运筹学第7章 最大流问题(精简)
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最大流问题
基本概念
v2 3
4
v4
5
vs
1
1
3
vt
5
2
v1
2
v3
给定一个有向图G＝(V,E)，其中仅有一个点的入次为零称为发点（源），记为vs， 仅有一个点的出次为零称为收点（汇），记为vt，其余点称为中间点。
对于G中的每一条边(vi,vj)，相应地给一个数cij（cij≥0），称为边(vi,vj)的容量。 我们把这样的网络 G称为容量网络 ，记为G＝(V,E,C)。
v1
v2
vs
v3
vt
v4
边集（vs,v1），（v1,v3），（v2,v3），（v3,vt），（v4,vt）是G的割集。其顶点分 别属于两个互补不相交的点集。去掉这五条边，则图不连通，去掉这五条边中的任意14条，图仍然连通。
割集的容量(简称割量) 最小割集
割集(V1, V2)中所有起点在V1，终点在V2的边的容量的和称为割集容量。例如下图 中所示割集的容量为5
标号过程: (1)给vs标号(,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其余都是未标号点。 (2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj：若有非饱和边(vi,vj)，则vj标 号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非零边 (vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]，vj成为已标号未检查的点。vi成 为已标号已检查的点。 (3)重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点都检查过。若vt成为标号点， 表明得到一条vs到vt的增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查过，表明这时 的可行流就是最大流，算法结束。 调整过程：在增广链上，前向边流量增加l(vt)，后向边流量减少l(vt)。
vs
1,0
5,2
4,1 1,0
v4 5,2
3,1 2,1 vt
vs和收点vt的一条链，
我们规定链的方向是
从vs到vt，则链上的
v1
2,2 v3
边被分成两类：前向
边、后向边。
设f是一个可行流，μ是从vs到vt的一条链，若μ 满足前向边都是非饱和边,后向边都是都是非零 流边,则称μ是（可行流f的）一条可增广链。
下面用实例说明具体的操作方法：例
v2 (4,3) (3,3)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
v1 (2,2)
v4 (5,3)
(3,0) vt (2,1)
v3
在图中给出的可行 流的基础上，求vs 到vt的最大流。
(-vv21,1)(4,3)
(3,3)
(v2,1)
v4 (5,3)
(,+∞)
vs
(5,1)
可行流是指满足如下条件的流：
（1）容量限制条件：对G中每条边(vi,vj), 有
（2）平衡条件：
0 fij cij
对中间点，有：
fij fki
j
k
（即中间点vi的物资输入量等于输出量）
对收点vt与发点vs，有：
fsi f jt W
i
j
（即vs发出的物资总量等于vt接收的物资总量），W是网络的总流量。
对最大流问题有下列定理：
定理1 容量网络中任一可行流的流量 不超过其任一割集的容量。
定理2（最大流-最小割定理）任一容 量网络中，最大流的流量等于最小割集 的割量。
推论1 可行流f*＝{fij*}是最大流，当且 仅当G中不存在关于f*的增广链。
求最大流的标号法
标号法思想是：先找一个可行流。 对于一个可行流，经过标号过程得到 从发点vs到收点vt的增广链；经过调整 过程沿增广链增加可行流的流量，得 新的可行流。重复这一过程，直到可 行流无增广链，得到最大流。
网络上的流，是指定义在边集E上的 函数f＝{f(vi,vj)}，并称f(vi,vj)为边 (vi,vj)上的流量，简记为fij。
v2 3,1
vs
1,0
5,2 v1
4,1 v4
5,2
1,0 3,1
vt
2,1
2,2 v3
标示方式：每条边上标示两个数字，第一个是容量，第二 是流量
可行流、可行流的流量、最大流。
(1,1) (1,1)
(v3,1)
(3,0) vt (2,1)
v1 (2,2)
v3
(vs,4)
(-v2,1)
(3,3) v2 (4,3)
(,+∞)
vs
(1,0) (1,0)
(5,2)
v1 (2,2)
(vs,3)
v4(5,3)
(3,0) vt (2,2)
v3
得增广链，标号结束， 进入调整过程
无增广链，标号结束，得 最大流。同时得最小割。
给定容量网络G＝(V,E,C)，若点集V被剖分
为两个非空集合V1和V2，使 vs∈V1 ，vt∈V2，则 把边集(V1,V2)称为（分离vs和vt的）割集。
v2 3
4
v4
5
vs
1
1
3
vt
5
2
v1
2
v3
显然，若把某一割集的边从网络中去掉，
则从vs到vt便不存在路。所以，直观上说，割集 是从vs到vt的必经之路。
可行流总是存在的，例如f={0}就是一个流量为0的可行流。 所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可行流。 一个流f={fij}，当fij=cij，则称f对边(vi, vj)是饱和的，否则称f对边(vi, vj)不饱和。对于 不饱和的，其间隙为δij=cij-fij 最大流问题实际上是一个线性规划问题。 但利用它与图的密切关系，可以利用图直观简便地求解。
调整后的可行流如下图：
[vv2 s, 1] (4, 3)
(4, 3) [, ∞] vs
(1, 0) (1, 0)
(5, 2)
v1
[vs, 3]
(2, 2)
如图已经得到增广链，然后进行调整。
[v2v,4 1]
(5, 5)
Biblioteka Baidu
v2 3
vs
1
5 v1
4
v4
5
1
3
vt
2
2
v3
在容量网络的所有割集中，割集容量最小的割集称为最小割集（最小割）。
对于可行流f＝{fij}，我们把网络中使fij＝cij的
边称为饱和边，使fij<cij的边称为非饱和边；把
使fij＝0的边称为零流边，使fij>0的边称为非零
流边。
若μ是联结发点
v2 3,1
下图中已经标示出了一个可行流，求最大流
v[2vs, 4] (4, 0)
(4, 0) [, ∞] vs
(1, 0) (1, 0)
(5, 2)
v1
[vs, 3]
(2, 2)
如图已经得到增广链，然后进行调整。
[v2,v44] (3, 2)
(5, 2)
vs
[v4, 3]
(2, 0)
v5
(4, 0)
v3
[-v4, 2]
基本概念
v2 3
4
v4
5
vs
1
1
3
vt
5
2
v1
2
v3
给定一个有向图G＝(V,E)，其中仅有一个点的入次为零称为发点（源），记为vs， 仅有一个点的出次为零称为收点（汇），记为vt，其余点称为中间点。
对于G中的每一条边(vi,vj)，相应地给一个数cij（cij≥0），称为边(vi,vj)的容量。 我们把这样的网络 G称为容量网络 ，记为G＝(V,E,C)。
v1
v2
vs
v3
vt
v4
边集（vs,v1），（v1,v3），（v2,v3），（v3,vt），（v4,vt）是G的割集。其顶点分 别属于两个互补不相交的点集。去掉这五条边，则图不连通，去掉这五条边中的任意14条，图仍然连通。
割集的容量(简称割量) 最小割集
割集(V1, V2)中所有起点在V1，终点在V2的边的容量的和称为割集容量。例如下图 中所示割集的容量为5
标号过程: (1)给vs标号(,+∞)，vs成为已标号未检查的点，其余都是未标号点。 (2)取一个已标号未检查的点vi，对一切未标号点vj：若有非饱和边(vi,vj)，则vj标 号(vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi),cij – fij]，vj成为已标号未检查的点；若有非零边 (vj,vi)，则vj标号(-vi,l(vj))，其中l(vj)＝min[l(vi), fji]，vj成为已标号未检查的点。vi成 为已标号已检查的点。 (3)重复步骤(2)，直到vt成为标号点或所有标号点都检查过。若vt成为标号点， 表明得到一条vs到vt的增广链，转入调整过程；若所有标号点都检查过，表明这时 的可行流就是最大流，算法结束。 调整过程：在增广链上，前向边流量增加l(vt)，后向边流量减少l(vt)。
vs
1,0
5,2
4,1 1,0
v4 5,2
3,1 2,1 vt
vs和收点vt的一条链，
我们规定链的方向是
从vs到vt，则链上的
v1
2,2 v3
边被分成两类：前向
边、后向边。
设f是一个可行流，μ是从vs到vt的一条链，若μ 满足前向边都是非饱和边,后向边都是都是非零 流边,则称μ是（可行流f的）一条可增广链。
下面用实例说明具体的操作方法：例
v2 (4,3) (3,3)
vs (5,1)
(1,1) (1,1)
v1 (2,2)
v4 (5,3)
(3,0) vt (2,1)
v3
在图中给出的可行 流的基础上，求vs 到vt的最大流。
(-vv21,1)(4,3)
(3,3)
(v2,1)
v4 (5,3)
(,+∞)
vs
(5,1)
可行流是指满足如下条件的流：
（1）容量限制条件：对G中每条边(vi,vj), 有
（2）平衡条件：
0 fij cij
对中间点，有：
fij fki
j
k
（即中间点vi的物资输入量等于输出量）
对收点vt与发点vs，有：
fsi f jt W
i
j
（即vs发出的物资总量等于vt接收的物资总量），W是网络的总流量。
对最大流问题有下列定理：
定理1 容量网络中任一可行流的流量 不超过其任一割集的容量。
定理2（最大流-最小割定理）任一容 量网络中，最大流的流量等于最小割集 的割量。
推论1 可行流f*＝{fij*}是最大流，当且 仅当G中不存在关于f*的增广链。
求最大流的标号法
标号法思想是：先找一个可行流。 对于一个可行流，经过标号过程得到 从发点vs到收点vt的增广链；经过调整 过程沿增广链增加可行流的流量，得 新的可行流。重复这一过程，直到可 行流无增广链，得到最大流。
网络上的流，是指定义在边集E上的 函数f＝{f(vi,vj)}，并称f(vi,vj)为边 (vi,vj)上的流量，简记为fij。
v2 3,1
vs
1,0
5,2 v1
4,1 v4
5,2
1,0 3,1
vt
2,1
2,2 v3
标示方式：每条边上标示两个数字，第一个是容量，第二 是流量
可行流、可行流的流量、最大流。
(1,1) (1,1)
(v3,1)
(3,0) vt (2,1)
v1 (2,2)
v3
(vs,4)
(-v2,1)
(3,3) v2 (4,3)
(,+∞)
vs
(1,0) (1,0)
(5,2)
v1 (2,2)
(vs,3)
v4(5,3)
(3,0) vt (2,2)
v3
得增广链，标号结束， 进入调整过程
无增广链，标号结束，得 最大流。同时得最小割。
给定容量网络G＝(V,E,C)，若点集V被剖分
为两个非空集合V1和V2，使 vs∈V1 ，vt∈V2，则 把边集(V1,V2)称为（分离vs和vt的）割集。
v2 3
4
v4
5
vs
1
1
3
vt
5
2
v1
2
v3
显然，若把某一割集的边从网络中去掉，
则从vs到vt便不存在路。所以，直观上说，割集 是从vs到vt的必经之路。
可行流总是存在的，例如f={0}就是一个流量为0的可行流。 所谓最大流问题就是在容量网络中寻找流量最大的可行流。 一个流f={fij}，当fij=cij，则称f对边(vi, vj)是饱和的，否则称f对边(vi, vj)不饱和。对于 不饱和的，其间隙为δij=cij-fij 最大流问题实际上是一个线性规划问题。 但利用它与图的密切关系，可以利用图直观简便地求解。
调整后的可行流如下图：
[vv2 s, 1] (4, 3)
(4, 3) [, ∞] vs
(1, 0) (1, 0)
(5, 2)
v1
[vs, 3]
(2, 2)
如图已经得到增广链，然后进行调整。
[v2v,4 1]
(5, 5)
Biblioteka Baidu
v2 3
vs
1
5 v1
4
v4
5
1
3
vt
2
2
v3
在容量网络的所有割集中，割集容量最小的割集称为最小割集（最小割）。
对于可行流f＝{fij}，我们把网络中使fij＝cij的
边称为饱和边，使fij<cij的边称为非饱和边；把
使fij＝0的边称为零流边，使fij>0的边称为非零
流边。
若μ是联结发点
v2 3,1
下图中已经标示出了一个可行流，求最大流
v[2vs, 4] (4, 0)
(4, 0) [, ∞] vs
(1, 0) (1, 0)
(5, 2)
v1
[vs, 3]
(2, 2)
如图已经得到增广链，然后进行调整。
[v2,v44] (3, 2)
(5, 2)
vs
[v4, 3]
(2, 0)
v5
(4, 0)
v3
[-v4, 2]