奇数和偶数

奇数和偶数

整数可分为奇数和偶数两大类，不被2整除的整数成为奇数，被2整除的整

数成为偶数，整数的奇偶性有下列基本性质.

（1）奇数不可能与偶数相等，

（2）偶数±奇数＝奇数，

偶数±奇数＝奇数，

奇数±偶数＝奇数，

奇数±奇数＝偶数。

不难看出：在一个只含整数加减法的算术中，如果奇数的个数是偶数，那么

结果为偶数；如果奇数的个数为奇数，，那么结果为奇数.

（3）偶数×偶数＝偶数，

偶数×奇数＝偶数，

奇数×奇数＝奇数。

即：奇数与奇数的乘积是奇数，奇数与偶数的乘积是偶数.

（4）偶数可用12+k （或12-k ）表示，其中k 为整数.

利用奇偶性的基本特质，特别是奇数不可能等于偶数这一浅显的性质，可以

解决许多教学问题.

一只小船往返于一条小河的左右两岸之间，问：

（1）如果最初小船在左岸，过河若干次后，又回到左岸，那么这只小船过

河的次数是奇数还是偶数？如果最后到了后岸，情况又是怎样呢？

（2）如果最初小船在左岸，过河99次后，停在左岸还是右岸？

解 （1）小船最初在左岸，过1次河就到了右岸，再过1次河就由右岸回到

左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了2次河.因此，若小船由

左岸开始，过河多次后又回到左岸，则过河的次数必须为2的倍数，即偶数。同

样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数.

（2）在（1）中，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左

岸；过奇数次河后，就停在右岸，现在小船过河99次，是奇数次.因此，最后小

船应该停在右岸.

!999999和（注：99.......4321!99⨯⨯⨯⨯⨯=，读作99的阶乘）能否表示成

为99个连续的奇数的和？

分析9899999999⨯=.先写下9899，然后写出9899后面的49个连续的奇数，又

写出9899前面的49个连续的奇数，这99个连续的奇数和正好是9998999999=⨯. 另一方面，!99是偶数，而99个奇数的和是奇数.

解 （1）9999能.因为：

)9899()9699(......)299(99)299(........)9699()9899(999898989898989899++++++++-++-+-=即9999能表示为99个连续奇数的和.

（2）!99不能.

以为!99=99.......321⨯⨯⨯⨯是偶数，而99个奇数的和是奇数，所以!99不

能表示为99个奇数的和.

说明 如果答案是肯定的，我们常常将满足题意的例子举出来或造出来，这

成为构造法.

如果答案是否定的，常常采用反证法，找出其中的矛盾.

图22-1是一所房子的示意图，每一个房间与相邻的房间都有门相通，小

明在某一房间中，他想从这个房间开始不重复的走遍 房间，能做到吗？若能，

他开始时应在哪一个房间？又应该怎样走？若不能，请说明理由.

解 不能做到

将图22-1的房间黑白相间地涂上如图22-2.这样，不论小明从哪个房间出

发，他总是从白房间走进黑房间，或者从黑房间走进白房间.因此走法必须为：

黑→白→黑→白→…….不管哪一种走法，黑房间的数目与白房间的数目相等或

者相差一.而图22-2中白房间5间，黑房间3间，相差2间.因此不能走遍每间

房间而不重复.

说明 与整数可以分为奇数与偶数两类一样，我们把房间涂上黑白两色，分

成两类.几个连续的整数，必然是奇偶相间，而且奇数个数与偶数个数必然相差

至多为1个.类似的，房间的走法也是黑白相间.因此黑白房间的数目至多相差

1.这一点，正是我们解决本例的关键.因此，从本质上说，我们还是利用奇偶性

来解决问题的.事实上，如果我们不用黑白两色来涂房间，而是将房间相间地贴

上奇偶两字，问题一样得到解决.

把图22-3中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问有没有可能使得同一条直

线上的红圈数都是奇数？请说明理由.

解如果每条线上红圈数都是奇

数个，那么5条线上的红圈数相加仍

是奇数。

但另一方面，5条线上的红圈数相

加时，由于每个圈都在两条直线上，

因而都被计算了2次，从而相加的总

数应该是偶数.

两方面的结果是矛盾的，因此不

可能使同一条直线上的红圈数都是奇

数.

围棋盘上有19

19⨯个交叉点,在交叉点上已经放满了黑子和白字，并且黑子和白字相间的放，即黑子（或白子）的上、下、左、右都放着白子（或黑子）.问能否把这些黑子全部移到原来白子的位置上，而白子也全部移到原来黑子的位置上？

解不能

因为361

19

⨯是奇数，所以，必有奇数个白子，偶数个黑子；或者奇数19=

个黑子，偶数个白子，即黑白子数必有一奇一偶.奇数不可能等于偶数，所以无法使黑子和白子的位置对调.

参加会议的人有不少互相握过手，握手的次数是奇数的那部分人，人数是奇数还是偶数？为什么？

解由于每握一次手，握手的两个人，每一次都握了一次手，因此每握一次手，两个人握手次数的和就是2次。所以全部与会的人握手的总次数必定是偶数.

我们把参加会议的人分成两类，甲类握手次数是偶数，乙类握手次数是奇数，甲类人握手的总次数显然是偶数，注意甲类人握手的总次数加上乙类人握手的总次数等于全部与会的人握手的总次数，所以乙类人握手的总次数也应当是偶数.由于乙类人每次握手的次数都是奇数，而偶数个奇数相加，和才能为偶数，因此乙类人必为偶数个，即握手次数是奇数的那部分人，人数是偶数.

设标有A、B、C、D、E、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从等A开始，顺次拉动开关，即从A到G，再从A到G，……这样拉动了1999次开关后，哪几盏灯是开的？

解一盏灯的开关被拉动奇数次后，改变状态，即开的变成关的，关的变成开的.一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变状态，即开的仍为开的，关的仍为关的.因此本题的关键是计算各盏灯被拉动次数的奇偶性.由4

⨯

=，

1999+

285

7

可知，A、B、C、D四盏灯的开关各被拉动了285次，所以A、B、C、D四灯不改变状态，E、F、G三灯改变状态.由于开始时A、C、E、G四灯是开着的.因此最后A、C、F三灯是开着的。