概率论第二章基础练习题
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第二章 随机变量及其分布 基础练习题
1.设随机变量X 的分布列为:
()!
k
P X k a k λ==⋅
,()0,1,2,
,,
k n =,
其中,0λ>为常数,试确定常数a 。
2.一箱产品共100件,其中有10件优质品,不放回地抽取,每次一件,共抽取5次,求取到的优质品件数X 的概率分布。
3.第2题中,若采用重复抽取,其它条件不变,设抽取的5件产品中,优质品为X 件,求随机变量X 的概率分布。
4.第2题中,若采用重复抽取,每次一件,直到取得优质品为止,求抽取次数X 的概率分布。
5.设自动生产线在调整以后出现废品的概率为0.1p =,当生产过程中出现废品时立即进行调整,用
X 表示两次调整之间生产的合格品数,试求:
(1)X 的概率分布;
(2)()5P X ≥;
(3)在两次调整之间能以的概率保证生产的合格品数不少于多少
6.某种产品表面上的疵点数服从泊松分布,平均一件上有个疵点,即0.8λ=。若规定疵点数不超过1个为一等品,价值10元;疵点数大于1个且不多于4个为二等品,价值8元;疵点为4个以上者为废品。求产品为废品的概率以及产品价值分布律。
7.判断以下函数是否为某个随机变量的分布函数:
(1)()0; 0; 0121; 1
x x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎩; (2)21()1F x x =+,(), x ∈-∞+∞。 (3)13()arctan 24F x x π=+,(), x ∈-∞+∞;(4), 0()1 0, 0
x
x f x x x ⎧>⎪
=+⎨⎪≤⎩。
8.判断以下函数是否为某个连续型随机变量的概率密度函数:
(1)sin , 0,()2 0,
x x f x π⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥=⎣⎦⎨⎪⎩
其它; (2)[]sin , 0,() 0, x x f x π⎧∈=⎨
⎩其它; (3)2
2, 0
() 0, 0x
c x e x f x c x -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩
(常数0c >)。
9.设随机变量X 的分布函数为:
0, 0() 011, 1x F x x x <⎧⎪
=≤≤⎨⎪>⎩
确定系数A ,计算()00.25P X ≤≤,并求出随机变量X 的概率密度函数。
10.设随机变量X 的概率密度函数为
22, 0() 0, x
x a f x π
⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它
,
试确定常数a ,并求出随机变量X 的概率分布函数()F x 。 11.设随机变量X 的概率密度函数为()x
f x Ae -=,(), x ∈-∞+∞。确定常数A ,计算()
1P X ≤,
并求出随机变量X 的分布函数()F x 。
12.设随机变量K 服从0,5[]上的均匀分布,求关于x 的二次方程2
4420x xK K +++=有实数根的概率。
13.修理某机器所需时间(小时)服从参数0.5λ=的指数分布。试求: (1)修理时间超过2小时的概率;
(2)若已持续维修了9小时,那么总共需要至少10小时才能修好的概率。
14.设随机变量()23, 2X
N 。求,
(1)()25P X <≤; (2)()27P X -<<; (3)确定常数c ,使得()()P X c P X c >=≤; (4)设常数d 满足()0.9P X d >≥,问d 至多为多少
15.某地抽样调查表明,考生的外语成绩(百分制)近似正态分布,平均成绩为72分,96分以上的考生占考生总数的2.3%。试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。
16.已知随机变量
的概率分布为:
试求:(1)常数a ;(2)21Y X =-的概率分布;(3)2
Z X =的概率分布。
17.设随机变量X 的密度函数为
31, 02
() 0, kx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他
求:k ,()F x ,(13)P X <<。
18.设随机变量X 的密度函数为
2
32, 0
() 0, 0
x X x e x f x x -⎧≥⎪=⎨
<⎪⎩ 求:23Y X =+的密度函数()Y f y 。 19.设随机变量X 的概率密度为
, 0
() 0, 0
x X e x f x x -⎧≥=⎨
<⎩ 求X
Y e =的概率密度()Y f y 。
参考答案
1.e
λ
-。
2.()59010
5
100
k k C C P X k C -==,(0,1,2,3,4,5k =)。 3.()55
9010100k k
P X k -⋅==,(0,1,2,3,4,5k =)。
4.()10.10.9k P X k -==⨯,(0,1,2,,,
k n =)。
5.(1)
(2)0.69049;(3)6
6.0.0014;
7.(1)是;(2)否;(3)否;(4)是。 8.(1)是;(2)否;(3)是。
9.1A =;()100.252P X ≤≤=
; 01() 0, x f x <<=⎩
其它
。
10.a π=;22 0, 0(), 0 1, x x
F x x x πππ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩。
11.12A =;()111P X e ≤=-;1 , 0
()22, 0
x
x e x F x e x --⎧<⎪=⎨⎪->⎩
12.0.6。