算法导论上机报告

算法导论

上机报告

班级： 1313012

学号：

姓名：黄帮振

描述一个运行时间为θ(nlgn)的算法给定n个整数的集合S和另一个整数x 该算法能确定S中是否存在两个其和刚好为x的元素。

二分查找算法的时间复杂度为θ(lgn)在题目要求的范围内，二分查找的条件为待查的数组为有序序列。算法的主要思想为设定两个数low指向最低元素high指向最高元素，然后比较数组中间的元素与待查元素进行比较。如果待查元素小于中间元素，那么表明查找元素在数组的前半段，反之，如果待查元素大于中间元素，那么表明查找元素在数组的后半段。

二、伪代码：

MERGE(A,p,q,r)

1.n1=q-p+1

2.n2=r-q

3.Let L[1..n1+1]andR[1..n2+1]be new arrays

4.For i=1 to n1

5. L[i]=A[p+i-1]

6.For j=1 to n2

7. R[j]=A[q+j]

8.L[n1+1]=无穷

9.R[n2+1]=无穷

10.I=1

11.J=1

12.For k=p to r

13. If L[i]<=R[j]

实现优先队列排序算法，需要支持以下操作：

INSERT(S,x):把元素x插入到集合S中

MAXMUM(S):返回S中具有最大key的元素

EXTRACT-MAX(S):去掉并返回S中的具有最大key的元素

一、算法原理

快速排序采用分治策略，时间复杂度为θ(nlgn),但是最坏情况下为θ(n2),并且快速排序算法属于原地排序，并不需要开辟空间。快速排序复杂的步骤为其分解的步骤分解的过程数组A[p..r]被划分为两个子数组A[p..q-1]和A[q+1..r],使得A[p..q-1]中的每个元素都小于A[q],而A[q]也小于等于A[q+1..r]中的每个元素。而在实现的过程总是选择将A[r]作为基准点进行划分A[p..r]数组。

二、伪代码

QUICKSORT(A，p，r)

1 if p < r

2 q = PARTITION(A，p，q)

3 QUICKSORT(A，p，q-1)

4 QUICKSORT(A，q+1，r)

PARTITION(A，p，r)

1 x = A[r]

2 i = p-1

3 for j = p to r-1

4 if A[j]x

5 i = i+1

6 exchange A[i] with A[j]

7 exchange A[i+1] with A[r]

8 return i + 1

三、实验总结

问题答案：当选取第一个或者最后一个为基准点时，当n个元素相同的时候为最坏情况比较次数为n*(n-1)/2；快速排序比较次数最少为θ(nlgn),,最大的比较次数为θ(n2)。

运用分治的策略将两个已经排好序的序列中，找出第k大的元素且要求时间

复杂度为θ(lgm+lgn),其中m和n分别为两个序列的长度。

一、算法原理

如果K是中位数，则（M＋n）是奇数还是偶数是有关系的。如果是奇数，那么中位数唯一，如果是偶数就有两个中位数，可以随便取一个。如果找到的第K大数是x，假如在A的位置是A(x)，在B中的位置是B(x)，则Ax+Bx-1=k是成立的。

接下来是具体实现逻辑：

1、首先假设K大数在A数组中，首先检查(m/(m+n))*(k-1)，假设其值为A1。然后检查B中

(k+1-(n/(m+n))*(k-1))假设为B1，检查A1、B1是否相等，或者大于B中的第(k+1-(n/(m+n))*(k-1))，并且小于(k+1-(n/(m+n))*(k-1))+1个元素。满足条件就可以知道A1就是所求，否则看条件2。

2、如果两个条件都不满足，那么需要判断第K个元素是位于A1左边还是右边。如果A1>B1，那么K肯定不在A[0, (m/(m + n)) * (k - 1)]以及B[(k + 1 - (m/(m + n)) * (k - 1))+ 1, n]中；

如果A1

1))]中。第K个元素有可能在B中，同理可以假设在B中，再进行一次搜索。复杂度log(m)+log(n)。

二、伪代码

Searchkth（A,B,alow,ahigh,blow,bhigh,k）

1.amid=(alow+ahigh+1)/2

2.bmid=(blow+bhigh+1)/2

3.If alow>ahigh

4. return B[blow+k-1]

5.If blow>bhigh

6. return A[alow+k-1]

7.If A[amid]<=B[bmid]

8.If A[amid]<=B[bmid]

9. If k<= amid-alow+bmid-blow+1

10. Return Searchkth(A,B,alow,ahigh,blow,bmid-1,k)

一、算法原理

1最优子结构为：如果最优的加括号的方式将其分解为Ai..k与Ak+1..j的乘积

则分别对Ai..k与Ak+1..j加括号的方式也一定是最优的。

2定义m[i,j]为计算矩阵Ai..j所需标量乘法次数的最小值，对于i=j时,矩阵链乘只包含唯一的矩阵Ai,因此不需要做任何标量乘法运算，所以m[i,i]=0;当i

3矩阵链乘的递归式

4在算法设计的时候需要m数组记录Ai..j最小相乘次数，s数组记录构造最优解所需要的信息，其记录的k值指出了AiAi+1Aj的最优括号化方案的分割点应在AkAk+1之间。

5 矩阵链乘的时间复杂度为θ(n3)

二、伪代码

MATRIX-CHAIN-ORDER（p）

=

m[1..n,1..n] and s[1..n-1,2..n] be new tables

i=1 to n

4. M[i,i]=0

l=2 to n