二次函数真题汇编及答案解析

二次函数真题汇编及答案解析
一、选择题
1．如图，坐标平面上，二次函数y ＝﹣x 2+4x ﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？( )
A ．1
B ．12
C ．43
D ．45
【答案】D
【解析】
【分析】 求出顶点和C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于k 的方程，解方程即可．
【详解】
解：∵y ＝﹣x 2+4x ﹣k ＝﹣(x ﹣2)2+4﹣k ，
∴顶点D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，
∴OC ＝k ，
∵△ABC 的面积＝
12AB•OC ＝12AB•k ，△ABD 的面积＝12
AB(4﹣k)，△ABC 与△ABD 的面积比为1：4， ∴k ＝
14
(4﹣k)， 解得：k ＝45
． 故选：D ．
【点睛】 本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．
2．如图，二次函数()2
00y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：
①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()2
00ax bx c a ++=≠有一个根为1a
-，其中正确的结论个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C
【解析】
【分析】 由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1a 代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案.
【详解】
由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣2b a
＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣
1a ，把﹣1a 代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.
3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点；②方程()2
00++=≠ax bx c a 的解为0x =或4；③0a b c -+<；④当04x <<时，20ax bx c ++<；⑤当2x <时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，求得,,a b c ，根据二次函数的图像和性质，结合选项进行逐一分析，即可判断.
【详解】 由题可知22b a
-=，与x 轴的一个交点坐标为(4,0)，则另一个交点坐标为()0,0， 故可得1640a b c ++=，0c
， 故可得4,0a b c -==
①因为0c ，故①正确；
②因为二次函数过点()()0,0,4,0，故②正确；
③当1x =-时，函数值为0a b c -+<，故③正确；
④由图可知，当04x <<时，0y <，故④正确；
⑤由图可知，当2x <时，y 随x 增大而减小，故⑤错误；
故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数的图像和性质，涉及二次函数的增减性，属综合中档题.
4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜x ＜1
B ．﹣3＜x ＜﹣1
C ．x ＜1
D ．﹣3＜x ＜1
【答案】D
【解析】
【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，即可得到答案.
【详解】
解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （1，0），对称轴为直线x ＝﹣1，
∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是（﹣3，0），
∴当y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．
所以答案为：D ．
【点睛】
此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.
5．定义[a ，b ，c]为函数y=ax 2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[2m ，1-m ，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）
A ．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（13，83
） B ．当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于
32 C ．当m≠0时，函数图象经过同一个点
D ．当m<0时，函数在x>
14
时，y 随x 的增大而减小 【答案】D
【解析】 分析：A 、把m=-3代入[2m ，1-m ，-1-m]，求得[a ，b ，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
B 、令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
C 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
D 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．
详解：
因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]；
A 、当m=﹣3时，y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣
13）2+83，顶点坐标是（13，83）；此结论正确；
B 、当m ＞0时，令y=0，有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0，解得：x 1=1，x 2=﹣12﹣12m
， |x 2﹣x 1|=
32+12m ＞32，所以当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32
，此结论正确； C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．
D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=14m m
-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，11114444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14
右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．
点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
6．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )
A ．﹣4＜P ＜0
B ．﹣4＜P ＜﹣2
C ．﹣2＜P ＜0
D ．﹣1＜P ＜0
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0．
∵对称轴在y 轴的左边，∴b 2a
-＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0．
∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2．
把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4，
∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．
∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0．
故选A ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．
7．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）．
A ．①②④
B ．②③④
C ．③④⑤
D ．①③⑤
【答案】C
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；
②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；
∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0， 又∵a>0，
∴b<0；
由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，
∴c<0，
故abc>0，故②错误；
③结合图象得出x=−1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a−b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2−4ac>0，故④正确；
⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -
=12
则2a=−2b ，故⑤正确；
故正确的有：③④⑤．
故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．
8．如图，抛物线2y ax bx c =++ 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），则下列结论：①abc ＞0；②3a +b ＜
0；③﹣
43
≤a ≤﹣1；④a +b ≥am 2+bm （m 为任意实数）；⑤一元二次方程2ax bx c n ++= 有两个不相等的实数根，其中正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【答案】B
【解析】
解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标（1，n ），∴对称轴为直线x =1，∴2b a - =1，∴b =﹣2a ＞0，∵与y 轴的交点在（0，3），（0，4）之间（包含端点），∴3≤c ≤4，∴abc ＜0，故①错误；
3a +b =3a +（﹣2a ）=a ＜0，故②正确；
∵与x 轴交于点A （﹣1，0），∴a ﹣b +c =0，∴a ﹣（﹣2a ）+c =0，∴c =﹣3a ，∴3≤﹣3a ≤4，∴﹣43
≤a ≤﹣1，故③正确； ∵顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，函数有最大值n ，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确；
一元二次方程2ax bx c n ++=有两个相等的实数根x 1=x 2=1，故⑤错误．
综上所述，结论正确的是②③④共3个．故选B ．
点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出a 、b 的关系．
9．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）
A ．16
B ．15
C ．12
D ．11
【答案】B
【解析】
【分析】 过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．
【详解】
解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，
∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，
∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，
∴△FEH ∽△EBA ，
∴ ,HF HE EF AE AB BE
== G 为BE 的中点，
1,2FE GE BE ∴== ∴ 1,2
HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==
∴HF 1,4,2
x EH =
= ,DH AE x ∴== CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-
11111(8)8(4)422222x x x x =
++⨯--⨯• 2141644x x x x =
+--- 2116,4
x x =-+ ∴当12124
x -=-
=⨯ 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选：B ．
【点睛】
本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．
10．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
11．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可求m ＜﹣2，即可求解．
【详解】
∵抛物线y ＝x 2+2x ﹣m ﹣1与x 轴没有交点，
∴△＝4﹣4（﹣m ﹣1）＜0
∴m ＜﹣2
∴函数y ＝的图象在第二、第四象限，
故选B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m 的取值范围是本题的关键．
12．如图，四边形ABCD 是正方形，8AB =，AC 、BD 交于点O ，点P 、Q 分别是AB 、BD 上的动点，点P 的运动路径是AB BC →，点Q 的运动路径是BD ，两点的运动速度相同并且同时结束.若点P 的行程为x ，PBQ △的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】 分点P 在AB 边和BC 边上两种情况画出图形，分别求出y 关于x 的函数关系式，再结合其取值范围和图象的性质判断即可.
【详解】
解：当点P 在AB 边上，即08x ≤≤时，如图1，由题意得：AP=BQ=x ，∠ABD =45°，∴ BP =8－x ，
过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，则QF =2222BQ x =， 则2122(8)22224
y x x x x =-⋅=-+，此段抛物线的开口向下；
当点P 在BC 边上，即8x <≤2，由题意得：BQ=x ，BP=x －8，∠CBD =45°，
过点Q 作QE ⊥BC 于点E ，则QE BQ x =，
则2
1(8)224
y x x x =
-⋅=-，此段抛物线的开口向上. 故选A. 【点睛】
本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键.
13．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：
给出以下结论：（1）二次函数y ＝ax 2+bx +c 有最小值，最小值为﹣3；（2）当﹣
1
2
＜x ＜2时，y ＜0；（3）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在函数的图象上，则当﹣1＜x 1＜0，3＜x 2＜4时，y 1＞y 2．上述结论中正确的结论个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断. 【详解】
解：（1）函数的对称轴为：x ＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意； （2）从表格可以看出，当﹣
1
2
＜x ＜2时，y ＜0，符合题意； （3）﹣1＜x 1＜0，3＜x 2＜4时，x 2离对称轴远，故错误，不符合题意； 故选择：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数的最值，抛物线与x 轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动，同时动点Q 从B 点出发，以每秒2个单位长度的速度沿
BC CD →方向运动，当P 运动到B 点时，P Q 、点同时停止运动．设P 点运动的时间为
t 秒，APQ ∆的面积为S ，则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动；②点P 在AB 上运动，点Q 在CD 上运动，依次得出S 与t 的关系式，即可判断得出答案． 【详解】
解：当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，,2AP t BQ t ==
21
22
APQ
S
t t t =⋅⋅=，函数图象为抛物线； 当点P 在AB 上运动，点Q 在BC 上运动时， 此时，AP t =，APQ 底边AP 上的高保持不变
1422
APQ
S
t t =⋅⋅=，函数图象为一次函数； 故选：D ． 【点睛】 本题考查的知识点是函数图象，理解题意，分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键．
15．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】C 【解析】 【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据抛物线与x 轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】
解：由图象可知，a ＜0，c ＞0，故①正确；抛物线与x 轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0， 故③正确;
由图象可知，图象开口向下，对称轴x ＞-1，在对称轴右侧， y 随x 的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y 随x 的增大而减小，故④错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
16．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( ) A ．3或6 B ．1或6
C ．1或3
D ．4或6
【答案】B 【解析】
分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次
方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
详解：如图，
当h＜2时，有-（2-h）2=-1，
解得：h1=1，h2=3（舍去）；
当2≤h≤5时，y=-（x-h）2的最大值为0，不符合题意；
当h＞5时，有-（5-h）2=-1，
解得：h3=4（舍去），h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况求出h值是解题的关键．
17．如图1，△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A→C→B运动，点Q从点A出发以vcm/s的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函
数图象由C1，C2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v＝1；②sin B＝1
3
；③图象C2
段的函数表达式为y＝﹣1
3
x2+
10
3
x；④△APQ面积的最大值为8，其中正确有（）
A．①②B．①②④C．①③④D．①②③④【答案】A
【解析】
【分析】
①根据题意列出y＝1
2
AP•AQ•sin A，即可解答
②根据图像可知PQ同时到达B，则AB＝5，AC+CB＝10，再代入即可
③把sin B＝1
3
，代入解析式即可
④根据题意可知当x ＝﹣522b a =时，y 最大＝2512
【详解】
①当点P 在AC 上运动时，y ＝
12 AP •AQ •sin A ＝1
2
×2x •vx ＝vx 2， 当x ＝1，y ＝
1
2
时，得v ＝1， 故此选项正确；
②由图象可知，PQ 同时到达B ，则AB ＝5，AC +CB ＝10， 当P 在BC 上时y ＝1
2
•x •（10﹣2x ）•sin B ， 当x ＝4，y ＝
4
3 时，代入解得sin B ＝13
， 故此选项正确； ③∵sin B ＝
13
， ∴当P 在BC 上时y ＝
12•x （10﹣2x ）×13＝﹣13
x 2+5
3 x ， ∴图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13
x 2+5
3x ， 故此选项不正确；
④∵y ＝﹣
13
x 2+5
3x ， ∴当x ＝﹣
522b a =时，y 最大＝2512
， 故此选项不正确； 故选A ． 【点睛】
此题考查了二次函数的运用，解题关键在于看图理解
18．在同一平面直角坐标系中，函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】 【分析】
根据一次函数及二次函数的图像性质，逐一进行判断． 【详解】
解：A.由一次函数图像可知a ＞0，因此二次函数图像开口向上，但对称轴3
02a
-<应在y 轴左侧，故此选项错误；
B. 由一次函数图像可知a ＜0，而由二次函数图像开口方向可知a ＞0，故此选项错误；
C. 由一次函数图像可知a ＜0，因此二次函数图像开口向下，且对称轴3
02a
->在y 轴右侧，故此选项正确；
D. 由一次函数图像可知a ＞0，而由二次函数图像开口方向可知a ＜0，故此选项错误； 故选：C ． 【点睛】
本题考查二次函数与一次函数图象的性质，解题的关键是利用数形结合思想分析图像，本题属于中等题型．
19．平移抛物线2:L y x =得到抛物线L '，使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线L '的是（ ） A ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向左平移
3
2个单位，再向下平移92
个单位 D ．向左平移3个单位，再向下平移9个单位 【答案】D 【解析】 【分析】
通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可． 【详解】
解：由A 选项可得L '为：2(1)2y x =--，
则顶点为（1，-2），顶点（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2）， 当x ＝-1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故A 选项不符合题意；
由B 选项可得L '为：2(1)2y x =+-，
则顶点为（-1，-2），顶点（-1，-2）关于原点的对称点为（1，2）， 当x ＝1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故B 选项不符合题意； 由C 选项可得L '为：2
39()2
2
y x =+-， 则顶点为（-32，-92），顶点（-32，-92
）关于原点的对称点为（32，9
2）， 当x ＝
3
2时，y ＝92
，则对称点在该函数图像上，故C 选项不符合题意； 由D 选项可得L '为：2
(3)9y x =+-，
则顶点为（-3，-9），顶点（-3，-9）关于原点的对称点为（3，9）， 当x ＝3时，y ＝27≠9，则对称点不在该函数图像上，故D 选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．
20．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．3
D ．3【答案】C 【解析】 【分析】
点P 、Q 的速度比为33x ＝2，y ＝3P 、Q 运动的速度，即可求解． 【详解】
解：设AB ＝a ，∠C ＝30°，则AC ＝2a ，BC 3a ， 设P 、Q 同时到达的时间为T ， 则点P 的速度为
3a T ，点Q 的速度为3a
T
，故点P 、Q 的速度比为33
故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，
由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，
y＝1
2
⨯AB×BQ＝
1
2
⨯6v×23v＝63，解得：v＝1，
故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，
则AC＝12，BC＝63，
如图当点P在AC的中点时，PC＝6，
此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，
PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×1
2
＝3，同理CH＝3，则HQ＝CH﹣CQ＝33
3，
PQ22
PH HQ
+39
+3，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．。