高一数学 对数函数及其性质
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第二章 基本初等函数
y §2.2.2 对数函数及性质
x
o
恐龙最早 出现在2亿3 千万年前的 三叠纪， 支配全球陆 地生态系超 过1亿6千万 年之久。恐 龙的灭绝年 代为白垩纪 与第三纪之 间的过度时 期，为6595 万年前上下 波动约4万 年
一、创设情境
人们经过长期实践，获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之
点 当底数不相同，真数也不相同时，利用“介值法” 拨 常需引入中间值0或1(各种变形式).
小结：两个对数比较大小
（一）同底数比较大小
1.当底数确定时， 则可由函数的单调性直接进行判断；
2.当底数不确定时，应对底数进行分类讨论。
（二）同真数比较大小 1.通过换底公式； 2.利用函数图象。
（三）若底数、真数都不相同, 则常借 助1、0等中间量进行比较。
-2
x 这两个函 数的图象 有什么关 系呢？
关于x轴对称
探索发现:认真观察
函数 ylogx 2
的图象填写下表
图像特征
图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升 与x轴交点为（1,0） X>1,图像在x轴上方， 0<x<1，图像在x轴下方
y 2
111
42
0 1 23 4
x
-1
-2
(a >0,a 1)
问题一：在定义中为什么要限定a>0,且a≠1?
答：根据对数与指数式的关系，知 y = logax 可化为 a y = x ，由指数的概念，若使 a y = x 恒有意义，必须规定a>0且a≠1.
问题二：为什么对数函数 y=logax(a>0,a1)
的定义域为 ( 0 , ) ？
在(0,+上是增函数
x>1时,y<0
在(0,+上是减函数
例2
小结
四 性质应用
例2 比较下列各组数中两个值的大小
(1) log 25 和 log 27
lo2g5lo2g7
(2) log 0.35 和 log 0.37
lo0.g35lo0.g37
(3) log a5 和 log a7 (a>0且a≠1)
a1 时 lo， a5 gloa7 g0a 1 时 lo a ， 5 g lo a7 g
点 1.当底数相同时,利用对数函数的增减性比较大小. 拨 2.当底数不确定时,要对底数a与1的大小进行分类讨论.
（4）log 2 7 与 log 5 7
解
log2
7
1 log7
2
1 log5 7 log7 5
y
lloogg25
7 7
o
1
0lo72 glo75 g
∴ log 2 7 ＞ log 5 7
ylog2 x y log5 x
7x
点 1.利用对数的运算，取倒数后转化为同底问题. 拨 2.当底数不相同，真数相同时，利用图象判断大小.
（5）log 6 7 log 7 6 log 3 2 log 2 0.8 log 6 7 ＞ log 66 = 1 log 3 2 ＞ log 3 1 =0 log 7 6 ＜ log 7 7 = 1 log 2 0.8 ＜ log 2 1 =0
y
y=log2x
4
3 2
y=log3x
1
O -1
2
4
6
8
10
x
பைடு நூலகம்
-2
y log1 x
-3
3
y log1 x
2
猜想：y = log4x和 y = log 1 x 分别与哪个图像相
似？
4
图象特征
a>1 0<a<1
y
图 （1）完全分布在在y轴
y=logax
右侧；
象1
（2）向上下无限延伸 并
无限向y轴靠近，但永不相
例3.溶液酸碱度的测量．
溶液酸碱度是通过pＨ值刻画的，pＨ值的 计算公式为 pＨ＝－lg［H ］，其中［ H ］表示溶
o 1a
x
交；
（3）x=1时，y=0;
定义域 : (0,+
y
1 y=logax
a1
o
x
值域：R
（4）在直线 x=1 两侧
的两部分分别位于x轴的上
方、下方；
性
过定点（1，0） 0<x<1时,y<0 0<x<1时,y>0
质 （5）从左至右观察图
象, a＞1时 呈上升趋势， 0 ＜ a＜1时呈下降趋势。
x>1时,y>0
y 2 11 1
42
0 123 4 x -1 -2
函数性质
定义域 : ( 0,+∞)
值域: R
在(0,+∞)上是： 减函数
X=1时,y=0
X>1时,y>0;0<x<1时，y<0
探究2： 选取底数a(a＞0且a≠１)的若干个不同的值， 在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的 图象．观察图象，你能发现它们有哪些共同特征 吗？
间的关系：
t
P 1 5730 . 2
由指数与对数的关系，此指数式写成对数式是：
t log 1 P.（*） 5730 2
考古学家一般通过提取附着在出土文物．古遗址上死亡生物体 的残留物，利用（*）式估算出土文物或古遗址的年代．
二、引出定义
x yt log P 5730 1 2
y loga x
函数性质
定义域 : ( 0,+∞) 值域: R
在(0,+∞)上是： 增函数 X=1时,y=0
X>1时,y>0;0<x<1时,y<0
探索发现:认真观察
函数 y log1x
2
的图象填写下表
图像特征 图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐下降 与x轴的交点是（1,0） X>1,图像在x轴下方 0<x<1，图像在x轴上方
碳14的 0.767 0.5 0.465 0.1 0.01 0.001
含量P
生物死 2193 5730 6300 19035 38069 57104
亡年数t
一般地，我们把函数 y=logax(a>0,a1)
叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域
为 (0, ).
系数为1
注意:
y = loga x 自变量（x>0）
答：因为 y = logax 可化为 a y = x ，不 管y取什么值，由指数函数的性质，a y > 0 ， 所以x∈(0,+∞).
例1 判断下列函数哪些是对数函数？
x
（1） y = lo g 5 5 （2） y=3log2(x+1) （3） y=2log2x
解析：（1）不是，不符合自变量前的系数为1 （2）不是，定义域不是（0，+∞） （3）是，此函数可写成 y = log x
2
注：(1)(2)是对数型函数。
征 探究1：ylo2gx和 ylo1g 的x图像特 2 在同一直角坐标系中分别画出它们的
图像
作图步骤：
x … 1/4 1/2 1
表 列 ylog2 x… -2 -1 0
y log1 x… 2
2
10
y
点描
2
24 …
1 2… -1 -2 …
线连
1 11 42
0 1 23 4 -1
y §2.2.2 对数函数及性质
x
o
恐龙最早 出现在2亿3 千万年前的 三叠纪， 支配全球陆 地生态系超 过1亿6千万 年之久。恐 龙的灭绝年 代为白垩纪 与第三纪之 间的过度时 期，为6595 万年前上下 波动约4万 年
一、创设情境
人们经过长期实践，获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之
点 当底数不相同，真数也不相同时，利用“介值法” 拨 常需引入中间值0或1(各种变形式).
小结：两个对数比较大小
（一）同底数比较大小
1.当底数确定时， 则可由函数的单调性直接进行判断；
2.当底数不确定时，应对底数进行分类讨论。
（二）同真数比较大小 1.通过换底公式； 2.利用函数图象。
（三）若底数、真数都不相同, 则常借 助1、0等中间量进行比较。
-2
x 这两个函 数的图象 有什么关 系呢？
关于x轴对称
探索发现:认真观察
函数 ylogx 2
的图象填写下表
图像特征
图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升 与x轴交点为（1,0） X>1,图像在x轴上方， 0<x<1，图像在x轴下方
y 2
111
42
0 1 23 4
x
-1
-2
(a >0,a 1)
问题一：在定义中为什么要限定a>0,且a≠1?
答：根据对数与指数式的关系，知 y = logax 可化为 a y = x ，由指数的概念，若使 a y = x 恒有意义，必须规定a>0且a≠1.
问题二：为什么对数函数 y=logax(a>0,a1)
的定义域为 ( 0 , ) ？
在(0,+上是增函数
x>1时,y<0
在(0,+上是减函数
例2
小结
四 性质应用
例2 比较下列各组数中两个值的大小
(1) log 25 和 log 27
lo2g5lo2g7
(2) log 0.35 和 log 0.37
lo0.g35lo0.g37
(3) log a5 和 log a7 (a>0且a≠1)
a1 时 lo， a5 gloa7 g0a 1 时 lo a ， 5 g lo a7 g
点 1.当底数相同时,利用对数函数的增减性比较大小. 拨 2.当底数不确定时,要对底数a与1的大小进行分类讨论.
（4）log 2 7 与 log 5 7
解
log2
7
1 log7
2
1 log5 7 log7 5
y
lloogg25
7 7
o
1
0lo72 glo75 g
∴ log 2 7 ＞ log 5 7
ylog2 x y log5 x
7x
点 1.利用对数的运算，取倒数后转化为同底问题. 拨 2.当底数不相同，真数相同时，利用图象判断大小.
（5）log 6 7 log 7 6 log 3 2 log 2 0.8 log 6 7 ＞ log 66 = 1 log 3 2 ＞ log 3 1 =0 log 7 6 ＜ log 7 7 = 1 log 2 0.8 ＜ log 2 1 =0
y
y=log2x
4
3 2
y=log3x
1
O -1
2
4
6
8
10
x
பைடு நூலகம்
-2
y log1 x
-3
3
y log1 x
2
猜想：y = log4x和 y = log 1 x 分别与哪个图像相
似？
4
图象特征
a>1 0<a<1
y
图 （1）完全分布在在y轴
y=logax
右侧；
象1
（2）向上下无限延伸 并
无限向y轴靠近，但永不相
例3.溶液酸碱度的测量．
溶液酸碱度是通过pＨ值刻画的，pＨ值的 计算公式为 pＨ＝－lg［H ］，其中［ H ］表示溶
o 1a
x
交；
（3）x=1时，y=0;
定义域 : (0,+
y
1 y=logax
a1
o
x
值域：R
（4）在直线 x=1 两侧
的两部分分别位于x轴的上
方、下方；
性
过定点（1，0） 0<x<1时,y<0 0<x<1时,y>0
质 （5）从左至右观察图
象, a＞1时 呈上升趋势， 0 ＜ a＜1时呈下降趋势。
x>1时,y>0
y 2 11 1
42
0 123 4 x -1 -2
函数性质
定义域 : ( 0,+∞)
值域: R
在(0,+∞)上是： 减函数
X=1时,y=0
X>1时,y>0;0<x<1时，y<0
探究2： 选取底数a(a＞0且a≠１)的若干个不同的值， 在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的 图象．观察图象，你能发现它们有哪些共同特征 吗？
间的关系：
t
P 1 5730 . 2
由指数与对数的关系，此指数式写成对数式是：
t log 1 P.（*） 5730 2
考古学家一般通过提取附着在出土文物．古遗址上死亡生物体 的残留物，利用（*）式估算出土文物或古遗址的年代．
二、引出定义
x yt log P 5730 1 2
y loga x
函数性质
定义域 : ( 0,+∞) 值域: R
在(0,+∞)上是： 增函数 X=1时,y=0
X>1时,y>0;0<x<1时,y<0
探索发现:认真观察
函数 y log1x
2
的图象填写下表
图像特征 图象位于y轴右方
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐下降 与x轴的交点是（1,0） X>1,图像在x轴下方 0<x<1，图像在x轴上方
碳14的 0.767 0.5 0.465 0.1 0.01 0.001
含量P
生物死 2193 5730 6300 19035 38069 57104
亡年数t
一般地，我们把函数 y=logax(a>0,a1)
叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域
为 (0, ).
系数为1
注意:
y = loga x 自变量（x>0）
答：因为 y = logax 可化为 a y = x ，不 管y取什么值，由指数函数的性质，a y > 0 ， 所以x∈(0,+∞).
例1 判断下列函数哪些是对数函数？
x
（1） y = lo g 5 5 （2） y=3log2(x+1) （3） y=2log2x
解析：（1）不是，不符合自变量前的系数为1 （2）不是，定义域不是（0，+∞） （3）是，此函数可写成 y = log x
2
注：(1)(2)是对数型函数。
征 探究1：ylo2gx和 ylo1g 的x图像特 2 在同一直角坐标系中分别画出它们的
图像
作图步骤：
x … 1/4 1/2 1
表 列 ylog2 x… -2 -1 0
y log1 x… 2
2
10
y
点描
2
24 …
1 2… -1 -2 …
线连
1 11 42
0 1 23 4 -1