计算方法与实习(第五版)期末复习资料

《计算机在材料科学中的应用》习题课

第一章 误差等概念

1. 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差

2. 绝对误差（限）：e=x*-x ，|e|＝|x*-x|≤ε

3. 相对误差（限）：e r ＝(x*-x)/x ，|e r |＝|x*-x|/|x|≤εr

4. 有效数字：|e|≤m-n 1

102

5. 防止误差的危害：避免两相近数相减，多数作乘数或小数作除数，大数“吃”

小数

第二章 方程求根

1. 根的存在及隔离

2. 二分法：误差是

()k+11

b-a 2

3. 迭代法：'1x (x)|(x)|1 ||k k x x ϕϕε+=<-<， ，

4. 加速法：'

()L x ϕ≈取， 1111() L 1L

k k k k k k x x x x x x ϕ-

+--

+++⎧⎪⎨+

-⎪⎩-＝＝（） 5. 牛顿迭代法：

1000''1'111111'

f()f()f ()0f ()f() f ()=c f()-f()f()()f ()=

f()-f()f() f ()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x c x x x x x x x x x x x x x x x x λλ++--+--+->-----''

＝, 选取时使得简化牛顿法:，＝拟牛顿法（割线法）: ，＝牛顿下山法:＝, 选取下山因子使得1|f()|<|f()|

k k x x +⎧⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪

⎪

⎪⎪⎩

第三章 方程组求解

1. 消去法：高斯消去法，列主元消去法，高斯-约当法，

消元因子 ()()k ik

ik k kk

a l a =

消元公式 (k+1)(k)(k)ij ij ik kj (k+1)(k)(k)

i i ik k a =a -l a (i,j=k+1,k+2,...,n)

b =b -l b (i=k+1,k+2,...,n)

⎧⎪⎨⎪⎩ 回代公式 kj

n

(k)(k)k

j

j=k+1k (k)kk

b - a x x =

(k=n,...,1)a

∑

2. 矩阵直接分解：紧凑格式

3. 追赶法

4. 迭代法：收敛条件

1||||n

ii ij j j i

a a =≠>∑

①雅可比法迭代格式：j

i n

(k)

i ij j=1j i

(1)

ii

b -a x x =

(i=1,2,...,n) a k ≠+∑

②高斯-赛德尔法迭代格式：

j

j

i i-1

n

(k+1)

(k)

i ij ij j=1

j=i+1

(1)ii

b -a x -a x x =

(i=1,2,...,n)

a k +∑∑

第四章 插值法

1. 插值多项式

2012j j j j (1)n+1 ()()... , (x )= f( x )= y (j=0,1,...,n) x [a,b],

() ()=()-()=()

(n+1)!

n n n n f x P x a a x a x a x P f R x f x P x x ξω+≈=++++=插值条件，插值节点，插值区间插值余项

2. 拉格朗日插值： 插值基函数 n 001 () L ()()0 n n

j

i j i i j i j j i

x x i j l x x y i j

x x ==≠-=⎧==⎨≠-⎩∑∏，

3. 差商：

100110

020101221

01k-2k 01k-2k-101k k k-1

f(x )-f(x )

f[x ,x ]=

x -x f[x ,x ]-f[x ,x ]

f[x ,x ,x ]=

x -x f[x ,x ,...,x ,x ]-f[x ,x ,...,x ,x ]

f[x ,x ,...,x ]=

x -x 一阶差商二阶差商k 阶差商

4. 牛顿插值公式

f(x)=f(x 0)+f[x 0,x 1](x-x 0)+f[x 0,x 1,x 2](x-x 0)(x-x 1)+… +f[x 0,x 1,…,x n ](x-x 0)(x-x 1)…(x-x n-1) 5. 差分（等间距节点）

11112

2

111 = () , () -() -() - - k k k k k k k k k k k k k k m m m k k k x x kh x x f f x f x x h f f f f x x h f f f f x x h f f f

m f f f δ+-+-

--+=+-∆≡∇≡≡∆=∆∆k 0k+1k 等距节点时，（k=0,1,...,n ）,h=记则

在处以为步长的向前差分：在处以为步长的向后差分：在处以为步长的中心差分：同样也有各自的阶差分11111112

2

- -

m m m k k k m m m k k k f f f f f f

δδδ-----+-

∇=∇∇=