第四节 最大流问题

行流量调整。 （1）找增广链
如vt 的第一个标号为k（或-k），则弧（vk，vt） ∈µ（或弧（vt，vk) ∈µ)。检查vk 的第一个标号，若为i
（或-i），则(vi,vk) ∈µ(或(vk,vi) ∈µ)。再检查vi 的第一 个标号,依此下去,直到vs 。被找出的弧构成了增广链 µ。
15
（2）流量调整
（v3，vt）： f（' v3，vt）= 3+（l vt）= 3+ 2= 5
后向弧 （v1，v2）： f（' v1，v2）= 2-（l vt）= 2- 2= 0
于是调整后流量如下图所示。 25
v1 (5，3)
(3，3)
vs
(6，4)
(2，0) (2，2)
v2
(3，2)
v3
(6，5)
(2,0) vt
第4节 网络最大流问题
例 连接某产品产地vs和销地vt的交通网如下：
v1
4
v3
3
5
vs
1
5
2 1
vt
2
v2
2
v4
弧（vi，vj）：从vi到vj的运输线，
弧旁数字：这条运输线的最大通过能力,
制定一个运输方案，使从vs到vt的产品数量最多。 1
v1
4
v3
弧旁数字：
3
vs
1
5
2
1
5
运输能力。
vt
2
v2
2
l( v4 ) minl( v2 ),( c24 f24 ) min1,1 1,
（5）检查v3，在弧（v3，vt）上，f3t=1， c3t=2，
f3t<c3t， 给vt标号 (3, l(vt)), 这里
l( vt ) minl( v3 ),( c3t f3t ) min1,1 1,
vt得到标号，标号过程结束。
饱和弧：fij =cij 零流弧：fij =0
链的方向：若µ是联结vs和vt的一条链，定义链的方向是从vs到 vt 。
v2
(5 ,2)
v4
(10,5)
(3,2)
(11,6)
v1
(4,1)
(8,3)
(5,1)
(3,3)
v6
(17 ,2)
v3
(6,3)
v5
8
v2
(10,5)
v1
(4,1)
(8,3)
(5,2) (3,2) (5,1)
则称（S*，S*）为G上的最小截，C（S*,S*） 为上的最小截量。
11
性质 任何一个可行流的流量V(f)都不会超过任一截集的容
量。即
V ( f ) C(V1,V1)
可行流f*，截集(V1*，V1*), 若V(f*)=C( V1*，V1*），
则f*必是最大流， (V1*，V1*) 必是D的最小截集。
19
（二）调整过程 ：从vt 开始逆向追踪，找到增广链。
v （-v1,1）
2
(4，3) v4 (v2，1)
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0,∞） vs
(1，1)
(3,0)
vt (v3，1)
(5，1)
(2，1)
µ（vs,v1,v2,v3,vt） =1，
v （vs，1 4）
(2，2)
在µ上进行流量
v2
令调整量是 l(vt)，构造新的可行流 f ′，
令
f
' ij
f ij f ij
f ij
(vi , v j ) u (vi , v j ) u(vi , v j ) u
去掉所有的标号,对新的可行流 f ′={ fij′},重新进 入标号过程。
16
例 用标号法求下图网络的最大流。弧旁的数字是( cij , fij)。
3
(a)图是一个网络
v2
10
v1
4
弧旁数字： 8
容量
v3
v2
弧旁数字： 5
流量 v1
1
3
5
3
5 6
2
2
1
v3
3
v4
11
3
v6
17
v5
v4
6
3
v6
2
v5
4
vi
cij fij
vj
v2
(10,5)
v1
(4,1)
(8,3)
v3
(5 ,2) (3,2) (5,1)
(6,3)
v4
(11,6)
(3,3)
v6
(17 ,2)
(vs ,v j )A
(v j ,vs )A
vt :
ftj
f jt V( f )
(vt ,v j )A
(v j ,vt )A
可行流总是 存在的
如所有fij=0， 零流。
V( f ) 称为可行流 f 的流量,即发点的净输出量。 6
（3）. 最大流 若 V（f *） 为网络可行流，且满足：
V（f *）=Max{V（f ）∣f }为网络D中的任意 一个可行流，则称f *为网络的最大流。
v2
(4，3) v4
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞）vs
(5，1)
(1，1)
(3,0)
vt
(2，1)
（vs，4）v1 (2，2) v3
解：（一）标号过程。
（1）给vs标上（0，∞）； （2）检查vs，在弧（vs，v1）上，fs1=1，cs1=5，
fs1<cs1, 给v1标号(s, l(v1)), 其中
v4
问题：这个运输网络中，从vs到vt的最大输送量是多少？
2
7.4.1最大流的基本概念与定理 （1）. 网络流
网络流 对于网络G=（V，A，C） ，定义在弧集合A上的 一个函数f = {f(vi ,vj)} 称为网络流， f(vi , vj) （简称fij）为弧 aij ∈A上的流。
容量：在有向图上，每条弧上给出的最大通过能力（最大可 能负载）。cij 流量：网络中加在弧上的负载量（实际负载量）。 fij
（3）检查v1，在弧（v2，v1）上，f21>0， 给v2标号
(-1, l(v2)), l( v2 ) minl( v1 ), f 21 min4,1 1,
Fra Baidu bibliotek
在弧（v1，v3）上，f13=2， c13=2，不满足标号条件。 （4）检查v2，在弧（v3，v2）上，f32=1>0， 给v3标号
(-2, l(v3)), 这里 l(v3) min l(v2 ), f32 min 1,1 1, 18
（4）.前向弧与后向弧
设μ=（x,…,u，v,…A）是网络G中的一条初等链并且
定义链的方向是从x到A。若D中有弧（u，v），与μ方向 一致，则称（u，v）为链μ的前向弧，若D中有弧（u，
v），与μ方向相反,则称（v, u），为链μ的后向弧。
7
（5）. 增广链
对可行流 f ={ fij }：
非饱和弧：fij < cij 非零流弧：fij >0
l(vj)=min[l (vi), cij-fij], vj 成为标号而未检查的点。
（2）若弧（vj，vi）上，fji>0，则给vj 标号(-i， l (vj))，
vi
l
(vj)=minv[j l
(vi),
fji],
vj (i
成为标号而未检查的点。
, l(vj)) vi
vj (-i , l(vj))
v3 （v1，2）
(3，3) (2，2)
(6，3)
(0， +∞) vs
(2，2) (2,0) vt （v3，2）
(6，2)
(5，2)
v （vs，4） 2
(3，2)
v（4 v2，1）
在增广链上进行了流量调整。
前向弧（vs，v2）：f（' vs，v2）= 2+（l vt）= 2+ 2= 4 （v1，v3）： f（' v1，v3）= 1+（l vt）= 1+ 2= 3
v5
5
（2）. 可行流
可行流 满足下述条件的流 f 称为可行流: 1)容量限制条件: 对每一弧(vi , vj )∈A 0≤fij ≤cij 2)平衡条件: 对中间点vi (i≠s,t ),有
fij
f ji 0
(vi ,v j )A
(v j ,vi )A
vs :
fsj
f js V( f )
按点的第一个标号，以vt点开始，回溯找到一条增广
链， 如下图红线所示：
23
v （-v2，2） 1 (5，1)
v3 （v1，2）
(3，3) (2，2)
(6，3)
(0， +∞) vs
(2，2) (2,0) vt （v3，2）
(6，2)
(5，2)
v （vs，4） 2
(3，2)
v（4 v2，1）
24
v （-v2，2） 1 (5，1)
定理 若f*是网络G=（V，A，C）上的可行流，则 可行流f*为最大的充要条件为μ中不存在关 于f*的增广链。
最大流最小截量定理。任一个网络D中，从vs 到 vt的最 大流的流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。
12
7.4.2寻求最大流的标号法（Ford—Fulkerson） 从任一个可行流 f 出发（若网络中没有给定 f ，
，vs成为已标号已检查的点，v2成为已标号未检查的点。
（3）检查v2，给v1标号（-v2，l(v1)） l(v1) min4，2 2
。同理给v4标号为（v2，1），v2成为已标号已检查的 点，v1，v4成为已标号未检查的点。
（4）检查v1，给v3标号为（v1，2），v3成为已标号未检 查的点。
（5）检查v3，给vt标号为（ v3 ，2）。 因为vt已被标号，所以说明找到一条增广链。 调整过程
l( v1 ) minl( vs ),( cs1 fs1 ) min ,5 1 4
在弧（vs，v2）上， fs2=cs2=3, 不满足标号条件。17
（-vv21，1） (4，3)
v4
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0，∞） vs
(5，1)
(1，1)
(3,0)
vt
(2，1)
（vvs，1 4） (2，2) （v-v32，1）
µ=
(v1,v2v,v33,v4,v5,v6
(6,3)
)
v4
(11,6)
(3,3)
v6
(17,2)
v5
µ+={(v1,v2) ,(v2,v3), (v3 , v4),(v5,v6)}
µ- ={(v4,v5)}
9
增广 链 设 f 是一个可行流, µ是从vs 到vt 的一条链,若µ满 足下 列条件,称之为关于可行流 f 的一条增广 链。
fij<cij
f ji>0
l(vj)=min[l(vi),cij-fij],
l(vj)=min[l(vi),fji]
14
重复上述步骤，一旦vt被标号，则得到一条vs到vt的 增广链。若所有标号都已检查过，而vt尚未标号，结束， 这时可行流，即最大流。
（二）调整过程 从vt 开始，反向追踪，找出增广链 µ，并在µ上进
v（3 -v2,1） (4，3) v4
(3，3)
(1，0)
(5，3)
=1的调整，得 可行流 f ′ 如右
vs
(5，2)
(1，0)
(3,0)
vt
(2，2)
图所示：
v1 (2，2) v3
20
去掉各点标号，从vs开始，重新标号。
v2
(3，3)
(4，3) (1，0)
v4 (5，3) 点v1：标号过程
（0，∞）vs
则从零流开始），经过标号过程与调整过程。 （一）标号过程
网络中的点标号点已未检检查查 未标号点
13
标号：
开始，vs 标上（0，∞），vs 是标号未检查的点， 其余点都是未标号点，一般地，取一个标号未检查 的点vi ，对一切未标号的点vj 。
（1）若弧（vi，vj）上，fij<cij，则给vj 标号(i，l(vj))，
(5，2)
(1，0)
(3,0)
无法进行，所以
vt
(2，2)
f ′即为最大流。
v（1 vs，(32），2)
v3
V（f ′）=3+2=5
V1=(vs,v1)
V1=(v2,v3,v4, vt)
截集：[V1，V1]=[（vs，v2），（v1，v3）]
V（f ′）=C[V1，V1]=5
问题：(v2,v1)是不是截集[V1，V1]中的弧？
v （-v1,1） 2
(4，3) v4 (v2，1)
(3，3)
(1，1)
(5，3)
（0,∞） vs
(1，1)
(3,0)
vt (v3，1)
(5，1)
(2，1)
v （vs，14） (2，2)
v（3 -v2,1）
在弧（v2，v4）上，f24=3，c24=4，f24<c24, 给v4标号
(2, l(v4)), 其中
则称弧集
(S，S)= a|a=(u,v),u S,v S
为网络G的一个截集，并将截集中所有弧容量之和称为截容量，
即C（S, S）= C（a）为截集 (S,S ) 的截容量（简称为截量）。 a（S, S）
（7）最小截与最小截量
若 （S*，S*）是容量网络中所有截集中截量最小的截集，即
C（S*,S*）= min C（S,S）|（S,S）为网络G的一个截量
(5，2)
v4
21
例 用标号法求下图网络的最大流。弧旁的数字是( cij , fij)。
v1 (5，1)
(3，3)
vs
(2，2) (2，2)
(6，2)
v2
(3，2)
v3
(6，3)
(2,0) vt
(5，2)
v4
22
解： 第一轮
标号过程
（1）vs标（0，+∞），vs为已标号未检查点。
（2）检查vs，给v2标号（vs，l(v2)）l(v2 ) min，6 - 2 4
(vi , vj ) ∈ µ+ 0≤ fij <cij 前向弧是 非饱和弧， (vi , vj ) ∈ µ- 0 < fij ≤ cij 后向弧 是非零流弧，
v1
(8,4)
(6,0)
v2
v3
(6,5)
v4 (3,3) v5
(5,4)
v6
10
（6）. 截集与截量
对于有向网络G=(V,A,C） ，若S为V的子集，S=V - S ，