2.1.1合情推理归纳推理(公开课课件)
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课件2：2.1.1合情推理
(2)b2k－1＝___2_____(用k表示)．
8．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前4项， 并归纳出该数列的通项公式．
答案：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，…，an＝(n－1)2
9．在平面内有 n(n∈N*，n ≥ 3)条直线，其中任意两条
不平行，任意三条不过同一点，若这 n 条直线把平面分成 f(n) 个 平 面 区 域 ， 则 f (5) 的 值 是 _________ ， f (n) 的 表 达 式 是
内切球的半径是高的 .
4．_归__纳__类__比___和__类__比__推__理__都是根据已有的事实，经过____联__想____、 ____观__察____、___分__析_____、___比__较_____，再进行__归__纳__推__理__，然后提出猜想 的推理，把它们统称为合情推理．
自测自评
1．根据下图中所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想 第n个图中有__n_2_－__n_＋__1__个点．
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四
体的下列性质，你认为比较恰当的是( D )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
那么：
(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分 割成多少部分？
(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线 段？将圆最多分割成多少部分？
解析：设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝12＋21＋2； f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝22＋22＋2； f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝32＋23＋2； f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝42＋24＋2； 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝52＋25＋2＝16.
8．已知在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)，写出它的前4项， 并归纳出该数列的通项公式．
答案：a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，…，an＝(n－1)2
9．在平面内有 n(n∈N*，n ≥ 3)条直线，其中任意两条
不平行，任意三条不过同一点，若这 n 条直线把平面分成 f(n) 个 平 面 区 域 ， 则 f (5) 的 值 是 _________ ， f (n) 的 表 达 式 是
内切球的半径是高的 .
4．_归__纳__类__比___和__类__比__推__理__都是根据已有的事实，经过____联__想____、 ____观__察____、___分__析_____、___比__较_____，再进行__归__纳__推__理__，然后提出猜想 的推理，把它们统称为合情推理．
自测自评
1．根据下图中所示的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想 第n个图中有__n_2_－__n_＋__1__个点．
2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四
体的下列性质，你认为比较恰当的是( D )
①各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
那么：
(1)在圆内画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分 割成多少部分？
(2)猜想：圆内两两相交的n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线 段？将圆最多分割成多少部分？
解析：设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割成的线段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
(1)f(1)＝1＝12，g(1)＝2＝12＋21＋2； f(2)＝4＝22，g(2)＝4＝22＋22＋2； f(3)＝9＝32，g(3)＝7＝32＋23＋2； f(4)＝16＝42，g(4)＝11＝42＋24＋2； 所以 n＝5 时，f(5)＝25，g(5)＝52＋25＋2＝16.
课件11：2.1.1 合情推理
通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．平 面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类 对象． 类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性 或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性 质，得出一个明确的命题猜想．
跟踪训练2 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，则cos2A＋cos2B＝1， 则在空间中，给出四面体性质的猜想．
的半径；经过圆心且垂直 半径；经过球心且垂直于切
于切线的直线必经过切点 面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的 经过切点且垂直于切面的直
直线必经过圆心
线必经过球心
圆的性质 圆的周长 c＝πd 圆的面积 S＝πr2
球的性质 球的表面积 S＝πd2 球的体积 V＝43πr3
跟踪训练1 将平面图形与空间图形作类比，按可作类比的属性填空.
命题方向 事物相似性与一致性的理解 例1 圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合； 球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合．这两 个定义很相似．于是我们猜想圆与球会有某些相似的 性质．试将平面上的圆与空间中的球进行类比．
解：圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的 属性．据此，在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应 关系：弦 ↔ 截面圆， 直径 ↔ 大圆， 周长 ↔ 表面积， 圆面积 ↔ 球体积， 等等．于是，根据圆的性质，可以猜测球的性质如下表所示：
3．等差数列{an}中，an>0，公差 d>0，则有 a4·a6>a3·a7， 类比上述性质，在等比数列{bn}中，若 bn>0，q>1，写出 b5，b7，b4，b8 的一个不等关系________．
【解析】 将乘积与和对应，再注意下标的对应， 有 b4＋b8>b5＋b7. 【答案】 b4＋b8>b5＋b7
人教版选修2-2《2.1.1合情推理》课件(共23张PPT)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 F+V-E=2 欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体86Fra bibliotek12五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
7.利用等差数列性质类比等比数列性质
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5，
10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11,
18 =7+11, …，
1000＝29+971， 1002=139+863,
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
2.1.1-合情推理-课件(人教A版选修1-2)
利用平面向量的性质类比得空间向量的性质
平面向量
若 a (a1 , a2 ) ， b (b1 , b2 )则
① a b (a1 b1 , a2 b2 )
空间向量
若a (a1 , a2 , a3 ) ， b (b1 , b2 , b3 )
则
① a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ② a b (a1 b1 , a2 b2 ) ② a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ③ a (a1 , a2 )( R) ③ a (a1 , a2 , a3 )( R)
部分
第一个数为2 一切金属 都能导电.
第二个数为4
第三个数为6 第四个数为8
整 体 一 般
第 n个 数为 2n.
个别 三角形内角和
为 180
凸四边形内角 和为 360 和为
凸五边形内角
540
n 2180.
凸n边形 内角和为
第一个芒果是 甜的 第二个芒果是 甜的 第三个芒果是 甜的
⑥ a b a b a b 0 ⑥a b a b a b a b 0 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3
⑦ | a | a12 a22
⑦ | a | a12 a22 a32
利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列 定义 等比数列
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被 认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草
割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手；
课件5：2.1.1 合情推理
(2)解决数列中的归纳推理问题时，通常是将所给等式中
的n取具体值1,2,3,4，…，然后求得a1，a2，a3，a4，… 的值或S1，S2，S3，S4，…的值，根据这些结果进行归纳 得到结果．
跟踪练习 4 已知 a1＝3，an＋1＝a2n(n＝1,2，…)，试通过归纳推理得出 数列{an}的通项公式，并给出证明． 解：由 a1＝3，an＋1＝an2，得 a2＝32，a3＝(32)2＝322， a4＝(322)2＝323， a5＝(323)2＝324，…，an＝32n－1(1,2，…)． 证明如下：
证明：在四面体 O－BCD 与 V－BCD 中，设底面 BCD 上的高分别为 h′，h，则
1 OVEE＝hh′＝＝331SS△△BBCCDD··hh1＝VVOV－－BBCCDD. 同理有：ODFF＝VVOD－ －VVBBCC；OBGG＝VVOB－－VVCCDD；OCHH＝VVOC－－VVBBDD，
cos2A＋cos2B＝bc2＋ac2＝a2＋c2 b2＝1. 于是把结论类比到四面体 P－A′B′C′中，我们猜想，三棱 锥 P－A′B′C′中，若三个侧面 PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互 相垂直，且分别与底面所成的角为 α，β，γ，则 cos2α＋cos2β ＋cos2γ＝1.
学科核心素养 归纳推理在数列中的应用
__类__比______)
新知导入 1．归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
特
归 纳 推 理 是 由 _部__分___ 到 _整__体___ 、 由 __个__别__ 到
类比推理是由__特__殊__到
征 _一__般___的推理
_特__殊___的推理
2.合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过
高中数学人教A版选修1-2课件：2.1.1合情推理(归纳推理)(共15张PPT)
an1
an 1 an
( n ＝1，2，3，···)，
1
请归纳出这个数列的通项公式为__a_n___n__.
：河内塔（Tower of Hanoi）
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用.
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
请你试着推测：把 n个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
1
3
设 a n 为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3.
2
1
3
设 a n 为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3.
n＝2时，a2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
2
1
3
设 a n 为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3.
想一想：
第一个芒果是甜的
故事中仆人的做法实际吗？ 第二个芒果是甜的
换作你，你会怎么做？ 第三个芒果是甜的
这个果园 的芒果都 是甜的
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
课件9：2.1.1 合情推理
答 1.归纳推理 特殊 一般 2.类似特征 已知特征 这些特征 特殊
案 3.事实 比较 联想 归纳 类比
名师讲解
1. 归纳推理 (1) 归纳推理的分类 ①完全归纳推理：由某类事物的全部对象推出结论，显然 该结论一定正确． ②不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．该 结论不一定正确．
(2) 归纳推理的一般步骤 第一步：观察、分析所有特殊情况的共性，如图形中的 点、线的个数、位置关系，数列中项的变化规律，一系 列式子的运算特点等． 第二步：把第一步观察到的共性进行推广，形成一般化 的结论． 如数列的通项公式，式子的运算结果等等．
2.1.1 合情推理
自学引导
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的 推理.
课前热身
1. 归纳推理． 由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类 事物的全部对象都具有这种特征的推理，称为 ________．概括为由________到________的推理．
2. 类比推理． 由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些 ________，推出另一类对象也具有________的推理称为类 比推理，其特征是由________到特殊的推理． 3. 合情推理． 根据已有的________，经过观察、分析、________、 ________，再进行________、________，然后提出猜想的 推理，统称为合情推理.
规律技巧 利用直角三角形的有关性质，通过观察四面 体的结构分析面的关系，比较二者的内在联系，从中类 比出四面体的相似命题提出猜想.结论中 S2＝S21＋S22＋S23 为真命题.
变式训练2 通过计算可得下列等式： 22－12＝2×1＋1， 32－22＝2×2＋1， 42－32＝2×3＋1， …… (n＋1)2－n2＝2n＋1，
《2.1.1 合情推理》PPT课件(安徽省市级优课)
答：C60分子中有90条棱．
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
“世界末日”的传说．
在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放 着三根宝石针，据说印度教的主神梵天在创造世界时，在 其中的一根针上，自上而下由小到大放了六十四片金 片．每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律， 不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移 动一片，且不论在那根针上“，较小的金片只能放在较大的 金片上．当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的 那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临．
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
（2）剔除不带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想。
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还 需证明 例如，法国数学家费马观察到
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项， 然后归纳猜想它的通项公式。
an
1 n
.
在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个 猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明， 但猜想可以为我们的研究提供一种方向。
应用示例：
例3、 1996年的诺贝尔化学奖授予 对发现C60有重大贡献的三位科学 家．C60是有60 个C原子组成的分子， 它结构为简单多面体形状．这个多面 体有60个顶点，各面的形状只有五边 形或六边形两种．其中五边形和六边 形的面各有12个和20个．
由此猜想，n为任何正整数时 f(n)=n2+n+41都是质数
n=40呢？
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般 性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
“世界末日”的传说．
在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放 着三根宝石针，据说印度教的主神梵天在创造世界时，在 其中的一根针上，自上而下由小到大放了六十四片金 片．每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律， 不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移 动一片，且不论在那根针上“，较小的金片只能放在较大的 金片上．当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的 那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临．
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
（2）剔除不带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想。
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还 需证明 例如，法国数学家费马观察到
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项， 然后归纳猜想它的通项公式。
an
1 n
.
在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个 猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明， 但猜想可以为我们的研究提供一种方向。
应用示例：
例3、 1996年的诺贝尔化学奖授予 对发现C60有重大贡献的三位科学 家．C60是有60 个C原子组成的分子， 它结构为简单多面体形状．这个多面 体有60个顶点，各面的形状只有五边 形或六边形两种．其中五边形和六边 形的面各有12个和20个．
由此猜想，n为任何正整数时 f(n)=n2+n+41都是质数
n=40呢？
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般 性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).
课件4：2.1 .1合情推理
答案：5
n2－n－2
2
题型三
类比推理及其应用
例3 如图，在△ABC中，O为其内
切圆圆心，过O的直线将三角形分为面
积相等的两部分，且该直线与AC，BC
分别相交于F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试
将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题．
【解】 如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球
(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别
交于E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，
则四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积相等．
(1)本例是一道由平面图形类比到空间图形的问题，它的求
解主要利用了平面与空间的以下类比：三角形与四面体，
三角形内切圆与四面体内切球，面积与体积，周长与表面
此 凸 n 边 形 的 对 角 线 条 数 为 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ … ＋ (n － 2) ＝ n(n －
3)(n≥4，n∈N*)．
在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸
六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
总结规律：在几何中，随点、线、面等元素的增加，探究相应的线
几何中的归纳推理
例2 在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角
线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
【解】
凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边
形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…
于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n－1边形多n－2条对角线，由
•
例4
在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1
n2－n－2
2
题型三
类比推理及其应用
例3 如图，在△ABC中，O为其内
切圆圆心，过O的直线将三角形分为面
积相等的两部分，且该直线与AC，BC
分别相交于F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试
将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题．
【解】 如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球
(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别
交于E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，
则四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积相等．
(1)本例是一道由平面图形类比到空间图形的问题，它的求
解主要利用了平面与空间的以下类比：三角形与四面体，
三角形内切圆与四面体内切球，面积与体积，周长与表面
此 凸 n 边 形 的 对 角 线 条 数 为 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ … ＋ (n － 2) ＝ n(n －
3)(n≥4，n∈N*)．
在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸
六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
总结规律：在几何中，随点、线、面等元素的增加，探究相应的线
几何中的归纳推理
例2 在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角
线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
【解】
凸四边形有2条对角线；凸五边形有5条对角线，比凸四边
形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；…
于是猜想凸n边形的对角线条数比凸n－1边形多n－2条对角线，由
•
例4
在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1
《2.1.1 合情推理》PPT课件(福建省县级优课)
D
P PF1·PF2=PC·PD
C
A
O
B A F1
O
F2 B
课堂感悟：小结与升华
1.类比推理常见的情形：平面向空间类比；圆锥曲线间的 类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实 数集的性质向复数集的性质类比；平面向量与空间向量 类比等等；
2.类比推理是一种重要的数学思想方法，其步骤为：观察、 比较→联想、类推→猜想新结论，最后验证；
1 PB2
1 PC 2
1 PH 2
实例探究：圆与椭圆的类比
问题2：阅读下表后，请应用类比思想，得出椭圆中 类似的结论。 平面内到两定点F1、F2 的距离 的距离等于定长 之和等于定值2a(2a>|F1F2|) R 的点P 的轨迹. 的点P 的轨迹.
结论 1
圆 x2 y2 R2
弧AB的长为L，则
L 等于 R
OA, OB
夹角的弧度数，从
而
cos
L R
x1x2 y1 y2 R2
.在空间直角坐标系中，以原点为球心，
半径为R的球面上两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),若A、B两点间的球面
距离为L，则 cos L 等于______________.
R
3.进一步总结类比推理的方法.
大胆猜想，小心求证！
问题情境
勾股定理：c2=a2+b2
cb a
SC=c2
Sa=a2 a c b
Sb=b2
SC=Sa+Sb
问题情境
SC=c2
Sa=a2 a c b
Sb=b2
SC=Sa+Sb
ac b
问题情境
SC=c2
Sa=a2 a c b
课件4：2.1.1 合情推理
点评：以上归纳推出一般性结论的方法称作不完 全归纳法，由不完全归纳法推出的结论不一定正 确，必须通过证明才能最后得出正确的结论．
命题方向：归纳推理在几何问题中的应用
例2：数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱 数E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．
【解析】仔细观察，通过几何图形的构造特征，找出 三者之间的关系． 解：各多面体的面数F、顶点数V、棱数E如下表所示.
所以a33＝a6×5＋3＝a3＝3，故选A. 【答案】A
2．由170>58，191>180，1235>291，…若 a>b>0，m>0，则ba＋ ＋mm
与ba之间的大小关系为
()
A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不确定
【解析】∵170＝58＋＋22>58，191＝180＋＋11>180， 1235＝291＋＋44>291，…都成立， ∴猜想：若 a>b>0，m>0，则ab＋＋mm>ba，下面证明 ∵ba＋＋mm－ba＝ab＋aam(a－＋amb)－bm＝ma((aa＋－mb))>0， ∴ba＋＋mm>ba，故应选 B.
多面体 三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 正方体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
面数(F) 4 5 5 6 6 8 7 7 9
顶点数(V) 4 5 6 6 8 6 10 10 9
棱数(E) 6 8 9 10 12 12 15 15 16
观察其数字特征：
4＋4－6＝2；
5＋5－8＝2；
5＋6－9＝2; 6＋6－10＝2；
个别事实 概括出 一般结论 的推理，称为归纳推理 (简称归纳)．简言之，归纳推理是由 部分 到 整体、由 个别 到一般 的推理．归纳推理包括 不完全归纳法 和 完全归纳法．
2.1.1合情推理课件人教新课标
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归纳推理
定义
特征
由某类事物的_部__分__对__象__具有某些特征， 归纳推理是由
推出该类事物的__全__部__对__象__都具有这些 _部__分__到__整__体___、
特征的推理，或者由_个__别__事__实___概括出 由_个__别__到__一__般___
方法二：5件首饰的珠宝颗数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5 ＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，则第6件首饰上的珠宝颗数为1＋5 ＋9＋13＋17＋21＝66，即每件首饰上的珠宝数是以1为首项， 4为公差的等差数列的前n项和，故第n件首饰的珠宝颗数为1＋ 5＋9＋…＋(4n－3)＝2n2－n.
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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2．类比推理的特点及适用前提 (1)类比推理的特点 ①类比是由已经解决的问题和已经获得的知识出发，估计 正在研究的事物的属性，提出新问题，作出新发现． ②类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它有发现功 能．
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第二章 推理与证明
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合情推理
1．合情推理的含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_视__察___、 _分__析____、_比__较___、___联__想_，再进行__归__纳___、_类__比___，然后提 出__猜__想___的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．合情推理的过程
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第二章 推理与证明
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2
1
3
设 an 为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3.
n ＝2时，a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
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设 an 为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3.
福 尔 摩 柯南 斯
我们来推测诸葛亮“先生”的推理过 程: 1.今夜恰有大雾
2.曹操生性多疑 3.弓弩利于远战
草船借箭必将成功
4.北军不善水战
已知 判断
新的 判断
前提
结论
根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.
1.由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，
猜想:一切金属都能导电.
思考题组二:
1.已知数列｛an｝的第一项 a1 =1,
且an1
1 2 (an
1 )(
an
n
＝1,2,3，···),
请归纳出这个数列的通项公式为__a_n ___1__.
2.对任意的正整数 n ,猜想 2n1与 (n 1)2 的大小关系.
当1 n 6时,2n1 (n 1)2 ;当n 7时,2n1 (n 1)2 ; 当n 7时,2n1 (n 1)2.
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2 欧拉公式
本课小结 1、归纳推理的含义 2、归纳推理的特点与过程 3、归纳推理的作用
传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡” 的作用.
2.1.1合情推理——归纳推理
铜能导电
铝能导电
金能导电 银能导电
部分
一切金属 都能导电.
蛇类是用肺呼吸的
鳄鱼是用肺呼吸的 海龟是用肺呼吸的
爬行动 物都是 用肺呼
整 体 蜥蜴是用肺呼吸的 吸的
个别 三角形内角和
为 180
凸四边形内角
和为360
凸n边形 内角和为
n 2180.
凸五边形内角
和为 540
另外,德国数学家希尔伯特1900年在巴黎提出 的著名的“希尔伯特23个问题”。有的尚未解决, 但却极大地促进了数学这门学科的发展和健全.
归纳推理的过程： 归纳推理的特点:
实验观察
(1)从特殊到一般；
大胆猜想
(2)具有创造性； (3)具有或然性。
验证猜想
合情推理是冒险的， 有争议的和暂时的．
－－波利亚
根据以上分析,我们可得以下递推公式
a1 1 an 2an1 1(n 1)
从这个递推公式出发,可以证明上述通 项公式是正确的.
归
合 2.由三角形内角和为180°,凸四边形内角和纳为
情 推
360°,凸五边形内角和为540°,
推 理
理
猜想:凸n边形内角和为 (n 2) 180.
3.地球上有生命，火星具有一些与地球类 似的特征，猜想:火星上也有生命.
类比 推理
演绎 4.大型公开课场合，老师们都会紧张，高
推理 老师是老师．
所以推断高老师会紧张.
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了.
n 请你试着推测：把 个圆环从1号针移到3号针,最少需要移
动多少次?
2
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设 an 为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n ＝1时，a1＝1 第1个圆环从1到3.
n ＝2时，a2 ＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
n＝3时，a3 ＝7 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3; 猜想 an= 2n -1
前2个圆环从2到3.
2
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3
从 a1 1, a2 3, a3 7, a4 15, ,我们猜 想其通项公式为
an 2n 1(n N *)
2n p1 p2 (n N , n 3)
陈氏定理
2n p1 p2 p3
歌德巴赫猜想 四色定理 牛顿发现万有引力 门捷列夫发现元素周期律等等
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
思考题组一:
1.对于数列1,3,5,7,…,由此你猜想出第 n 个数是2_n___1.
2.观察右图,可以发现: _1__3___5____ __2_n__1___n_2__.
3.观察下面图形规律，在其右下角的空格 内画上合适的图形为（ ）
□●▲ ▲■○ ●△
A.■ B.△ C.□ D.○
4.探求凸多面体的面数F、顶点数V 和棱数E之间的关系。
凸多面体 面数（F） 顶点数（V） 棱数（E）
三棱柱
5
6
9
长方体
6
8
12
五棱柱
7
10
15
三棱锥
Hale Waihona Puke 446四棱锥
5
5
8
五棱锥
6
6
10
一种有趣且有很长历史的数叫费马素数， 这些数是由法国数学家费马在研究数列 Fn 22n 1 的前五项：F0 3 F1 5 F2 17 F3 257 F4 65537
发现它们都是素数，于是费马就猜想：形 如 Fn 22n 1 的数都是素数。
否定一个猜想只需举出一个反例即可！
F5 225 1 4294967297 641 6700417
1=12，
1+3=4=22，
1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，
1+3+5+7+9=25=52， ……
(第2题)
3.已知下列不等式：2
3
＜
23＋＋11，23
＜
2＋2 3＋2
，2 3
＜
23＋＋33 ，L
试归纳出一般性的结论．b b m (a,b, m均为正实数)
a am
费马素数猜想 ——一个错误的猜想
一 第一个数为2
第二个数为4 第三个数为6
般
第n个 数为2n.
第四个数为8
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
即是由部分到整体,由个别到一般的推理.
你能举出归纳推理 的例子吗?
观察下列等式 3+7=10， 10=3+7， 3+17=20， 20=3+17， 13+17=30， 30=13+17. 归纳出一个规律： 偶数=奇质数+奇质数
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.
大胆猜想:
任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.