）, $3=8,血戲=£=64, （8 — 2小（8+4小=64, （4 — / （2 +小=& 2〃一扌=0 ,又,故d = 2 ,故样本数据为+ 12 + 14 4,6, & 10, 12, 14, 16, 18,20,22,样本的平均数为------- ----- =13,中位数为一= 13,故选B.6.2011年6月，台湾爆出了食品添加有毒塑化剂的案件，令世人震惊.我国某研究所为此开发了一种用来检测塑化剂的新试剂，把500组添加了该试剂的食品与另外500组未添加该试剂的食品作比较，提出假设弘：“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”，并计算出635）=0. 01.对此，四名同学做出了以下的判断：P：有99%的把握认为“这种试剂能起到检测出塑化的作用”；q：随意抽出一组食品，它有99%的可能性添加了塑化剂；z、：这种试剂能检测出塑化剂的有效率为99%；s：这种试剂能检测出塑化剂的有效率为1%.则下列命题中为真命题的是（）A. p/\qB.絲pf\qC.（綁门/\繍g）/\ （八/s）D・（pV 1^） A （^J s）答案D解析提出假设拄“这种试剂不能起到检测出塑化剂的作用”，并计算出戶（於26. 635）=0.01,因此，在一定程度上说明假设不合理，我们就有99%的把握拒绝假设.由题设可知命题刀，厂为真命题，q, s为假命题，依据复合命题的真值表可知D 为真命题.二、填空题7.（2013 •湖北）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.（1） ________________________ 直方图屮x的值为;（2） ___________________________________________________ 在这些用户中，用电量落在区间［100, 250）内的户数为__________________________________ .答案（1）0.004 4 （2） 70解析（1）（0.002 4+0. 003 6 + 0. 006 0+x+0. 002 4 + 0. 001 2） X50 = l,・・」= 0.004 4.（2）（0. 003 6 + 0. 004 4+0. 006 0）X50X100=70.8.下表提供了某厂节能减排技术改造后在生产/产品过程屮记录的,产量*吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出F 关于x 的线性回归方程为y=0.7%+0.35,那么表中广的 值为 . 答案3解析二•样本点屮心为(4.5,耳勺， ・・・斗二=0. 7X4. 5+0. 35,解得 t='3.9. 某校高三考生参加某高校自主招生面试时，五位评委给分如下：9. 0 9. 18.9 9.2 8.8则五位评委给分的方差为 ________ . 答案0.02解析评委给分的平均数为|x (9. 0 + 9. 1 + & 9 + 9. 2 + & 8) =9. 0, □方差为[(9. 0-9. 0)2+ (9. 1 -9. 0)2+ (8. 9-9. 0)2+(9. 2-9. 0)2+ (8. 8-9. 0)2]=50. 1匕~=0. 02. 510. 某校开展“爱我海西、爱我家乡•”摄影比赛，9位评委为参赛作品 A给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分 后，算得平均分为91,复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中 的x)无法看清，若 记分员计算无误，则数字x 应该是 __________ . 答案1"4, •严+ 刖 + 92 + 9吁92 + 9++90 = 9], •I /=1・三、解答题11. (2013 •陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从〃组中抽取了 6人.请将其余各组抽取的人数填入下表.解析 当心时，叭叭吗畀92 + 91 + 9、字切,(2)在(1)中，若力，〃两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委屮分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率.解(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%,所以各组抽取的人数如下表：b\,厶｝屮各抽取1人的所有结果为:由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的冇Si b\,日厶，,观厶4 9共4种，故所求概率7°=—=^.12.(2012 •辽宁)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时I'可的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷” 有10名女性.(1)根据己知条件完成下面的2X2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.0. 050.01 k3. 8416. 635解 ⑴由频率分布直方图可知，在抽収的100人中「体育迷”有25人，从而完成2X2 列联表如下:非体育迷体育迷 合计男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100将2X2列联表中的数据代入公式计算，得100=33 心3. 030.因为3. 030<3. 841,所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所组成的基本 事件空间为 Q={@1,戲)，仙，3：i) ,(0,辺3),(0,方J , (21, &) , (^2, bl),(臼2, &),(日3, b\),(臼3,Z>2), (bi, &)},其中么表不男性,7 = 1, 2, 3,伤表不女性，j — 1, 2. Q 由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的.用ZI 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A= {(<<?], Z?l) , (&, bz),(日2, 5),(日2,血)，@3, bl) , (t?3, bz) , (Z?l, bl)},事件/7rti 7个基本事件组成，因而P (A )=—附:75X25X45X55。
2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版专题突破练：20 统计与统计案例 Word版含解析
专题突破练20统计与统计案例1.(2019全国卷3,文17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).2.(2019山西吕梁4月模拟,文19)某高科技公司投入1 000万元研发某种产品,大规模投产后,在产品出库进入市场前,需做严格的质量检验.为此,从库房的产品中随机抽取200件,检测一项关键的质量指标值(记为X),由检测结果得到如下样本频率分布直方图:(1)求这200件产品质量指标值的样本平均数、样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)该公司规定:当X>170时,产品为正品;当X≤170时,产品为次品.公司每生产一件这种产品,若是正品,则盈利80元;若是次品,则亏损20元.①估计这200件产品中正品、次品各有多少件;②求公司生产一件这种产品的平均利润.3.(2019全国卷1,文17)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?附:K2=-.4.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1 000名的学生进行了调查,得到上表中数据,根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?附:K2=-,其中n=a+b+c+d.5.(2019河北衡水同卷联考,文18)2014年1月25日,中共中央办公厅、国务院办公厅专门发布了《关于创新机制扎实推进农村扶贫开发工作的意见》,对我国扶贫开发工作做出战略性创新部署,提出建立精准扶贫工作机制.某乡镇根据中央文件精神,在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有473户,结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施,从2015年至2018年该乡镇每年脱贫户数见下表:(1)根据2015~2018年的数据,求出y关于x的线性回归方程x+;(2)利用(1)中求出的线性回归方程,试估计到2020年底该乡镇的473户贫困户能否全部脱贫.-.附:-6.(2019山东德州一模,文18)改革开放以来,伴随着我国经济持续增长,户均家庭教育投入(户均家庭教育投入是指一个家庭对家庭成员教育投入的总和)也在不断提高.我国某地区2012年到2018年户均家庭教育投入(单位:千元)的数据如下表:(1)求y关于t的线性回归方程;(2)利用(1)中的回归方程,分析2012年至2018年该地区户均家庭教育投入的变化情况,并预测2019年该地区户均家庭教育投入是多少?-.附:-7.(2019安徽江淮十校联考一,文19)下表为2014年至2017年某百货零售企业的线下销售额(单位:万元),其中年份代码x=年份-2013.(1)已知y与x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程,并预测2018年该百货零售企业的线下销售额;(2)随着网络购物的飞速发展,有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑,某调査平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法,随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种),其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人,能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关?-.K2=-,n=a+b+c+d.参考公式及数据:-8.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:经计算得x i=9.97,s=-- ≈0.212,-≈18.439,(x i-)(i-8.5)=-2.78,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?②在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)--附:样本(x i,y i)(i=1,2,…,n)的相关系数r=.≈0.09.--参考答案专题突破练20统计与统计案例1.解(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.2.解(1)取每个区间中点值为区间代表计算平均数为:=140×0.02+160×0.08+180×0.24+200×0.33+220×0.22+240×0.09+260×0.02=200,方差为:s2=(-60)2×0.02+(-40)2×0.08+(-20)2×0.24+0×0.33+202×0.22+402×0.09+602×0.02=600.(2)①由题意知,产品是正品的频率为1-(0.001+0.004)×20=0.9,则200件产品中是正品的件数为200×0.9=180(件),是次品的件数为20件;②由题意知,生产一件产品的平均利润为0.9×80-0.1×20=70(元).3.解(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.(2)K2=-≈4.762.由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.4.解(1)由题图可知,第一组有3人,第二组有7人,第三组有27人,设后四组的频数构成的等差数列的公差为d,则(27-d)+(27-2d)+(27-3d)=63,解得d=3,所以后四组频数依次为27,24,21,18,所以视力在5.0以下的频数为3+7+27+24+21=82人,故全年级视力在5.0以下的人数约为1 000×=820(人).(2)K2=-≈4.110>3.841,因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.5.解(1)因为=2.5,=70,x i y i=1×55+2×69+3×71+4×85=746,=1+4+9+16=30,=9.2,所以--=70-9.2×2.5=47.因此,所求线性回归方程为=9.2x+47.(2)根据(1)中求得的线性回归方程可估算出2019年脱贫户数:=9.2×5+47=93,2020年脱贫户数:=9.2×6+47≈102.因为2015~2018年实际脱贫280户,2019年和2020年估计共脱贫195户,所以280+195=475>473,即到2020年底该乡镇的473户贫困户估计能够全部脱贫.6.解(1)由所给数据计算得×(1+2+3+4+5+6+7)=4,×(3.4+3.8+4.1+4.9+5.3+5.7+6.4)=4.8,(t i-)2=9+4+1+0+1+4+9=28,(t i-)(y i-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14.---=0.5,=4.8-0.5×4=2.8.所求回归方程为=0.5t+2.8.(2)由(1)知,b=0.5>0,故2012年至2018年该地区户均家庭教育投入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2019年的年份代号t=8代入(1)中的回归方程,得=0.5×8+2.8=6.8.故预测该地区2019年户均家庭教育投入为6.8千元.7.解(1)由题意得=2.5,=200,=30,x i y i=2 355,所以----=71,所以=200-71×2.5=22.5,所以y关于x的线性回归方程为=71x+22.5.由于2018-2013=5,所以当x=5时,=71×5+22.5=377.5,所以预测2018年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元.(2)由题可得2×2列联表如下:总计 30 75 105故K2的观测值k=-≈6.109,由于6.109>5.024,所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续増长所持的态度与性别有关.--8.解(1)由样本数据得(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=--≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)①由于=9.97,s≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(-3s,+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.②剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为(16×9.97-9.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.=16×0.2122+16×9.972≈1 591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为(1 591.134-9.222-15×10.022 ≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为≈0.09.。
2020—2021年最新高考总复习数学二轮复习统计与统计案例专题强化练习题.docx
第一部分一19一、选择题1．(2015·北京文，4)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300A．90 B．100 C．180 D．300 [答案] C[解析]由题意，总体中青年教师与老年教师比例为1 600 900＝169；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即320x＝169，解得x＝180.[方法点拨] 解决抽样问题，首先要深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围，如分层抽样，适用于数目较多且各部分之间具有明显差异的总体．其次要抓住无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都等于样本容量与总体容量的比值．2．(2015·湖南文，2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A．3 B．4C．5 D．6[答案] B[解析]根据茎叶图中的数据得：成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×2035＝4(人)，故选B ．[方法点拨] 1.三种抽样方法的比较 类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围简单 随机 抽样抽样过 程中每 个个体 被抽取 的概率相等 从总体中逐个抽取总体中的个体数较少 系统 抽样 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 总体中的个体数较多分层 抽样将总体分成几层，分层进行抽取分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成2.当总体数N 不能被样本容量整除，用系统抽样法剔除多余个体时，必须随机抽样．3．(文)已知x 、y 的取值如下表所示：x134y 0.9 1.9 3.2 4.4从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ^＝0.8x ＋a ，则a ＝( )A．0.8 B．1 C．1.2 D．1.5 [答案] B[解析]x＝0＋1＋3＋44＝2，y＝0.9＋1.9＋3.2＋4.44＝2.6，又因为回归直线y^＝0.8x＋a过样本中心点(2,2.6)所以2.6＝0.8×2＋a，解得a＝1.(理)(2015·福建理，4)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝0.76，a^＝y －b^x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元[答案] B[解析]考查线性回归方程．由已知得x＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10(万元)，y＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8(万元)，故a^＝8－0.76×10＝0.4.所以回归直线方程为y ^＝0.76x ＋0.4，社区一户年收入为15万元家庭年支出为y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)，故选B ．[方法点拨] 1.要熟记用最小二乘法求回归直线的方程的系数公式．设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x －)(y i－y －)∑i ＝1n(x i－x －)2＝∑i ＝1nx i y i－n x －y －∑i ＝1nx 2i－n x －2a ^＝y －－b ^x－.2．回归直线一定经过样本的中心点(x －，y －)，据此性质可以解决有关的计算问题．4．(文)(2015·安徽理，6)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32[答案] C[解析] 考查样本的方差与标准差的应用．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为D (X )，则D (X )＝8，即方差D(X)＝64，而数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差D(2X－1)＝22D(X)＝22×64，所以其标准差为22×64＝16.故选C．(理)等差数列x1，x2，x3，…，x9的公差为1，若以上述数据x1，x2，x3，…，x9为样本，则此样本的方差为( )A．203B．103C．60 D．30[答案] A[解析]令等差数列为1,2,3，…，9，则样本的平均值x＝5，∴S2＝19[(1－5)2＋(2－5)2＋…＋(9－5)2]＝609＝203.[方法点拨] 平均数与方差样本数据的平均数x－＝1n(x1＋x2＋…＋x n)．方差s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(x n－x－)2]．注意：(1)现实中总体所包含的个体数往往较多，总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的，所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差．(2)平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散(波动)程度越大，越不稳定．5．(文)(2015·河北邯郸市一模)某班的一次数学考试后，按学号统计前20名同学的考试成绩如茎叶图所示，则该样本数据的中位数为( )A．74.5 B．75 C．75.5 D．76 [答案] C[解析]中位数为75＋762＝75.5.(理)(2015·河南省高考适应性测试)某中学为了检验1000名在校高三学生对函数模块掌握的情况，进行了一次测试，并把成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，则考试成绩的众数大约为( )A．55 B．65C．75 D．85[答案] C[解析]最高小矩形中点的横坐标75为众数．[方法点拨] 1.茎叶图当数据有两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图．当数据有三位有效数字，前两位相对比较集中时，常以前两位为茎，第三位(个位)为叶(其余类推)．2．样本的数字特征(1)众数在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据(或出现次数最多的那个数据)．(2)中位数样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取当中两个数据的平均数作为中位数．3．求中位数、平均数、方差主要依据公式进行计算．4．在频率分布直方图中，平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点横坐标之和；在中位数的估计值两侧直方图的面积相等；最高小矩形中点对应数据为这组数据的众数．6．(文)在样本频率分布直方图中，共有五个小长方形，这五个小长方形的面积由小到大成等差数列{a n}．已知a2＝2a1，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为( )A ．100B ．120C ．150D ． 200[答案] A[解析] 设公差为d ，则a 1＋d ＝2a 1，∴a 1＝d ，∴d ＋2d ＋3d ＋4d ＋5d ＝1，∴d ＝115，∴面积最大的一组的频率等于115×5＝13.∴小长方形面积最大的一组的频数为300×13＝100.(理)某电视传媒公司为了了解某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该类体育节目时间的频率分布直方图，其中收看时间分组区间是：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]．将日均收看该类体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，则图中x 的值为( )A ．0.01B ．0.02C ．0.03D ．0.04[答案] A[解析]由题设可知(0.005＋x＋0.012＋0.020＋0.025＋0.028)×10＝1，解得x＝0.01，选A．[方法点拨] 1.在频率分布直方图中：①各小矩形的面积表示相应各组的频率，各小矩形的高＝频率；②各小矩形面积之和等于1；③中位数左右两侧的直方图组距面积相等，因此可以估计其近似值．2．准确理解给出图表及已知条件中数据的含义是解决统计问题的关键．7．(文)(2015·湖北文，4)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是( )A．x与y正相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关[答案] C[解析]因为变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，其中－0.1<0，所以x与y成负相关；又因为变量y与z正相关，不妨设z＝ky＋b(k>0)，则将y＝－0.1x＋1代入即可得到：z＝k(－0.1x＋1)＋b＝－0.1kx＋(k＋b)，所以－0.1k<0，所以x与z负相关，综上可知，应选C．(理)(2015·新课标Ⅱ理，3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关[答案] D[解析]考查正、负相关及对柱形图的理解．由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D．8．(文)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集数据如下：零件数x(个) 10 20 30 40 50 60 70 80加工时间62 68 75 81 89 95 102 108y(min)设回归方程为y＝bx＋a，则点(a，b)在直线x＋45y－10＝0的( )A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方[答案] C[解析]∵x－＝45，y－＝85，∴a＋45b＝85，∴a＋45b－10>0，故点(a，b)在直线x＋45y－10＝0的右上方，故选C．(理)(2014·沈阳市质检)某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参加笔试，再按笔试成绩择优选出100人参加面试．现随机调查了24名笔试者的成绩，如下表所示：分数[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) 段人数 2 3 4 9 5 1据此估计允许参加面试的分数线大约是( )A．75 B．80C．85 D．90[答案] B[解析]由题可知，在24名笔试者中应选出6人参加面试．由表可得面试分数线大约为80.故选B．二、填空题9．10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是10,12,14,14,14,15,15,16,16,17，设这10个数的中位数为a ，众数为b ，则a －b ＝________.[答案] 0.5[解析] 从数据中可以看出，众数b ＝14，且中位数a ＝14＋152＝14.5， ∴a －b ＝14.5－14＝0.5.10．(文)为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中从左到右前三个小组频率之比为123，第二小组频数为12，若全校男、女生比例为32，则全校抽取学生数为________．[答案] 80[解析] 第四小组和第五小组的频率之和是5×(0.0125＋0.0375)＝0.25，故前三个小组的频率之和是0.75，则第二小组的频率是0.25，则抽取的男生人数是12÷0.25＝48人，抽取的女生人数是48×23＝32人，全校共抽取80人． (理)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．[答案] 10[解析] 设5个班级中参加的人数分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 55＝7， (x 1－7)2＋(x 2－7)2＋(x 3－7)2＋(x 4－7)2＋(x 5－7)25＝4，即5个整数平方和为20，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5这5个数中最大数比7大，但不能超过10，因此最大为10，平方和20＝0＋1＋1＋9＋9＝(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(10－7)2＋(4－7)2.因此参加的人数为4,6,7,8,10，故最大值为10，最小值为4.三、解答题11．(文)(2015·山西太原市模拟)某网络广告A 公司计划从甲、乙两个网站选择一个网站拓展广告业务，为此A 公司随机抽取了甲、乙两个网站某月中10天的日访问量n(单位：万次)，整理后得到如下茎叶图，已知A 公司要从网站日访问量的平均值和稳定性两方面进行考量选择．(1)请说明A公司应选择哪个网站；(2)现将抽取的样本分布近似看作总体分布，A公司根据所选网站的日访问量n进行付费，其付费标准如下：选定网站的日访问量n(单位：万次) A公司的付费标准(单位：元/日)n<25 50025≤n≤35 700n>35 1000求A公司每月(按30天计)应付给选定网站的费用S.[解析](1)由茎叶图可知x甲＝(15＋24＋28＋25＋30＋36＋30＋32＋35＋45)÷10＝30，S2甲＝110×[(15－30)2＋(24－30)2＋(28－30)2＋(25－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(30－30)2＋(32－30)2＋(35－30)2＋(45－30)2]＝58.x乙＝(18＋25＋22＋24＋32＋38＋30＋36＋35＋40)÷10＝30，S2乙＝110×[(18－30)2＋(25－30)2＋(22－30)2＋(24－30)2＋(32－30)2＋(38－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(35－30)2＋(40－30)2]＝49.8∵x甲＝x乙，S2甲>S2乙，∴A公司应选择乙网站；(2)由(1)得A公司应选择乙网站，由题意可知乙网站日访问量n<25的概率为0.3，日访问量25≤n≤35的概率为0.4，日访问量n>35的概率为0.3，∴A公司每月应付给乙网站的费用S＝30×(500×0.3＋700×0.4＋1000×0.3)＝21900元．(理)(2015·郑州市质检)最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：赞成改革不赞成改革无所谓教师120 y 40 学生x z 130在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z＝2y.(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名教师被选出的概率．[解析](1) 由题意x500＝0.3，∴x＝150，所以y＋z＝60，因为z＝2y，所以y＝20，z＝40，则应抽取教师人数50 500×20＝2，应抽取学生人数50500×40＝4.(2)解法1：所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出三人的不同选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种，至少有一名教师的选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)共16种，至少有一名教师被选出的概率p＝1620＝45.解法2：抽取的“不赞成改革”的人中，教师2人，学生4人共6人，从中任取3人，有C36种取法，其中至少有一名教师的取法有C36－C34种，故所求概率P＝C36－C34C36＝45.12．(文)某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0,2)，第二组[2,4)，第三组[4,6)，第四组[6,8)，第五组[8,10]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)分别求第三，四，五组的频率；(2)该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取了6个产品作为下个月团购的特惠产品，某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，求他抽到的两个产品均来自第三组的概率．[解析](1)第三组的频率是0.150×2＝0.3；第四组的频率是0.100×2＝0.2；第五组的频率是0.050×2＝0.1(2)设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A，由题意可知，从第三、四、五组中分别抽取3个，2个，1个．不妨设第三组抽到的是A1，A2，A3；第四组抽到的是B1，B2；第五组抽到的是C1，所含基本事件总数为：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，C1}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，C1}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，C1}，{B1，B2}，{B1，C1}，{B2，C1}所以P(A)＝315＝15.(理)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲82 81 79 78 95 88 93 84乙92 95 80 75 83 80 90 85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；(3)若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．[解析](1)作出茎叶图如下：甲乙9 8 7 58 4 21 80 0 355 3 9 0 2 5 (2)派甲参赛比较合适，理由如下：x－甲＝18(70×2＋80×4＋90×2＋8＋9＋1＋2＋4＋8＋3＋5)＝85x－乙＝18(70×1＋80×4＋90×3＋5＋0＋0＋3＋5＋0＋2＋5)＝85.S2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5S2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41∵x－甲＝x－乙，S2甲<S2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分：如：从统计的角度看，甲获得85分以上(含85分)的概率P1＝38乙获得85分以上(含85分)的概率为P2＝48＝12∵P 2>P 1，∴派乙参赛比较合适．(3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A ，则P(A)＝68＝34，随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3 P 16496427642764E(ξ)＝0×164＋1×964＋2×2764＋3×2764＝94.(或E(ξ)＝np ＝3×34＝94)13．(文)(2015·邯郸市一模)某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动，他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式，教师主讲的为A 模式，少数学生参与的为B 模式，多数学生参与的为C 模式，A 、B 、C 三类课的节数比例为321.(1)为便于研究分析，教育专家将A 模式称为传统课堂模式，B 、C 统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表(单位：节)高效 非高效 总计 新课堂模603090式传统课堂模式40 50 90总计100 80 180请根据统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．(2)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出12节课作为样本进行研究，并从样本中的B模式和C模式课堂中随机抽取2节课，求至少有一节课为C模式课堂的概率．参考临界值有：P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.0250.010.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.[解析](1)由列联表中的统计数据计算随机变量K2的观测值为：∵K2＝180(60×50－40×30)2(60＋40)(30＋50)(60＋30)(40＋50)＝9>6.635 由临界值表P(k2≥6.635)≈0.010，∴有99%的把握认为课堂效率与教学模式有关．(2)样本中的B模式课堂和C模式课堂分别是4节和2节．分别记为B1、B2、B3、B4、C1、C2，从中取出2节课共有15种情况：(C1，B1)，(C1，B2)，(C1，B3)，(C1，B4)，(C2，B1)，(C2，B2)，(C2，B3)，(C2，B4)，(C1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)至少有一节课为C模式课堂的事件为(C1，B1)，(C1，B2)，(C1，B3)，(C1，B4)，(C2，B1)，(C2，B2)，(C2，B3)，(C2，B4)，(C1，C2)共9种∴至少有一节课为C模式课堂的概率为915＝3 5.(理)(2015·辽宁葫芦岛市一模)为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1 000名学生(其中走读生450名，住宿生550名)中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组①[0,30)，②[30,60)，③[60,90)，④[90,120)，⑤[120,150)，⑥[150,180)，⑦[180,210)，⑧[210,240]，得到频率分布直方图如图．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．(1)求n的值并补全频率分布直方图；(2)如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：利用时间充分利用时间不充分总计走读生住宿生10总计据此资料，你是否有95%的把握认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？(3)若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望．参考公式：K2＝n(n11n22－n12n21)2 n1＋n2＋n＋1n＋2[解析] (1)设第i 组的频率为P i (i ＝1,2，…，8)，由图可知：P 1＝11500×30＝2100， P 2＝11000×30＝3100∴学习时间少于60分钟的频率为P 1＋P 2＝120由题意：n ×120＝5，∴n ＝100.又P 3＝1375×30＝8100， P 5＝1100×30＝30100，P 6＝1120×30＝25100，P 7＝1200×30＝15100， P 8＝1600×30＝5100， ∴P 4＝1－(P 1＋P 2＋P 3＋P 5＋P 6＋P 7＋P 8)＝325.∴第④组的高度为：h ＝325×130＝1250频率分布直方图如图：(注：未标明高度1/250扣1分)(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，“住宿生”有55人，其中“住宿生”中利用时间不充分的有10人，从而走读生中利用时间不充分的有25－10＝15人，利用时间充分的有45－15＝30人，由此可得2×2列联表如下：利用时间充分利用时间不充分总计走读生30 15 45住宿生45 10 55总计75 25 100 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2＝n(n11n22－n12n21)2n1＋n2＋n＋1n＋2＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030因为3.030<3.841，所以没有95%的把握认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关(3)由(1)知：第①组2人，第②组3人，第⑧组5人，总计10人，则X的所有可能取值为0,1,2,3P(X＝i)＝C i5C3－i5C310(i＝0,1,2,3)∴P(X＝0)＝C05C35C310＝10120＝112，P(X＝1)＝C15C25C310＝50120＝512，P(X＝2)＝C25C15C310＝50120＝512，P(X＝3)＝C35C05C310＝10120＝112∴X的分布列为：X 0 1 2 3 P 112512512112∴E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝1812＝32(或由超几何分布的期望计算公式EX ＝n ×M N ＝3×510＝32)14．为加强中学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，郑州市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛．某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解成绩情况，从中选取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：分组 频数 频率一60.5～70.5 a0.26二 70.5～80.5 15 c三 80.5～90.5 18 0.36四 90.5～100.5 b d 合50e计(1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000,001,002，…，199，试写出第二组第一位学生的编号；(2)求出a、b、c、d、e的值(直接写出结果)，并作出频率分布直方图；(3)若成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人．[解析](1)004(2)a，b，c，d，e的值分别为13,4,0.30,0.08,1.频率分布直方图如下：(3)由样本中成绩在80.5～90.5的频数为18，成绩在90.5～100.5的频数为4，可估计成绩在85.5～95.5的人数为11人，故获得二等奖的学生约为20050×11＝44人．。
2020高考数学二轮复习专题突破练20统计与统计案例理
专题突破练20 统计与统计案例1.(2019四川成都二模,理18)为了让税收政策更好地为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后,发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》,明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等费用,并公布了相应的定额扣除标准,决定自2019年1月1日起施行.某企业为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系,通过问卷调查,整理数据得如下2×2列联表:(1)根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关?(2)为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟按员工贡献积分x (单位:分)给予相应的住房补贴y (单位:元),现有两种补贴方案,方案甲:y=1 000+700x ;方案乙:y={3000,0<x ≤5,5600,5<x ≤10,9000,x >10.已知这8名员工的贡献积分为2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A 类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,求恰好抽到3名“A 类员工”的概率.附:K 2=x (xx -xx )2(x +x )(x +x )(x +x )(x +x ),其中n=a+b+c+d. 参考数据:2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①;x^=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y^=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.3.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:旧养殖法新养殖法(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01). 附:K 2=x (xx -xx )2(x +x )(x +x )(x +x )(x +x ).4.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:经计算得x =116∑x =116x i =9.97,s=√116∑i =116(x x -x )2=√116(∑x =116x x 2-16x 2)≈0.212,√∑x =116(x -8.5)2≈18.439,∑x =116(x i -x )(i-8.5)=-2.78,其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸,i=1,2, (16)(1)求(x i ,i )(i=1,2,…,16)的相关系数r ,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(x -3s ,x +3s )之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?②在(x -3s ,x +3s )之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附:样本(x i ,y i )(i=1,2,…,n )的相关系数r=∑x =1x(x x -x )(x x -x )√x =1xx -x )√x =1x x -x )√0.008≈0.09.5.(2019山东实验等四校联考,理19)随着科技的发展,网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式,为了了解网购在我市的普及情况,某调查机构进行了有关网购的调查问卷,并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析,从而得到下表(单位:人).(1)完成上表,并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关?(2)①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人,再从这10人中随机选取3人赠送优惠券,求选取的3人中至少有2人经常网购的概率;②将频率视为概率,从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常网购的人数为X,求随机变量X的数学期望和方差.参考公式:K2=x(xx-xx)2(x+x)(c+c)(c+c)(c+c),n=a+b+c+d.6.随着食品安全问题逐渐引起人们的重视,有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎,同时生产—运输—销售一体化的直销供应模式,不仅减少了成本,而且减去了蔬菜的二次污染等问题.(1)在有机蔬菜的种植过程中,有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系,每个有机蔬菜大棚产量的增加量y (百斤)与使用堆沤肥料x (千克)之间对应数据如下表:依据表中的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程c ^=b ^x+c ^;并根据所求线性回归方程,估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克,则每个有机蔬菜大棚产量增加量y 是多少百斤?(2)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客,如果当天前8小时卖不完,则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验,当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再进货).该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位:份),制成如下表格(注:x ,y ∈N *,且x+y=30):若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率,该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据,当购进17份比购进18份的利润的期望值大时,求x 的取值范围.附:c ^=∑i =1n(c c -c )(c c -c )∑c =1c(c c -c )2=∑c =1cc c c c -ccc∑c =1cc c 2-cc2,c ^=c −c ^c .7.(2019陕西第二次质检,理18)某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况,对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计,并根据得到的数据绘制了相应的折线图,如图所示.(1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月利润y (单位:百万元)与月份代码x 之间的关系,求y 关于x 的线性回归方程,并预测该公司2019年3月份的利润;(2)甲公司新研制了一款产品,需要采购一批新型材料,现有采购成本分别为10万元/包和12万元/包的A ,B 两种型号的新型材料可供选择,按规定每种新型材料最多可使用4个月,但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同,现对A ,B 两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试,得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表:经甲公司测算,平均每包新型材料每月可以带来5万元收入,不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每包新型材料的使用寿命都是整数月,且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率,如果你是甲公司的负责人,以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款新型材料?参考数据:∑c =16y i =96,∑i =16x i y i =371.附:c ^=∑c =1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n(x i -x )2=∑i=1nx i y i -nxy ∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y −b ^x .8.(2019山东青岛二模,理20)“爱国,是人世间最深层、最持久的情感,是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中,爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入x (亿元)与科技改造直接收益y (亿元)的数据统计如下:当0<x ≤17时,建立了y 与x 的两个回归模型:模型①:y ^=4.1x+11.8;模型②:y ^=21.3√x -14.4;当x>17时,确定y 与x 满足的线性回归方程为:y ^=-0.7x+a ^.(1)根据下列表格中的数据,比较当0<x ≤17时模型①、②的相关指数R 2,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.附:刻画回归效果的相关指数R 2=1-∑i=1n(y i -y ^i )2∑i=1n(y i -y )2,√17≈4.1.(2)为鼓励科技创新,当科技改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小;(附:用最小二乘法求线性回归方程y ^=b ^x+a ^的系数公式b ^=∑i=1nx i y i -nx ·y∑i=1nx i2-nx 2=∑i=1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n(x i -x )2;a ^=y −b ^x )(3)科技改造后,“东方红”款汽车发动机的热效率X 大幅提高,X 服从正态分布N (0.52,0.012),公司对科技改造团队的奖励方案如下:若发动机的热效率不超过50%,不予奖励;若发动机的热效率超过50%但不超过53%,每台发动机奖励2万元;若发动机的热效率超过53%,每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望. (附:随机变量ξ服从正态分布N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 6,P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4.)参考答案专题突破练20 统计与统计案例1.解(1)根据列联表可以求得K 2的观测值:k=80(25×30-10×15)235×45×40×40=807≈11.429>6.635,故有99%的把握认为满意程度与年龄有关.(2)据题意,该8名员工的贡献积分及按甲乙两种方案所获补贴情况为:由表可知,“A 类员工”有5名,设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,恰好抽到3名“A 类员工”的概率为P ,则P=C 53C 31C 84=37.2.解(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^=-30.4+13.5×19=226.1(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^=99+17.5×9=256.5(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t 上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可)3.解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66=0.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K2=200×(62×66-34×38)2100×100×96×104≈15.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5, 箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+0.5-0.340.068≈52.35(kg).4.解(1)由样本数据得(x i,i)(i=1,2,…,16)的相关系数为r=∑i=116(x i -x)(i -8.5)√∑i =1(x i -x )2√∑i=1(i -8.5)2=0.212×16×18.439≈-0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.(2)①由于x =9.97,s ≈0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x -3s ,x +3s )以外,因此需对当天的生产过程进行检查.②剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为115(16×9.97-9.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.∑i=116x i 2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为115(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为√0.008≈0.09. 5.解(1)k 2=200×(50×30-50×70)2120×80×100×100=253≈8.333>6.635,故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关.(2)①由题意,所抽取的10名女市民中,经常网购的有10×70100=7人, 偶尔或不用网购的有10-7=3人,所以选取的3人中至少有2人经常网购的概率P=C 72C 31+C 73C 103=4960.②由2×2列联表可知,抽到经常网购的市民频率为120200=0.6.将频率视为概率,从我市所有参与调查的市民中随机抽取1人,恰好抽到经常网购市民的概率为0.6.由题意X~B (10,0.6),E (X )=10×0.6=6,D (X )=10×0.6×(1-0.6)=2.4.6.解(1)x =2+4+5+6+85=5,y =3+4+4+4+55=4.∑i=15x i y i =2×3+4×4+5×4+6×4+8×5=106,∑i =15x i 2=22+42+52+62+82=145,b ^=106-5×5×4145-5×52=0.3,a ^=y −b ^x =4-0.3×5=2.5,所以y 关于x 的线性回归方程为y ^=0.3x+2.5.当x=10时,y ^=0.3×10+2.5=5.5百斤,所以如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克,估计每个有机蔬菜大棚产量的增加量y 是5.5百斤.(2)若该超市一天购进17份这种有机蔬菜,Y 1表示当天的利润(单位:元),那么Y 1的分布列为Y 1的数学期望是E (Y 1)=65×10100+75×x100+85×90-x 100=8300-10x 100;若该超市一天购进18份这种有机蔬菜,Y 2表示当天的利润(单位:元),那么Y 2的分布列为Y 2的数学期望是E (Y 2)=60×10100+70×x100+80×16100+90×74-x 100=8540-20x 100;又购进17份比购进18份的利润的期望值大,故8300-10x 100>8540-20x 100,求得x>24,故x 的取值范围是(24,30),x ∈N *.7.解(1)由折线图可知统计数据(x i ,y i )共6组,即(1,11),(2,13),(3,16),(4,15),(5,20),(6,21),计算可得x =16(1+2+3+4+5+6)=3.5,y =16∑i=16y i =16×96=16,∑i =1nx i 2-n x 2=12+22+32+42+52+62-6×3.52=17.5.故b ^=371-6×3.5×1617.5=2,故a ^=y −b ^x =16-2×3.5=9,∴x 关于y 的线性回归方程为y ^=2x+9,故x=11时,则y ^=2×11+9=31,即预测公司2019年3月份(即x=11时)的利润为31百万元.(2)由频率估计概率,A 型材料可使用1个月,2个月,3个月、4个月的概率分别为0.2,0.35,0.35,0.1,∴A 型材料利润的数学期望为(5-10)×0.2+(10-10)×0.35+(15-10)×0.35+(20-10)×0.1=1.75万元;B 型材料可使用1个月,2个月,3个月、4个月的概率分别为0.1,0.3,0.4,0.2,∴B 型材料利润的数学期望为(5-12)×0.1+(10-12)×0.3+(15-12)×0.4+(20-12)×0.2=1.50万元; ∵1.75>1.50,∴应该采购A 型材料.8.解(1)由表格中的数据,有182.4>79.2,即182.4∑i=17(y i -y )2>79.2∑i =17(y i -y )2,所以模型①的R 2小于模型②,说明回归模型②刻画的拟合效果更好.所以当x=17亿元时,科技改造直接收益的预测值为y ^=21.3×√17-14.4≈21.3×4.1-14.4=72.93(亿元).(2)由已知可得:x -20=1+2+3+4+55=3,所以x =23,y -60=8.5+8+7.5+6+65=7.2,所以y =67.2.所以a ^=y +0.7x =67.2+0.7×23=83.3.所以当x>17亿元时,y 与x 满足的线性回归方程为:y ^=-0.7x+83.3. 所以当x=20亿元时,科技改造直接收益的预测值y ^=-0.7×20+83.3=69.3, 所以当x=20亿元时,实际收益的预测值为69.3+10=79.3亿元>72.93亿元,所以科技改造投入20亿元时,公司的实际收益的更大.(3)因为P (0.52-0.02<X<0.52+0.02)=0.954 4,所以P (X>0.50)=1+0.95442=0.977 2,P (X ≤0.50)=1-0.95442=0.022 8.因为P (0.52-0.01<X<0.52+0.01)=0.682 6,所以P (X>0.53)=1-0.68262=0.158 7,所以P (0.50<X ≤0.53)=0.977 2-0.1587=0.818 5.设每台发动机获得的奖励为Y (万元),则Y 的分布列为:所以每台发动机获得奖励的数学期望为E (Y )=0×0.0228+2×0.8185+5×0.1587=2.4305(万元).。
【课堂新坐标】高考数学二轮热点专题突破讲练 第二十讲 统计、统计案例 理(含解析)
第二十讲统计、统计案例1．(抽样方法)(2013·湖南高考)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【解析】由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．【答案】 D2．(茎叶图)(2013·重庆高考)以下茎叶图6－3－1记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分).已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为( ) A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8【解析】 由于甲组数据的中位数为15＝10＋x ，∴x ＝5. 又乙组数据的平均数为9＋15＋＋y ＋18＋245＝16.8，∴y ＝8.∴x ，y 的值分别为5,8. 【答案】 C3．(回归分析)(2013·湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④【解析】 由正负相关性的定义知①④一定不正确． 【答案】 D4．(样本估计总体)(2013·辽宁高考)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )图6－3－2A ．45B ．50C ．55D ．60【解析】 根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以该班的学生人数是150.3＝50.【答案】 B5．(独立性检验)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2根据表中数据，得到k ＝－223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为_____．【解析】 ∵k ≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.【答案】 5%(1)(2012·山东高考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( )A ．7B ．9C ．10D ．15(2)一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．【思路点拨】(1)确定抽样间隔→确定抽样号码→借助等差数列求做问卷B 的人数(2)确定女运动员的人数→按比例抽取【自主解答】 (1)由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为96032＝30，抽取的号码依次为9,39,69， (939)落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人．(2)依题意，女运动员有98－56＝42(人)．设应抽取女运动员x 人，根据分层抽样特点，得x42＝2898，解得x＝12.【答案】(1)C (2)121．理解三种抽样方法的特征，根据适用范围选择抽样方法进行计算．2．三种抽样方法的异同点变式训练1 (1)(2013·陕西高考)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A．11 B．12 C．13 D．14(2)(2013·合肥模拟)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图6－3－3)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，按下图横轴表示的月收入情况分成六层，再从这10 000人中用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 000)(元)月收入层中应抽出的人数为________．图6－3－3【解析】 (1)抽样间隔为84042＝20.设在1,2，…，20中抽取号码x 0(x 0∈[1,20])，在[481,720]之间抽取的号码记为20k ＋x 0，则481≤20k ＋x 0≤720，k ∈N *.∴24120≤k ＋x 020≤36.∵x 020∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤120，1，∴k ＝24,25,26，…，35， ∴k 值共有35－24＋1＝12(个)，即所求人数为12.(2)由直方图可知月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×500＝0.25，再由分层抽样的特征得100人中在[2 500，3 000)中应该抽出25人．【答案】 (1)B (2)25(2013·惠州质检)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图6－3－4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．图6－3－4(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．点的横坐标之和即为平均分．(3)求出每个分数段上语文成绩的人数，按比例关系得出相应段上数学成绩的人数，求出数学成绩在[50,90)之外的人数．【自主解答】(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.1．本题在求解过程中，常误认为直方图的高是频率而导致计算错误． 2．在频率分布直方图中估计中位数和平均数的方法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (2)平均数：在频率分布直方图中，平均数等于图中每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．3．平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差描述了一组数据波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定．变式训练 2 (2013·安徽高考)为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图6－3－5.图6－3－5(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x 1，x 2，估计x 1－x 2的值．【解】 (1)设甲校高三年级学生总人数为n .由题意知30n＝0.05，解得n ＝600.样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为1－530＝56.(2)设甲、乙两校样本平均数分别为x ′1，x ′2.根据样本茎叶图可知30(x ′1－x ′2)＝30x ′1－30x ′2＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此x ′1－x ′2＝0.5.故x 1－x 2的估计值为0.5分．(2013·重庆高考)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110xi y i＝184，∑i ＝1100x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．【思路点拨】 (1)求x ，y ，代入求b ^，a ^；得回归直线方程；(2)根据回归方程作出判断与预测．【自主解答】 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1ny i ＝2010＝2， 又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4.故所求线性回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．1．正确理解计算b ^、a ^的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键． 2．回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点中心(x ，y )．3．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．变式训练3 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【解】 (1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又b ^＝－20，所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1 000＝－20(x－8.25)2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：图6－3－6将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望E (X )和方差D (X )．附：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.【思路点拨】 (1)由频率分布直方图分别求“体育迷”的总人数，男“体育迷”的人数，填2×2列联表，计算K 2并作出判断．(2)X 服从二项分布，利用公式求E (X )和D (X )．【自主解答】 (1)由频率分布直方图，“体育迷”的频率是(0.005＋0.020)×10＝0.25.∴“体育迷”观众共有100×0.25＝25人， 因此，男“体育迷”观众有25－10＝15人． 由此可列2×2的列联表如下：将k ＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝－275×25×45×55＝10033≈3.030. ∵3.030＜3.841.∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意知X ～B (3，14)，从而X 的分布列为E (X )＝np ＝3×14＝4，D (X )＝np (1－p )＝3×14×34＝916.1．求解本题的关键是利用频率分布直方图提供的信息列2×2列联表．2．解决独立性检验问题的关键是正确作出2×2列联表，然后利用K 2的计算公式求出其观测值，然后对照临界值，作出结论．3．由于X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，利用二项分布的性质与计算公式简化运算． 变式训练4 (2013·福建高考)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．25周岁以上组25周岁以下组图6－3－7(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K2＝n ad－bc2a ＋b c＋d a＋c b＋d所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)．∴日平均生产件数不足60件的工人有3＋2＝5人．从5人中任取2人有n＝C25＝10种取法．记“至少抽到一名25周岁以下组”为事件A，则A表示“抽到的2人均是25周岁以上组”．∵P(A)＝C2310＝310＝0.3.故P(A)＝1－P(A)＝1－0.3＝0.7.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，因此可列2×2的列联表如下：所以得K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝－260×40×30×70＝2514≈1.79. 因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．从近两年高考命题看，以概率和统计知识为结合点，以生活中的热点问题为背景，较全面的考查了学生用概率统计知识解决实际问题的能力．预测2014年高考仍将以此为载体全面考查学生的应用意识和分析问题的能力．概率与统计交汇问题的求解方法(12分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图6－3－8所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．图6－3－8(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2 人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．【规范解答】(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.3分(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.5分因此ξ可能取0,1,2三个值．P(ξ＝0)＝C29C212＝611，P(ξ＝1)＝C19·C13C212＝922，P(ξ＝2)＝C23C212＝122.9分ξ的分布列为故E(ξ)＝0×611＋1×22＋2×22＝2.12分【阅卷心语】易错提示(1)不能正确运用频率分布直方图求出x的值及有关数据．(2)计算能力差，求错P(ξ＝k)(k＝0,1,2)的概率，导致错误．(3)解题步骤不规范，没有适当的文字说明．防范措施(1)认真审题，根据题目要求，准确从图表中提取信息．(2)正确找出随机变量ξ的取值，并求出取每一个值的概率，提高计算能力．(3)要注意语言叙述的规范性，解题步骤应清楚、正确、完整，不要漏掉必要说明及避免出现严重跳步现象．1．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350分到650分之间的10 000名学生成绩，并根据这10 000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图(如图6－3－9)，则总成绩在[400,500)内共有( )图6－3－9A ．5 000人B ．4 500人C ．3 250人D ．2 500人【解析】 由频率分布直方图可求得a ＝0.005，故[400,500)对应的频率为(0.005＋0.004)×50＝0.45，相应的人数为4 500人．【答案】 B图6－3－102．某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图6－3－10所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．【解】 (1)由茎叶图可知，样本数据为17,19,20,21,25,30，则x ＝16(17＋19＋20＋21＋25＋30)＝22，故样本均值为22.(2)日加工零件个数大于样本均值的工人有2名，故优秀工人的频率为26＝13，该车间12名工人中优秀工人大约有12×13＝4(名)，故该车间约有4名优秀工人．(3)记“恰有1名优秀工人”为事件A ，其包含的基本事件总数为C 14C 18＝32，所有基本事件的总数为C 212＝66，由古典概型概率公式，得P (A )＝3266＝1633.所以恰有1名优秀工人的概率为1633.。
2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版 课件：6.3.1 统计与统计案例
s2=1010
5
∑ ni(yi-y)2
������=1
=1010[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6,
s= 0.029 6=0.02× 74 ≈0.17.
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为
30%,17%.
-14-
企业数 2
24 53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产 值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组 中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附: 74≈8.602.
-13-
考向一 考向二 考向三 考向四
解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的 100 个企业中产值增
数列与函 数的应用, 随机变量 的分布列
概率与 分析、计 数列的 算、证明, 综合 函数思想
2019 全国 2
求某相互独立事件发 概率、独
生的概率
立事件
相互独 分析、判
立事件 断、计算
的概率
全国 3
依据已知条件求频率 分布直方图中的未知 量;求某量频率的平 均值
频率,频率 分布直方 图;平均数
样本估 计总体
6.3 统计与概率大题
年份卷 设问特点 别
全 据散点图选函数
国 模型拟合,求回归 1 方程,求预报值
2015 全 国 2
用茎叶图比较平 均值及分散程度, 求独立事件及互 斥事件的概率
涉及知识点
题目类型 解题思 想方法
整体代
散点图、回归方
2020年高中数学二轮复习 专题能力训练20 概率、统计与统计案例(理数)(全国通用)
专题能力训练20 概率、统计与统计案例一、能力突破训练1.某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A .13B .12C .23D .34答案:B解析:这是几何概型问题,总的基本事件空间如图所示,共40分钟,等车时间不超过10分钟的时间段为7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,故他等车时间不超过10分钟的概率为P=2040=12,故选B .2.已知x 与y 之间的一组数据:已求得关于y 与x 的线性回归方程为y ^=2.1x+0.85,则m 的值为( ) A .1 B .0.85C .0.7D .0.5答案:D解析:由题意,得x =1.5,y =14(m+3+5.5+7)=m+15.54,将(x,y )代入线性回归方程y ^=2.1x+0.85,得m=0.5.3.通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表,由K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )得K 2=50×(20×15-10×5)230×20×25×25≈8.333.参照附表,得到的正确结论是( )A.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“爱好该项运动与性别无关” 答案:A解析:因为8.333>7.879,由表知7.879对应值为0.005,所以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“爱好该项运动与性别有关”,故选A.4.(2018全国Ⅱ,理8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118答案:C解析:不超过30的素数有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10个.其中和为30的有7+23,11+19,13+17共3种情况,故P=3C102=115.5.将甲、乙两个篮球队5场比赛的得分数据整理成茎叶图如图所示,由图可知以下结论正确的是()A.甲队平均得分高于乙队平均得分B.甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C.甲队得分的方差大于乙队得分的方差D.甲、乙两队得分的极差相等答案:C解析:∵x甲=26+28+29+31+315=29;x 乙=28+29+32+31+305=30,x甲<x乙,∴选项A错误;又甲的中位数是29,乙的中位数是30,29<30,∴选项B错误;甲的极差为31-26=5,乙的极差为32-28=4,5≠4,∴选项D错误;故选C. 6.如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)=x2.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.答案:512解析:∵S 阴影=∫ 21(4-x 2)d x=53,S 矩形ABCD =4,∴P=S 阴影S矩形ABCD=512.7.有一个底面圆的半径为1,高为2的圆柱,点O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P ,则点P 到点O 的距离大于1的概率为 . 答案:23解析:设“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ,则A 表示事件“点P 到点O 的距离小于或等于1”.在圆柱内以O 为球心,以1为半径作半球,则半球的体积V 半球=12×4π3×13=2π3,又V 圆柱=π×12×2=2π,由几何概型,P (A )=V 半球V圆柱=13.故所求事件A 的概率P (A )=1-P (A )=1-13=23.8.已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率;先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为 .答案:0.4解析:根据题意,因为1,2,3,4表示下雨,当未来三天恰有一天下雨,就是三个数字xyz 中只有一个数字属于集合{1,2,3,4},这20组数据中有以下8个数据符合题意,分别是925,458,683,257,027,488,730,537,所以其概率为820=0.4.9.PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标,为了了解A 市空气质量情况,从2018年每天的PM2.5的数据中随机抽取40天的数据,其频率分布直方图如图所示.将PM2.5的数据划分成区间[0,100),[100,150),[150,200),[200,250],分别称为一级、二级、三级和四级,统计时用频率估计概率.(1)根据2018年PM2.5的数据估计该市在2019年中空气质量为一级的天数;(2)按照分层抽样的方法,从样本二级、三级、四级中抽取6天的PM2.5数据,再从这6个数据中随机抽取2个,求仅有二级天气的概率.解：(1)由样本空气质量PM 2.5的数据的频率分布直方图可知,其频率分布如下表:由上表可知,如果A市维持现状不变,那么该市2019年的某一天空气质量为一级的概率为0.25,因此在365天中空气质量为一级的天数约有365×0.25≈91(天).(2)在样本中,按照分层抽样的方法抽取6天的PM 2.5数据,则这6个数据中二级、三级、四级天气的数据分别有3个、2个、1个,分别记为A1,A2,A3,B1,B2,C.从这6个数据中随机抽取2个,基本事件为{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,C},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,C},{A3,B1},{A3,B2 },{A3,C},{B1,B2},{B1,C},{B2,C},共15个基本事件,事件E为“仅有二级天气”,包含{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3}共3个基本事件,故所求概率为P(E)=315=15.10.(2018全国Ⅲ,理18)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由.(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表:(3)根据(2)中的列联表,在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为两种生产方式的效率有差异?附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),解：(1)第二种生产方式的效率更高.理由如下:①由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.②由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.③由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.④由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多,关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可. (2)由茎叶图知m=79+812=80.列联表如下:(3)由于K 2=40×(15×15-5×5)220×20×20×20=10>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两种生产方式的效率有差异.11.研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明:该校学生居住地到学校的距离x (单位:千米)和学生花费在上学路上的时间y (单位:分钟)有如下的统计资料:如果统计资料表明y 与x 有线性相关关系,试求:(1)判断y 与x 是否有很强的线性相关性?(相关系数r 的绝对值大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性,精确到0.01) (2)求线性回归方程y ^=b ^x+a ^;(精确到0.01)(3)将y ^<27分钟的时间数据y i ^称为美丽数据,现从这6个时间数据y i ^中任取2个,求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率.参考数据:∑6i=1x i =23.4,∑6i=1y i =175.4,∑6i=1x i y i =764.36,∑6i=1(x i -x )(y i -y )=80.30,∑6i=1(x i -x )2=14.30,∑6i=1(y i -y )2=471.65,√∑6i=1(x i -x )2(y i -y )2=82.13.参考公式:r=∑6i=1(x i -x )(y i -y )√∑i=1(x i -x )2(y i -y )2b ^=∑6i=1(x i -x )(y i -y )∑6i=1(x i -x )2.解：(1)∵r=∑i=1n(x i -x )(y i -y )√∑i=1(x i -x )2(y i -y )2=80.3082.13≈0.98>0.75,∴y 与x 有很强的线性相关性.(2)依题意得x =3.9,y =16∑i=16y i ≈29.23,∑i=16(x i -x )(y i -y )=80.30,∑i=16(x i -x )2=14.30.所以b ^=∑i=1n(x i -x )(y i -y )∑i=1n(x i -x )2=80.3014.30≈5.62.又因为a ^=y −b ^x =29.23-5.62×3.9≈7.31,故线性回归方程为y ^=5.62x+7.31.(3)由(2)可知,当x=3.1时,y ^3=24.732<27,当x=4.3时,y ^4=31.476>27,所以满足y ^<27分钟的美丽数据共有3个,设3个美丽数据为a,b,c,另3个不是美丽数据为A,B,C,则从6个数据中任取2个共有15种情况,即aA,aB,aC,bA,bB,bC,cA,cB,cC,AB,AC,BC,ab,ac,bc,其中,抽取到的数据全部为美丽数据的有3种情况,即ab,ac,bc.所以从这6个数据y i ^中任取2个,抽取的2个数据全部为美丽数据的概率为315=15.二、思维提升训练12.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 答案:A解析:由题图可知2017年8月到9月的月接待游客量在减少,故A 错误.13.某产品在某零售摊位的零售价x (单位:元)与每天的销售量y (单位:个)的统计资料如下表所示:由表可得回归直线方程y ^=b ^x+a ^中的b ^=-4,据此模型预测零售价为15元时,每天的销售量为( )A.51个B.50个C.49个D.48个答案:C解析:由题意知x =17.5,y =39,代入回归直线方程得a ^=109,即得回归直线方程y ^=-4x+109,将x=15代入回归方程,得y ^=-4×15+109=49,故选C .14.从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于7的概率为115,则n=( )A.10B.9C.8D.7答案:A解析:从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数共有C n 2种取法,其中两数之和为7的取法为{1,6},{2,5},{3,4}共3种,故两数之和等于7的概率为3C n2.由3C n2=115,解得n=10.15.从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1,x 2,…,x n ,y 1,y 2,…,y n ,构成n 个数对(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),其中两数的平方和小于1的数对共有m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A .4nm B .2nmC .4m nD .2m n答案:C解析:利用几何概型求解,由题意可知,14S 圆S正方形=14π×1212=m n ,所以π=4m n.16.如图,在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 .答案:2e解析:∵S阴=2∫10(e-e x)d x=2(e x-e x)|1=2,S正方形=e2,∴P=2e.17.记集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M(x,y),则点M落在区域Ω2的概率为.答案:12π解析:作圆O:x2+y2=4,区域Ω1就是圆O内部(含边界),其面积为4π.区域Ω2就是图中△OAB内部(含边界),且S△OAB=12×22=2.由几何概型,点M落在区域Ω2的概率P=S△OABS圆O =12π.18.(2018全国Ⅱ,理18)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y ^=-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解：(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^=99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t 上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可)19.A,B,C 三个班共有100名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):(1)试估计C 班的学生人数;(2)从A 班和C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (3)再从A,B,C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位:小时),这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1,表格中数据的平均数记为μ0,试判断μ0和μ1的大小.(结论不要求证明)解：(1)由题意知,抽出的20名学生中,来自C 班的学生有8名.根据分层抽样方法,C 班的学生人数估计为100×820=40.(2)设事件A i 为“甲是现有样本中A 班的第i 个人”,i=1,2,…,5, 事件C j 为“乙是现有样本中C 班的第j 个人”,j=1,2,…,8. 由题意可知,P (A i )=15,i=1,2,…,5;P (C j )=18,j=1,2,…,8. P (A i C j )=P (A i )P (C j )=15×18=140,i=1,2,...,5,j=1,2, (8)设事件E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=A 1C 1∪A 1C 2∪A 2C 1∪A 2C 2∪A 2C 3∪A 3C 1∪A 3C 2∪A 3C 3∪A 4C 1∪A 4C 2∪A 4C 3∪A 5C 1∪A 5C 2∪A 5C 3∪A 5C 4. 因此P (E )=P (A 1C 1)+P (A 1C 2)+P (A 2C 1)+P (A 2C 2)+P (A 2C 3)+P (A 3C 1)+P (A 3C 2)+P (A 3C 3)+P (A 4C 1)+P (A 4C 2)+P (A 4C 3)+P (A 5C 1)+P (A 5C 2)+P (A 5C 3)+P (A 5C 4)=15×140=38.(3)μ1<μ0.20.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1 000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如下直方图:(1)若直方图中前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1 000名的学生进行了调查,得到如下数据:根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? (3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在1~50名的学生人数为X ,求X 的分布列和数学期望. 附:P (K 2≥k 0)0.100.050.0250.0100.00511k 02.7063.841 5.024 6.635 7.879 K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d.解：(1)设各组的频率为f i (i=1,2,3,4,5,6),由前三组的频数成等比数列,后四组的频数成等差数列,可得前三组的频率成等比数列,后四组的频率成等差数列,则f 1=0.15×0.2=0.03,f 2=0.45×0.2=0.09,f 3=f 22f 1=0.27, 所以由(f 3+f 6)·42=1-(0.03+0.09)得f 6=0.17,所以视力在5.0以下的频率为1-0.17=0.83,故全年级视力在5.0以下的人数约为1 000×0.83=830.(2)K 2的观测值k=100×(41×18-32×9)250×50×73×27=30073≈4.110>3.841.因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.(3)依题意9人中年级名次在1~50名和951~1 000名分别有3人和6人,X 可取0,1,2,3,P (X=0)=C 63C 93=521;P (X=1)=C 62C 31C 93=1528,P (X=2)=C 61C 32C 93=314;P (X=3)=C 33C 93=184.X 的数学期望E (X )=0×521+1×1528+2×314+3×184=1.。
教辅-高考数学大二轮专题复习：概率与统计之统计、统计案例
核心知识回顾
热点考向探究
真题VS押题
专题作业
2．某公司生产 A，B，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2∶3∶
4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，
若样本中 A 种型号的轿车比 B 种型号的轿车少 8 辆，则 n＝( )
A．96
B．72
C．48
D．36
答案 B 解析 由题意，得29n－39n＝－8，∴n＝72.选 B.
中位数为 2 ＝630(分钟)，所以这 8 个月的月平均通话时间的中位数大 小的取值区间为[540，630].故选 D.
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真题VS押题
专题作业
3．(2020·山东省泰安市四模)某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，
所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，
核心知识回顾热点考向探究真题vs押题专题作业42020天津市河北区二模某班同学进行社会实践对2555岁的人群随机抽取n人进行了生活习惯是否符合低碳观念的调查若生活习惯符合低碳观念的称为低碳族否则称为非低碳族得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图则图表中的pa的值分别为核心知识回顾热点考向探究真题vs押题专题作业组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组253012006第二组3035195p第三组354010005第四组4045a04第五组45503003第六组50551503核心知识回顾热点考向探究真题vs押题专题作业a07920b019540c06560d097580答案c核心知识回顾热点考向探究真题vs押题专题作业解析由题意得n1200600451000a100000350460
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高考数学二轮专题训练2-42课时突破统计与概率解答题第2课时概率与统计案例的综合应用课件
组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
男得 分
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4
5
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4
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女得 分
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5
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5
5
5
5
3
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分差 1 1 1 0 -1 0 1 -1 -1 -1 0 2 -1
组号 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
男得 分
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3
4
4
4
4
5
5
第2课时 概率与统计案例的综 合应用
考向一 概率与独立性检验的综合应用 【典例】(2020·新高考全国Ⅰ卷)为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部 门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单 位:μg/m3),得下表:
SO2 PM2.5
[0,35] (35,75] (75,115]
0.10 2.706
0.05 3.841
0.010 6.635
参考公式和数据:
K2=
n（ad bc）2
，
（a b）（c d）（a c）（b d）
0.8 ≈0.894,
0.9 ≈0.949,0.9575≈0.803,43×0.9574≈36,43×43×0.9573≈1.62×103;若
X～N(μ,σ2),有P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈
①存在xi≥3σ;②记满足2σ<xi<3σ的i的个数为k,在服从正态分布N(μ,σ2)的 总体(个体数无穷大)中任意取5个个体,其中落在区间(μ-3σ,μ-2σ)∪ (μ+2σ,μ+3σ)内的个体数大于或等于k的概率为P,P≤0.003. 试问该课题研究小组是否会接受该模型.
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专题突破练20 统计与统计案例1.(2019四川成都二模,理18)为了让税收政策更好地为社会发展服务,国家在修订《中华人民共和国个人所得税法》之后,发布了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》,明确“专项附加扣除”就是子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等费用,并公布了相应的定额扣除标准,决定自2019年1月1日起施行.某企业为了调查内部职员对新个税方案的满意程度与年龄的关系,通过问卷调查,整理数据得如下2×2列联表:(1)根据列联表,能否有99%的把握认为满意程度与年龄有关?(2)为了帮助年龄在40岁以下的未购房的8名员工解决实际困难,该企业拟按员工贡献积分x(单位:分)给予相应的住房补贴y(单位:元),现有两种补贴方案,方案甲:y=1 000+700x;方案乙:y=已知这8名员工的贡献积分为2分,3分,6分,7分,7分,11分,12分,12分,将采用方案甲比采用方案乙获得更多补贴的员工记为“A类员工”.为了解员工对补贴方案的认可度,现从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,求恰好抽到3名“A类员工”的概率.附:K2=-,其中n=a+b+c+d.参考数据:2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为 … 7 建立模型①;=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为 … 7 建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.3.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:旧养殖法新养殖法(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关;(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).附:K2=-.4.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:尺寸经计算得x i=9.97,s=-- ≈0.212,-≈18.439,(x i-)(i-8.5)=-2.78,其中x i为抽取的第i个零件的尺寸,i= … .(1)求(x i,i)(i= … 的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?②在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)--≈0.09.附:样本(x i,y i)(i= … n)的相关系数r=--5.(2019山东实验等四校联考,理19)随着科技的发展,网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式,为了了解网购在我市的普及情况,某调查机构进行了有关网购的调查问卷,并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析,从而得到下表(单位:人).(1)完成上表,并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关?(2)①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人,再从这10人中随机选取3人赠送优惠券,求选取的3人中至少有2人经常网购的概率;②将频率视为概率,从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品,记其中经常网购的人数为X,求随机变量X的数学期望和方差.参考公式:K2=-,n=a+b+c+d.P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k02.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.8286.随着食品安全问题逐渐引起人们的重视,有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎,同时生产—运输—销售一体化的直销供应模式,不仅减少了成本,而且减去了蔬菜的二次污染等问题.(1)在有机蔬菜的种植过程中,有机肥料使用是必不可少的.根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系,每个有机蔬菜大棚产量的增加量y(百斤)与使用堆沤肥料x(千克)之间对应数据如下表:依据表中的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x+;并根据所求线性回归方程,估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克,则每个有机蔬菜大棚产量增加量y是多少百斤?(2)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市.“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客,如果当天前8小时卖不完,则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验,当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再进货).该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位:份),制成如下表格(注:x,y∈N*,且x+y=30):若以100天记录的频率作为每日前8小时销售量发生的概率,该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据,当购进17份比购进18份的利润的期望值大时,求x的取值范围.-----.附:7.(2019陕西第二次质检,理18)某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况,对该公司2018年连续6个月的利润进行了统计,并根据得到的数据绘制了相应的折线图,如图所示. (1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月利润y(单位:百万元)与月份代码x之间的关系,求y关于x的线性回归方程,并预测该公司2019年3月份的利润;(2)甲公司新研制了一款产品,需要采购一批新型材料,现有采购成本分别为10万元/包和12万元/包的A,B两种型号的新型材料可供选择,按规定每种新型材料最多可使用4个月,但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同,现对A,B两种新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试,得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表:经甲公司测算,平均每包新型材料每月可以带来5万元收入,不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每包新型材料的使用寿命都是整数月,且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率,如果你是甲公司的负责人,以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款新型材料?参考数据:y i=96,x i y i=371.-----.附:8.(2019山东青岛二模,理20)“爱国,是人世间最深层、最持久的情感,是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中,爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造,根据市场调研与模拟,得到科技改造投入x(亿元)与科技改造直接收益y(亿元)的数据统计如下:当0<x≤ 7时,建立了y与x的两个回归模型:模型①:=4.1x+11.8;模型②:=21.3-14.4;当x>17时,确定y与x满足的线性回归方程为:=-0.7x+.(1)根据下列表格中的数据,比较当0<x≤ 7时模型①、②的相关指数R2,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.附:刻画回归效果的相关指数R2=1---7≈4.1.(2)为鼓励科技创新,当科技改造的投入不少于20亿元时,国家给予公司补贴收益10亿元,以回归方程为预测依据,比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小;(附:用最小二乘法求线性回归方程x+的系数公式-----)(3)科技改造后,“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高,X服从正态分布N(0.52,0.012),公司对科技改造团队的奖励方案如下:若发动机的热效率不超过50%,不予奖励;若发动机的热效率超过50%但不超过53%,每台发动机奖励2万元;若发动机的热效率超过53%,每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.(附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.954 4.)参考答案专题突破练20统计与统计案例1.解(1)根据列联表可以求得K2的观测值:11.429>6.635,k=-7故有99%的把握认为满意程度与年龄有关.(2)据题意,该8名员工的贡献积分及按甲乙两种方案所获补贴情况为:由表可知 “A类员工”有5名,设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,恰好抽到3名“A类员工”的概率为P,则P=72.解(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由,答出其中任意一种或其他合理理由均可)3.解(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于 kg” C表示事件“新养殖法的箱产量不低于kg”.由题意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的估计值为0.66.因此,事件A的概率估计值为0.62×0.66=0.4092.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K2=-15.705.由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5,箱产量低于55kg的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+-52.35(kg).4.解(1)由样本数据得(x i,i)(i= … 的相关系数为---0.18.r=--由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小. (2)①由于=9.97,s≈ .212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(-3s,+3s)以外,因此需对当天的生产过程进行检查.②剔除离群值,即第13个数据,剩下数据的平均数为(16×9.97-9.22)=10.02,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02=16×0.2122+16×9.972≈ .134,剔除第13个数据,剩下数据的样本方差为(1591.134-9.222-15×10.022 ≈ .008,这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.09.5.解(1)合120 80 200计k2=-7 8.333>6.635,故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关.(2)①由题意,所抽取的10名女市民中,经常网购的有107 =7人,偶尔或不用网购的有10-7=3人,所以选取的3人中至少有2人经常网购的概率P=77②由2×2列联表可知,抽到经常网购的市民频率为=0.6.将频率视为概率,从我市所有参与调查的市民中随机抽取1人,恰好抽到经常网购市民的概率为0.6.由题意X~B(10,0.6),E(X)=10×0.6=6,D(X)=10×0.6×(1-0.6)=2.4.6.解(1)=5,=4.x i y i=2×3+4×4+5×4+6×4+8×5=106,=22+42+52+62+82=145,-=0.3,=4-0.3×5=2.5,-所以y关于x的线性回归方程为=0.3x+2.5.当x=10时,=0.3×10+2.5=5.5百斤,所以如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克,估计每个有机蔬菜大棚产量的增加量y是5.5百斤.(2)若该超市一天购进17份这种有机蔬菜,Y1表示当天的利润(单位:元),那么Y1的分布列为Y1的数学期望是E(Y1)=65+75+85--;若该超市一天购进18份这种有机蔬菜,Y2表示当天的利润(单位:元),那么Y2的分布列为Y2的数学期望是E(Y2)=60+70+80+907 --;又购进17份比购进18份的利润的期望值大,故--,求得x>24,故x的取值范围是(24,30),x∈N*.7.解(1)由折线图可知统计数据(x i,y i)共6组,即(1,11),(2,13),(3,16),(4,15),(5,20),(6,21),计算可得(1+2+3+4+5+6)=3.5,y i=96=16,-n=12+22+32+42+52+62-6×3.52=17.5.故 7 -7=2,故=16-2×3.5=9,∴x关于y的线性回归方程为=2x+9,故x=11时,则=2×11+9=31,即预测公司2019年3月份(即x=11时)的利润为31百万元.(2)由频率估计概率,A型材料可使用1个月,2个月,3个月、4个月的概率分别为0.2,0.35,0.35,0.1,∴A型材料利润的数学期望为(5-10)×0.2+(10-10)×0.35+(15-10)×0.35+(20-10)×0.1=1.75万元;B型材料可使用1个月,2个月,3个月、4个月的概率分别为0.1,0.3,0.4,0.2,∴B型材料利润的数学期望为(5-12)×0.1+(10-12)×0.3+(15-12)×0.4+(20-12)×0.2=1.50万元; ∵1.75>1.50,∴应该采购A型材料.8.解(1)由表格中的数据,有182.4>79.2,即7-77-,所以模型①的R2小于模型②,说明回归模型②刻画的拟合效果更好.所以当x=17亿元时,科技改造直接收益的预测值为=21.3 7-14. ≈ .3×4.1-14.4=72.93(亿元).(2)由已知可得:-20==3,所以=23,-60=7 =7.2,所以=67.2.所以+0.7=67.2+0.7×23=83.3.所以当x>17亿元时,y与x满足的线性回归方程为:=-0.7x+83.3.所以当x=20亿元时,科技改造直接收益的预测值=-0.7×20+83.3=69.3,所以当x=20亿元时,实际收益的预测值为69.3+10=79.3亿元>72.93亿元,所以科技改造投入20亿元时,公司的实际收益的更大.(3)因为P(0.52-0.02<X<0.52+0.02)=0.954 4,所以P(X>0.50)==0.9772,P(X≤ .50)=-=0.022 8.因为P(0.52-0.01<X<0.52+0.01)=0.682 6,所以P(X>0.53)=-=0.158 7,所以P(0.50<X≤ .53)=0.977 2-0.158 7=0.818 5.设每台发动机获得的奖励为Y(万元),则Y的分布列为:所以每台发动机获得奖励的数学期望为E(Y)=0×0.0228+2×0.8185+5×0.1587=2.4305(万元).。