浅谈高中数学探索性问题
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２１ ０ １年
第 ３期
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ ｉ ｅ ｅ Ｍａ ｈ ｍａｉ ｓ Ｅ ｕ ａ ｉｎ ｏ ｒ ａ ｆ Ｃｈ ｎ ｓ ｔ ｅ ｔ ｄ ｃ ｔ ｃ ｏ
Ｎ ． ０１ Ｏ３ ２ １
■■■■■～ 二＝竺 ＿
周 琼 （ 南省 昆明 市第十 中学） 云
又 由 得
，
，解
上 ，数列 ｛ 满 足 ：ｂ＋－２ ＋６ ＝０ ∈ ） ６｝ ．２ ｂ Ｎ．，且 ６ ＝１ ， ， １ ｛ 的前 ９项 和 为 １３ ｂ｝ ５．
、
函数 中 的探 索性 问题
例 １ （试题调研》 第 ６ 《 辑数学理科 第 ７ ６页第 ４题） 已知函
数 （ ＝ 十 为 函 ＿１ 厂 ）且 等 ＜ （ ≤辜 ／ ）等 Ｄ 奇 数，（） （ ， 不 式０－ ｘ 厂 （３ ｆ）
作 为 高 考 数 学试 卷 中 出 现 频 率 较 高 的 一 类 题 型 ，在 日常 教
【 评注】解例 ２中的第（ ） ２ 问时，先假 设不等 式成 立，再 利
用 函数 的 单调 性 进 行 求 解 ，从 而 产 生 矛 盾 ，说 明这 样 的 实 数 ｍ 不 存在 ， 问题 得 到 解决 ．利 用这 种 方 法 可 以解 决 很 多类 似 的探 索
注 到 （＝ 则 有 （＝ （ ）３ 得 ＝ 意 － ）０ 必 ／ ）｝４４＝ ， ｎ２ 厂 ， ２ ４ 一 ．
综 上 可知 ，。 ，ｂ＝０ ＝一 ． ＝２ ，Ｃ ４
（） （得 （＝ ）该 数 （。ｏ 及０ ＋） ２由１ ， ） 一 ， 函 在一 ，） （ ） ｆ 。 以 ，
性 问题 ．
二 、数 列 中 的探 索 性 问题
例２ （ 高中数学专项训练 ２０ ０ ８年全 国各地统考试题 汇编第
学中 ，这类试题 如何表述 ？遇到 的时候 如何去分 析 、求解 呢？
下 面 结 合所 涉 及 的知 识 分 类讨 论 ．
一
４题 已 数 ｛｝前 项 为 ， （ ）直 ，１＋ ４ ） 知 列 的 ｎ 和 点ｎ 在 线） ， ＝
函数的有 １ 道题 ，涉及数列 的有 ｌ 道题 ，涉及立体几何 的有 ｌ 道题 ，涉及解析几何 的有 ４ 道题 ；２０ ０ ９年共有 ８道探索 胜试题 ，
涉 及 函数 的有 ２道 题 ，涉 及 数 列 的有 ０道 题 ，涉 及 立 体 几 何 的
所 ．２ｓ ） 域 ［ ， 】 以（＋ｎ的 为一 手． 厂 ｉ 值 一 ５
Ｏ Ｒ成 立？若存 在 ，求 出 ｍ的 取值范 围 ；若不 存在 ，请 说明理 由． ｅ 解 ：（ ） １ 因为 厂 ） 奇 函 数 ，所 以 厂 一 ） ｆ（ ） 定 义域 （ 是 （ ＝－ Ｘ 对
解： １因 点（ 在 线ｙ （ 为 ＼ ｎ）直 ’ １ 。上， ） ｉ ， ＋ ｝ ＝
符 题 的 数 应 足 ｍ ， ｍ＜， 合 设 实 ｍ 满 手一２ 即 ２ ３ ０
故 符合 题 设 的 实数 ｍ 不 存 在 ．
有 ３道 题 ，涉 及解 析 几 何 的有 ３道 题 ；２ １ 共 有 １ 探索 性 ０ ０年 ０道 试 题 ，涉 及 函数 的 有 ０道 题 ，涉 及 数 列 的 有 ２道 题 ，涉 及 立 体 几 何 的有 １ 道题 ，涉 及解 析几 何 的 有 ７道 题 ．由此 可 见 ，探 索 性 试 题 在 高 考 数 学 试 卷 中 的 数 量 呈 逐 年 上 升 趋 势 ，解 析 几 何 探 索 性试 题 相 对来 说 更 受 青 睐．
对 ２ ０ 年 、２ ０ 和 ２ １ 的高 考 数 学 理 科 试 卷 进 行 统 上均 为 增 函数 ． ０８ ０９年 ０ ０年 计 ，探 索性 试 题 考 查 的 内容 涉 及 到 的知 识 点 主要 有 ：函 数 、数 又 因为 一 ３≤ 一 ２＋ｓ ０≤ 一 ， ｉ ｎ １ 列 、立体 几 何 和 解 析 几 何 ．２ ０ 共 有 ７道 探 索 性 试题 ，涉 及 ０ ８年
域 入 手 ，分 门别 类 进 行 简要 分 析 ，指 明解 决 此 类 问题 的 思 路 和
方 法．
此 ， ） ）［ ４ 是 函 ． 时 （＝ 一 在２ ］ 增 数 （ ，上
关键 词 ： 高 中数 学 ； 高考试 卷 ；探 索性 问题 在 高 中数 学 教 学 和 高 考 数 学 试 卷 中 ，我 们 经 常 遇 到 一 些 探 索 性 试题 ，它 在 函数 、数 列 、立 体 几何 、解 析 几何 中常 常 出现 ．
摘 要 ：探 索性 问题是 高中数 学教 学和 高考试誊 中的重要 内
容 和 难 点 之 一 ，通 过 统 计 分 析 近 几年 的 高 考 试 卷 ，结 合 具 体 的
教 学 内客 ，从 函数 、 数 列 、 立体 几 何 、 解 析 几 何 几 个 知 识 领
所
２
再 由／（ ） ，（ ） 得 。 ． １ ＜ ３解 ＞０
所 以
ｎ
百度文库
内一切 都成立，得ｂ ０ 所以厂 ） ． ＝． （ ＝１ｆ＋ 一１
收稿 日期 ：２ １— ０ １ ００ １ — ９
： １ ｎ＋
，
即 Ｓ ：丁 ｎ ＋ １
Ｚ Ｚ
ｎ 得 ％ ：， ． ｚ ＋５
，
Ｚ
作者简介 ：周琼 （９４ ） １７ 一 ，女，云 南金平人 ，中学一级教 师，主要从事高中数学教育教 学研 究工作
的解 集 是 ｛ 一 ≤ 一 或 ２≤ ≤ ４｝ ｌ２≤ １ ． （ ） ０ 、ｃ的值 ； １ 求 、ｂ
（） １ 求数列 ｛ｎ与数列 ｛ 的通项公式 ； ａ｝ ｂ｝
ｃ设ｅ，ｃ＝： ２ ｎ ｎ ｛ ， Ｎ／ ，
在 ，请 说 明理 由．
：是存 ｍ 问否在 ，
ｍ＋１ ） （ 成 立？若存 在 ，求 出 ｍ 的值 ；若不存 ５ ＝ ｍ） （） ２ 是否存在实数 ｍ使不等式 厂 （２＋ ｉ ０ ＜一 一 ｓ ） ｍ ＋丢 ， 使 得／（ ｎ
第 ３期
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周 琼 （ 南省 昆明 市第十 中学） 云
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，
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上 ，数列 ｛ 满 足 ：ｂ＋－２ ＋６ ＝０ ∈ ） ６｝ ．２ ｂ Ｎ．，且 ６ ＝１ ， ， １ ｛ 的前 ９项 和 为 １３ ｂ｝ ５．
、
函数 中 的探 索性 问题
例 １ （试题调研》 第 ６ 《 辑数学理科 第 ７ ６页第 ４题） 已知函
数 （ ＝ 十 为 函 ＿１ 厂 ）且 等 ＜ （ ≤辜 ／ ）等 Ｄ 奇 数，（） （ ， 不 式０－ ｘ 厂 （３ ｆ）
作 为 高 考 数 学试 卷 中 出 现 频 率 较 高 的 一 类 题 型 ，在 日常 教
【 评注】解例 ２中的第（ ） ２ 问时，先假 设不等 式成 立，再 利
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注 到 （＝ 则 有 （＝ （ ）３ 得 ＝ 意 － ）０ 必 ／ ）｝４４＝ ， ｎ２ 厂 ， ２ ４ 一 ．
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二 、数 列 中 的探 索 性 问题
例２ （ 高中数学专项训练 ２０ ０ ８年全 国各地统考试题 汇编第
学中 ，这类试题 如何表述 ？遇到 的时候 如何去分 析 、求解 呢？
下 面 结 合所 涉 及 的知 识 分 类讨 论 ．
一
４题 已 数 ｛｝前 项 为 ， （ ）直 ，１＋ ４ ） 知 列 的 ｎ 和 点ｎ 在 线） ， ＝
函数的有 １ 道题 ，涉及数列 的有 ｌ 道题 ，涉及立体几何 的有 ｌ 道题 ，涉及解析几何 的有 ４ 道题 ；２０ ０ ９年共有 ８道探索 胜试题 ，
涉 及 函数 的有 ２道 题 ，涉 及 数 列 的有 ０道 题 ，涉 及 立 体 几 何 的
所 ．２ｓ ） 域 ［ ， 】 以（＋ｎ的 为一 手． 厂 ｉ 值 一 ５
Ｏ Ｒ成 立？若存 在 ，求 出 ｍ的 取值范 围 ；若不 存在 ，请 说明理 由． ｅ 解 ：（ ） １ 因为 厂 ） 奇 函 数 ，所 以 厂 一 ） ｆ（ ） 定 义域 （ 是 （ ＝－ Ｘ 对
解： １因 点（ 在 线ｙ （ 为 ＼ ｎ）直 ’ １ 。上， ） ｉ ， ＋ ｝ ＝
符 题 的 数 应 足 ｍ ， ｍ＜， 合 设 实 ｍ 满 手一２ 即 ２ ３ ０
故 符合 题 设 的 实数 ｍ 不 存 在 ．
有 ３道 题 ，涉 及解 析 几 何 的有 ３道 题 ；２ １ 共 有 １ 探索 性 ０ ０年 ０道 试 题 ，涉 及 函数 的 有 ０道 题 ，涉 及 数 列 的 有 ２道 题 ，涉 及 立 体 几 何 的有 １ 道题 ，涉 及解 析几 何 的 有 ７道 题 ．由此 可 见 ，探 索 性 试 题 在 高 考 数 学 试 卷 中 的 数 量 呈 逐 年 上 升 趋 势 ，解 析 几 何 探 索 性试 题 相 对来 说 更 受 青 睐．
对 ２ ０ 年 、２ ０ 和 ２ １ 的高 考 数 学 理 科 试 卷 进 行 统 上均 为 增 函数 ． ０８ ０９年 ０ ０年 计 ，探 索性 试 题 考 查 的 内容 涉 及 到 的知 识 点 主要 有 ：函 数 、数 又 因为 一 ３≤ 一 ２＋ｓ ０≤ 一 ， ｉ ｎ １ 列 、立体 几 何 和 解 析 几 何 ．２ ０ 共 有 ７道 探 索 性 试题 ，涉 及 ０ ８年
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方 法．
此 ， ） ）［ ４ 是 函 ． 时 （＝ 一 在２ ］ 增 数 （ ，上
关键 词 ： 高 中数 学 ； 高考试 卷 ；探 索性 问题 在 高 中数 学 教 学 和 高 考 数 学 试 卷 中 ，我 们 经 常 遇 到 一 些 探 索 性 试题 ，它 在 函数 、数 列 、立 体 几何 、解 析 几何 中常 常 出现 ．
摘 要 ：探 索性 问题是 高中数 学教 学和 高考试誊 中的重要 内
容 和 难 点 之 一 ，通 过 统 计 分 析 近 几年 的 高 考 试 卷 ，结 合 具 体 的
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所
２
再 由／（ ） ，（ ） 得 。 ． １ ＜ ３解 ＞０
所 以
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百度文库
内一切 都成立，得ｂ ０ 所以厂 ） ． ＝． （ ＝１ｆ＋ 一１
收稿 日期 ：２ １— ０ １ ００ １ — ９
： １ ｎ＋
，
即 Ｓ ：丁 ｎ ＋ １
Ｚ Ｚ
ｎ 得 ％ ：， ． ｚ ＋５
，
Ｚ
作者简介 ：周琼 （９４ ） １７ 一 ，女，云 南金平人 ，中学一级教 师，主要从事高中数学教育教 学研 究工作
的解 集 是 ｛ 一 ≤ 一 或 ２≤ ≤ ４｝ ｌ２≤ １ ． （ ） ０ 、ｃ的值 ； １ 求 、ｂ
（） １ 求数列 ｛ｎ与数列 ｛ 的通项公式 ； ａ｝ ｂ｝
ｃ设ｅ，ｃ＝： ２ ｎ ｎ ｛ ， Ｎ／ ，
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：是存 ｍ 问否在 ，
ｍ＋１ ） （ 成 立？若存 在 ，求 出 ｍ 的值 ；若不存 ５ ＝ ｍ） （） ２ 是否存在实数 ｍ使不等式 厂 （２＋ ｉ ０ ＜一 一 ｓ ） ｍ ＋丢 ， 使 得／（ ｎ