考点50 椭圆-2019年高考数学(理)必刷题(解析版)

考点50 椭圆
1．已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径
于点，则点的轨迹的方程是
A．B．C．D．
【答案】B
2．已知椭圆和双曲线有相同的焦点，且离心率之积为1，为两曲线的一个交点，则的形状为（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
【答案】B
【解析】
的焦点坐标为，离心率为，
，
椭圆，，
，得，，
为直角三角形，故选B.
3．倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
4．已知点P（x0，y0）（x0≠）在椭圆C：（a＞b＞0）上，若点M为椭圆C的右顶点，且PO ⊥PM （O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是
A．（0，）B．（0，1）C．（，1）D．（0，）
【答案】C
5．已知双曲线的左右焦点分别为，椭圆的离心率为，直线过
点与双曲线交于两点，若，且，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由题，
6．已知分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
7．已知椭圆的中心在原点，直线与坐标轴的交点是椭圆的两个顶点. （1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上的两点，且满足，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）因为与轴交点为，与轴交点为，
又直线与坐标轴交点为椭圆的顶点，
所以椭圆的顶点为，，
故所求椭圆方程为
8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求以为圆心与直线l相切的圆的方程．
【答案】（1）
（2）.
【解析】
（1）设椭圆的方程为，
由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为，
所以，
所以，又，
9．已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：
，，
所以，，
由椭圆定义知点的轨迹为以为焦点的椭圆，且
进而，故轨迹方程为：．
（2）当直线斜率不存在时，，或，，
此时弦长．
当直线斜率存在时，设的方程为：，
10．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（），且点F（，0）为其右焦点。

（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l与椭圆C交于B，D两点，满足，且原点到直线l的距离为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）不存在
【解析】
（1）设椭圆C的方程为，则左焦点为，
11．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是、以为圆心、以3为半径的圆与以为圆心、以1为半径的圆相交，交点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）.
12．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切，与圆外切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，，若直线与轨迹交于，两点，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
13．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若直线是圆上的点处的切线，点是直线上任一点，过点作椭圆的切线，切点分别为，设切线的斜率都存在.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）；（2）直线恒过定点.
14．设，分别是椭圆C：的左、右焦点，过且斜率不为零的动直线l与椭圆C交于A，B 两点．
Ⅰ求的周长；
Ⅱ若存在直线l，使得直线，AB，与直线分别交于P，Q，R三个不同的点，且满足P，Q，R到x轴的距离依次成等比数列，求该直线l的方程．
【答案】（1）（2）．
15．设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.
【答案】(1);(2)或.
【解析】（Ⅰ）设，由，即，
可得，又，
所以，因此，所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）设，直线的斜率为，则直线的方程为，
16．已知点是椭圆和抛物线的公共焦点，是椭圆的长轴的两个端点，点是与在第二象限的交点，且.
(I) 求椭圆的方程；
(II) 点为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.直线交椭圆于两点，设△的面积为，△的面积为，求的最大值.
【答案】（1）（2）
当且仅当时，.
17．已知椭圆的左、右顶点分别为，左焦点为，点为椭圆上任一点，若直线
与的斜率之积为，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若交直线于两点，过左焦点作以为直径的圆的切线.问切线长是否为定值，若是，请求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) .
(2) 过左焦点作以为直径的圆的切线长为定值.过程见解析.
18．已知是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形
面积的最小值.
【答案】（1）；（2）8
.
令，则，当时，
，
综上所述：四边形面积的最小值为8.
19．已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．
（1）曲线的方程；
（2）过点作斜率不为的直线与曲线交于两点，设直线的斜率分别是，求的值．【答案】(1) ;(2)见解析.
20．已知抛物线与
椭圆的一个交点为，点
是的焦点，且.
(1)求与的方程；
(2)设为坐标原点，在第一象限内，椭圆上是否存在点，使过作的垂线交抛物线于，直线交
轴于，且?若存在，求出点的坐标和的面积；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 见解析
故存在适合题意的，此时，
此时方程为，即，
点到的距离，，所以.
21．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，在椭圆上(异于椭圆的左、右顶点)，过右焦点作∠的外角平分线的垂线，交于点，且(为坐标原点)，椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：()与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于，求当三角形的面积最大时，直线的方程．
【答案】（1）；（2）或
22．已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的动直线与椭圆相交于两点．当△的面积最大时，求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）或．
23．过圆：上一动点作轴的垂线，交轴于点，点满足.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点，过且与垂直的直线交圆于，两点，求四边形面积的取值范围.
【答案】(1);(2).
所以.
令，则，
因为，所以.
于是四边形的面积，
所以，所以四边形面积的取值范围是.
24．在平面直角坐标系中，是轴上的动点，且，过点分别作斜率为，的两条直线交于点，设点的轨迹为曲线.
(I)求曲线的方程；
(Ⅱ)过点的两条直线分别交曲线于点和，且，求证直线的斜率为定值.
【答案】(1);(2).
把①②代入的，得
将
，代入椭圆方程，同理得
代入上式得.
即，
直线的斜率为定值.
25．已知椭圆：的右焦点为，过作互相垂直的两条直线分别与相交于，和，四点. （1）四边形能否成为平行四边形，请说明理由；
（2）求的最小值.
【答案】（1）见解析.
（2）.
∴。